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1、另辟蹊徑 ,快解概率題 在初中數(shù)學的概率問題中，我們經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)這樣一類 問題：可以運用常規(guī)方法進行求解，但是往往看起來比較復 雜，計算量較大，容易出錯 . 這時倘若我們換個角度考慮， 往往能夠簡便、快速地得到答案而且計算較為簡便 . 下面結 合例題介紹一些快速解題的巧妙方法 . 技巧一：巧分類，妙解題 例 1 “上升數(shù)” 是指一個數(shù)中右邊數(shù)字比左邊數(shù)字大的 自然數(shù)（如： 34、 568、 2469 等） . 任取一個兩位數(shù)，是“上 升數(shù)”的概率是 . 【常規(guī)思路】通過列表或是畫樹狀圖的方式解決，工作 量很大，容易出錯 . 【另辟蹊徑】 任意兩位數(shù)有 10-99 共 9

2、0 個數(shù)據(jù)： 其中右 邊數(shù)字和左邊相等的有： 11， 22， 33 ， , ， 99 共 9 個不是上 升數(shù)；尾數(shù)為 0 的數(shù)有： 10 ， 20， 30 ， , ， 90 共 9 個不是上 升數(shù)；其余 72 個數(shù)據(jù)左右兩位由 1~9 構成（十位、個位不 相同） ，任意兩個數(shù)構成兩位數(shù)如 2， 4，有 24 和 42 兩種， 分別是左邊數(shù)字比右邊大和左邊數(shù)字比右邊小，所以右邊數(shù) 字比左邊大的數(shù)占 72 個數(shù)據(jù)的一半，為 36 個 . 所以“上升數(shù)”的概率是 =. 例 2 初三（ 1）班要舉行一場畢業(yè)聯(lián)歡會，規(guī)定每個同 學同時轉動下圖中①、②兩個轉盤（每個轉盤分別被二等分 和

3、三等分） ，若兩個轉盤停止后指針所指的數(shù)字之和為奇數(shù)， 則這個同學要表演唱歌節(jié)目；若數(shù)字之和為偶數(shù)，則要表演 其他節(jié)目 . 每個同學表演唱歌節(jié)目的概率為 . 【常規(guī)思路】畫樹狀圖或列表列舉所有等可能的結果， 找出符合條件的解 . 【另辟蹊徑】觀察轉盤 1，兩個數(shù)據(jù)分別為 1 和 2，且 等可能 . 對于數(shù)字 1 ：奇數(shù)加 1 為偶數(shù)，偶數(shù)加 1 為奇數(shù)； 對于數(shù)字 2 ：奇數(shù)加 2 為奇數(shù)，偶數(shù)加 2 為偶數(shù) . 所以對于任意數(shù)據(jù)，加上轉動轉盤 1 后的結果為奇數(shù)或 偶數(shù)的可能性相同 . 所以不論轉盤 2 中轉得什么數(shù)，每個同學表演唱歌的概 率均為 . 技巧二：換位

4、思考、厘清思路 例 3 袋子里有 5個白球和 3 個黑球， 這些球除了顏色外 都相同，每次摸出 1 個球，不放回，則第三次摸到黑球的概 率是 . 【常規(guī)思路】從摸球人的角度考慮，第一次摸球結果如 何，第二次摸球 ,, 【另辟蹊徑】不從摸球人的角度入手，轉變角色，站在 球的角度考慮問題：是哪個球會在第三次被摸到呢？顯然每 個球都有可能在第三次被摸到，而且等可能，所以第三次摸 到黑球的概率為 =. 【技巧點評】概率的計算一般是利用樹狀圖或列表把所 有等可能的情況列出， 再計算某一事件的概率 .其關鍵是找出 所有的等可能的結果，本題不要受“第三次摸到黑球”影響 而排列摸球

5、的順序，這樣反而使問題復雜化 . 例 4 在一次社會實踐中，要將 A、 B、 C、 D 共 4名同 學分為 2 組，則同學 A 與同學 D 在一組的概率為 . 【常規(guī)思路】運用列表法或者樹狀圖列出所有可能性 . 【另辟蹊徑】看同學 A 和哪個同學在同一組，從同學 A 的角度可知，他一定與 B 、 C、 D 中的一人在同一組，且可 能性相同，所以同學 A 和 D 在一組的概率為 . 【拓展延伸】將本題改為“ 2 張圖片形狀完全相同，把 兩張圖片全部從中間剪斷，相同的小圖片混在一起，從 4 張 圖片中摸取一張，接著再摸一張，將兩張圖片恰好合成一張 完整圖片的概率是多少？”即人

6、教版九上教材中的一條拓廣 思考題，做法相同 技巧三：巧妙利用背景性質，快速獲取答案 例5已知a、b可以取-2、-1、1、2中任意一個值（aw b） ，則直線 y=ax+b 的圖像不經(jīng)過第四象限的概率是 . 【常規(guī)思路】運用列表法或者樹狀圖列出所有可能性 . 【另辟蹊徑】由于 awb且a、bw0,所以根據(jù)一次函數(shù) 性質，不經(jīng)過第四象限有且僅有 a>0、 b>0 時. 由題意， a、 b 取值共有 12 種可能性，其中，滿足 a>0、 b>0 的有 a=1、 b=2 和 a=2、 b=1 ， 2 種情況 . 所有等可能的情 況數(shù)有 12 種，其中直線 y=ax+b 不經(jīng)過第四

7、象限情況數(shù)有 2 種，則 P==. 例 6 現(xiàn)擲 A、 B 兩枚均勻的小立方體（每個面上分別標 有數(shù)字 1， 2， 3 ， 4， 5， 6） ，設兩立方體朝上的數(shù)字分別為 x 、 y ，并以此確定點 P（ x ， y ） ，那么各擲一次所確定的點 P 落在已知拋物線 y=-x2+4x 上的概率為（） . A. B. C. D. 【常規(guī)思路】利用列表可以很容易得到所有 36 種等可 能的情況，但是如何在 36 種等可能的情況中找到滿足題意 “點 P 落在拋物線上”的情況，是很多同學犯難的問題 . 一 個一個代入， 耗時耗力， 最不可??； 也可以分別代入 x=1 、 2、

8、3、 4、 5、 6，求出對應的函數(shù)值 y ，從而找到滿足要求點在 拋物線上的情況 . 還有其他解法嗎？ 【另辟蹊徑】我們觀察拋物線解析式 y=-x2+4x ，根據(jù)二 次函數(shù)性質，頂點為（ 2， 4） ，開口向下，與 x 軸的交點為 （ 0 ， 0） ， （ 4， 0） ，由此，當 0