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1、
(時(shí)間60分鐘，滿分80分)
一、選擇題(共6個(gè)小題，每小題5分，滿分30分)
1．函數(shù)f(x)＝2cos2x－sin2x(x∈R)的最小正周期和最大值分別為( )
A．2π，3 B．2π，1
C．π，3 D．π，1
解析：由題可知，f(x)＝2cos2x－sin2x＝cos2x－sin2x＋1＝2sin(－2x)＋1，所以函數(shù)f(x)的最小正周期為T(mén)＝π，最大值為3.
答案：C
2．已知cos(－α)＝，則sin2(α－)－cos(＋α)的值是( )
A. B．－
C. D.
解析：sin2(α－)－cos(＋α)
2、
＝1－cos2(－α)＋cos(－α)＝.
答案：A
3．若f(x)＝2tanx－，則f()的值為( )
A．－ B．8
C．4 D．－4
解析：f(x)＝2tanx＋＝2tanx＋＝＝，∴f()＝＝8.
答案：B
4．(2011煙臺(tái)模擬)已知sin(－x)＝，則sin2x的值為( )
A. B.
C. D.
解析：sin2x＝cos(－2x)
＝cos2(－x)
＝1－2sin2(－x)
＝1－
＝.
答案：A
5．(2011東營(yíng)模擬)若x是三角形的最小內(nèi)角，則函數(shù)y＝sinx＋cosx＋sinxcosx的值域是(
3、 )
A．[－1，＋∞) B．[－1，]
C．(0，] D．(1，＋]
解析：由0
4、α)與點(diǎn)B(cosβ，sinβ)是直線l：ax＋by＝c與單位圓x2＋y2＝1的兩個(gè)交點(diǎn)，如圖，從而|AB|2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2cos(α－β)，又∵單位圓的圓心(0,0)到直線l的距離d＝，由平面幾何知識(shí)知|OA|2－(|AB|)2＝d2，即1－＝d2＝，
∴cos2＝.
答案：A
二、填空題(共3小題，每小題5分，滿分15分)
7．若sin(－2x)＝，則tan2x＝________.
解析：sin(－2x)＝?cos2x＝－，tan2x＝＝＝＝4.
答案：4
8．(2011濟(jì)寧模擬)設(shè)f(x)＝＋sinx＋a2sin(x＋)的最大值
5、為＋3，則常數(shù)a＝________.
解析：f(x)＝＋sinx＋a2sin(x＋)
＝cosx＋sinx＋a2sin(x＋)
＝sin(x＋)＋a2sin(x＋)
＝(＋a2)sin(x＋)．
依題意有＋a2＝＋3，∴a＝.
答案：
9．已知a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈(，π)，若ab＝，則tan(α＋)的值為_(kāi)_______．
解析：由ab＝，得cos2α＋sinα(2sinα－1)＝，
即1－2sin2α＋2sin2α－sinα＝，即sinα＝.
又α∈(，π)，∴cosα＝－，
∴tanα＝－，∴tan(α＋)＝＝＝.
答案：
6、
三、解答題(共3小題，滿分35分)
10．已知π＜α＜π，tanα＋＝－.
求的值．
解：∵tanα＋＝－，∴3tan2α＋10tanα＋3＝0，
解得tanα＝－3或tanα＝－.
又∵＜α＜π，∴tanα＝－.
又∵
＝
＝
＝＝＝－.
11．(2010天津高考)在△ABC中，＝.
(1)證明B＝C；
(2)若cosA＝－，求sin(4B＋)的值．
解：(1)證明：在△ABC中，由正弦定理及已知得＝.于是sinBcosC－cosBsinC＝0，即sin(B－C)＝0，因?yàn)椋校糂－C＜π，從而B(niǎo)－C＝0.
所以B＝C.
(2)由A＋B＋C＝π和(1)得2B＝
7、π－A，
故cos2B＝cos(π－A)＝－cosA＝.
又0＜2B＜π，于是sin2B＝＝.
從而sin4B＝2sin2Bcos2B＝，cos4B＝cos22B－sin22B＝－.
所以sin(4B＋)＝sin4Bcos＋cos4Bsin
＝.
12．函數(shù)y＝sinα＋cosα－4sinαcosα＋1，且＝k，<α≤，
(1)把y表示成k的函數(shù)f(k)；
(2)求f(k)的最大值．
解：(1)∵k＝＝＝＝2sinαcosα，
∴(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋k.
∵<α≤，∴sinα＋cosα>0.
∴sinα＋cosα＝.∴y＝－2k＋1.
由于k＝2sinαcosα＝sin2α，<α≤，
∴0≤k<1.∴f(k)＝－2k＋1(0≤k<1)．
(2)設(shè)＝t，則k＝t2－1,1≤t<.
∴y＝t－(2t2－2)＋1，
即y＝－2t2＋t＋3(1≤t<)．
∵關(guān)于t的二次函數(shù)在區(qū)間[1，)內(nèi)是減函數(shù)，
∴t＝1時(shí)，y取最大值為2.
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