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1、））））））） 自然流暢 水到渠成 ——《幾何概型》課堂觀察與點評 江蘇省蘇州第十中學 吳鍔 2011 年 10 月 21 日到 22 日，江蘇省高中青年數(shù)學教師優(yōu)秀課觀摩評比活動在淮安市省清江中學舉行． 筆者有幸作為參賽選手的指導老師全程參加了本次活動，我校青年教師姚圣海所執(zhí)教的《幾何概型》榮獲省 一等獎，這節(jié)課自然流暢，水到渠成，得到了與會專家和教師的一致好評，為廣大數(shù)學教師提供了一個原汁原味，富有數(shù)學意境的成功課例．現(xiàn)對這節(jié)課的教學過程簡錄如下，并根據(jù)本人對這節(jié)課的現(xiàn)場教學觀察，做一些分析、點評，供大家參考． 一、觀察與點評 1．實例引入——不可

2、或缺的認識過程 教師：我們上節(jié)課學習了古典概型，請同學們回答問題“若 A {1,2,3, 4,5,6,7,8,9} ,則從 A 中任取 一個數(shù)，這個數(shù)不大于 3 的概率是多少？” 學生齊答：概率是 1 ． 3 教師追問：題中的基本事件有多少個？應滿足什么條件？ 學生齊答：基本事件有 9 個，每個基本事件的發(fā)生都是等可能的． 教師：很好！請同學們接著看下面的問題： “若 A (0,9] ，則從 A 中任取一個數(shù)，這個數(shù)不大于 3 的概率是多少？” 學生 A：我感覺應該也是 1 ． 3 教師：能說說你是怎么分析的嗎？ 學生 A：我把

3、集合 A 在數(shù)軸上表示出來，再把小于 3 的集合也在數(shù)軸上表示出來，就把兩個長度比一 下得出了這個結果． 教師：很好， A 同學的想法合情合理．同學們，這個問題中的基本事件是什么？ 學生 B：我認為是區(qū)間 (0,9] 中的任意點． 教師：請同學們比較一下上面兩個問題的相同點與不同點． 學生討論并共同認為，不同點：問題 1 所有的基本事件是有限個，問題 2 的基本事件是無限多個；相 同點：問題 1 與問題 2 中，每個基本事件的發(fā)生都是等可能的． 教師：今天和同學們共同探究幾何概型問題． 觀察與點評 教師從學生已經(jīng)掌握的知識為切入口，通過背景類似

4、的兩個問題進行對比，在等可能的 情況下， 讓基本事件從有限向無限的延伸， 直達本課主題——幾何概型． 用這種方式點題， 顯得自然合理， 同時也有助于幫助學生熟悉幾何概型的特點、直觀感知古典概型與幾何概型的異同，起到了承上啟下的作 用．從學生的回答來看，已經(jīng)朦朦朧朧感覺到了用測度計算幾何概型的方法． 2．問題探究——感受幾何概型及其處理方法 教師：下面我們共同探究下列概率問題． （大屏幕投影） 問題 1 取一根長為 9 米的彩帶，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的 長度都不小于 3 米的概率是多少 ? 學生 C：記“剪得兩段彩帶都不小于 3m”

5、為事件 A．把彩帶三等分，當剪斷 位置處在中間一段上時，事件 A 發(fā)生．由于彩帶上各點被剪斷是等可能的，且中間一段的長度等于彩帶的 1 ，所以 P(A)＝ 1 ． 3 3 教師： C 同學講得很好，將彩帶上各點視為基本事件，并關注到了它的等可能性． 板書本題的規(guī)范解法并指出 P(A)＝ 構成事件 A 的區(qū)域長度 ． 試驗的全部結果所構成的區(qū)域長度 問題 2 某島列島周圍海域面積約為 17 萬平方公里，如果在此海域里有面積達0.1 萬平方公里的大陸架蘊藏著石油， 假設在這個海域里任意選定一點鉆探， 則鉆出石油的 概率為多少？

6、 ））））））） ））））））） 學生 D ：記“鉆出石油” 為事件 A，我想只要將有油海域面積與島列島周圍海域面積相比， P( A)＝ 0.1 17 ＝ 1 ． 170 教師：不錯， D 同學把區(qū)域內(nèi)的各點視為等可能的基本事件，用區(qū)域面積之比求概率． P(A)＝ 構成事件 A 的區(qū)域面積 ． 試驗的全部結果所構成的區(qū)域面積 問題 3：有一杯 1 升的水，其中含有 1 個細菌，用一個小杯從這杯水中取出 0.1 升，求小杯水中含有這個細菌的概率． 學生 E：感覺應該是兩個體積的

7、比， P(A)＝ 構成事件 A 的區(qū)域體積 ＝ 0.1 ＝ 0.1． 試驗的全部結果所構成的區(qū)域體積 1 觀察與點評 問題 1，2， 3 源于生活實際，教師在設計過程中有意識地從一維、二維到三維，讓學生 感受幾何概型問題的概念生成和處理方法．學生的回答受到引入的啟發(fā)，抓住了分析基本事件的本質(zhì)，直覺地意識到可以用相應的長度、面積、體積之比來計算概率．聽課中感覺到了學生對教師課前的精心預設的回應，自然而然地生成了解題的方法． 3．模型演示——感受數(shù)學直覺的合理性 教師：我們借助于古典概型解題的方法，通過類比的手段，憑直覺解決解決了上面

8、所給的與幾何相關的概率問題，上面的解決方法是否對所有這樣的概率問題都通用呢？我們通過下面的實驗來說明它的合理性． 實驗問題：射箭中黃心問題． （大屏幕投影課本 P.100 引例（ 2），題目略） 學生 F：根據(jù)前面的探究，顯然這是一個與幾何相關的概率問題．按上面的做法，射中黃心的概率為 1 12.22 P 4 0.01． 1 1222 4 教師：好， F 同學給出了答案．我們知道對于給定的隨機事件 A，在相同條件下，隨著試驗次數(shù)的增 加，事件 A 發(fā)生的頻率會在某個常數(shù)附近擺動并趨于穩(wěn)定， 這個常數(shù)可以用來刻畫隨機事件 A 發(fā)

9、生的可能 性的大小，即為隨機事件 A 的概率．我們利用這個想法，設計了一個射箭問題的 flash 模擬演示試驗． （請 看大屏幕）通過不斷增加的射箭次數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)頻率非常接近于 0.01．這個實驗檢驗了我們前面直覺的合 理性和正確性． 觀察與點評 通過演示實驗，讓學生親身感受直觀感覺得到的概率的計算公式的正確性，使學生體會 歸納總結成功的喜悅，使數(shù)學的嚴密性得到保證，體現(xiàn)了歸納、猜想、證明是研究數(shù)學問題的重要方法和 手段．課堂中，學生積極參與，興趣盎然，氣氛活躍． 4．生成概念——幾何概型的理性思考 教師：剛才同學們的研究很有價值，下面請同學們討

10、論一下這類問題的特點和解題的方法． 教師點撥、學生討論 學生代表 G 匯報討論結果：上面三個問題都與幾何有關，基本事件個數(shù)有無限個，每個基本事件的發(fā) 生都是等可能的．方法都是借助幾何圖形的長度、面積、體積的比值計算事件 A 發(fā)生的概率． 教師：好的，通過上面的探究， 我們對這類問題有了初步理解， 討論中發(fā)現(xiàn)了這類問題的計算方法． 這就是我們今天所要研究的概率問題——幾何概型．下面我們要做的是對幾何概型問題的定性分析． 大屏幕投影：上述隨機試驗具有共同點：設 D 是一個可度量的區(qū)域（例如線段、平面圖形、立體圖形 等）．每個基本事件可以視為從區(qū)域 D 內(nèi)隨機

11、地取一點，區(qū)域 D 內(nèi)的每一點被取到的機會都一樣；隨機事 件 A 的發(fā)生可以視為恰好取到區(qū)域 D 內(nèi)的某個指定區(qū)域 d 中的點．這時，事件 A 發(fā)生的概率與 d 的測度 （長度、面積、體積等）成正比，與 d 的形狀與位置無關． 我們把滿足這種條件的概率模型稱為幾何概型． 在 ））））））） ））））））） 幾何概型中，事件 A 的概率計算公式為 P( A) d的測度 ． D的測度 觀察與點評 通過學生互助討論，教師的適時點撥，學生歸納了幾何概型的特點與處理方法．教師在學生自我總結的基礎上，對幾何概型進行了嚴格的定義，著

12、重說明了要關注隨機變量的形態(tài)這一研究此類問題核心，由此來確定選擇測度進行計算．在完成數(shù)學概念生成的過程中，正因為有了學生的參與才使得 學生對新知的認識達到了一次又一次的飛躍， 這是構建數(shù)學不可缺憾的一環(huán)． 數(shù)學教學中突出知識的產(chǎn)生、發(fā)展、形成的過程，是培養(yǎng)學生數(shù)學意識和數(shù)學素養(yǎng)的重要方面．本節(jié)課老師在課堂教學中充分展現(xiàn)了這 一點． 5．例題講解——突出重點，突破難點，升華思維 例 1 和例 2 選自課本例題，有學生討論解決． （略） 例 3 在直角三角形 ABC 中， CAB 60 ，在斜邊 AB 上任取一點 M， 求 AM 小于 AC 的概率．（大屏幕投

13、影） 教師：這個問題中，把什么看成隨機變量？ 學生 H：我把 AB 上的點視為隨機變量． （教師演示課件：點 M 在線段 AB 上運動） 教師追問：事件“ AM 小于 AC”的發(fā)生，點 M 應滿足什么條件？概率是多少？ 學生 H ：在 AB 上截取 AC AC ，M 隨機落在線段 AC 上．AM 小于 AC 的概率為 1 ．（教師演示課件： 2 點 M 在線段 AC 上運動） 教師：很好！ H 同學對隨機變量的理解非常到位． 給出本題完整的解答． （大屏幕投影） 教師：如果我們把題目改一下，下面的問題怎樣解決呢？ 變題 過

14、直角頂點 C 在 ACB 內(nèi)部任作一條射線 CM ，與線段 AB 交 于點 M，求這時 AM 小于 AC 的概率．（大屏幕投影） 學生 J （茫然，思考） 同學們竊竊私語，互相交流 學生 K ：我感覺隨機變量發(fā)生了變化，應該把 ACB 內(nèi)部的任一條射線 CM 視為隨機變量，同樣在 AB 上截取 AC AC ，那么事件“ AM 小于 AC”的發(fā)生，射線 AM 應落在 ACC 內(nèi)．這樣 AM 小于 AC 的概率是兩個角度之比，即概率為 3 2 ． 3 2 觀察

15、與點評 本節(jié)課所選擇的例題既兼顧了課本的原味，又對課本例題進行修正，可謂頗具用心．教 師修改了課本原例 3 的條件， 將等腰直角三角形改為一個角為 60的直角三角形， 為變題的計算創(chuàng)造了條 件．從教師的設計來看，通過例 3 的變題來說明背景相似的問題，由于設問的不同，即當?shù)瓤赡艿慕嵌炔? 同時，其概率是不一樣的．但在講解過程中，僅肯定了學生的解答，雖然也用課件進行了演示，還是沒有 指出過點 C的射線是怎樣作出來的，因為怎樣作射線不僅會影響到基本事件的等可能性，由此還會產(chǎn)生不 同的結果 ．教師如果在教學過程中能充分注意到這一點，并向?qū)W生指出變題的功能，本課將更

16、完美 ． 6．回顧總結——留有空白，意猶未盡 教師通過兩個層面對本節(jié)課學生的掌握程度作了反饋，一是依托課本，作為課堂鞏固當場完成了課本 上的練習 1－ 4；二是一改傳統(tǒng)的老師回顧總結， 而是讓學生針對本節(jié)課， 用自己的語言簡要總結幾何概型的特點和處理方法．通過幾個學生的回答，基本包含了本節(jié)課的重點和注意點．最后留下了一個開放性的 作業(yè)，尋找生活中的概率模型，完成一篇小論文《用 說明古典概型與幾何概型的異同》 ． ））））））） ））））））） 觀察與點評 這樣別開生面的小結回顧，讓人耳目一新，給學生留出了思考的空間．給人的印象是留有空白，

17、意猶未盡． 二、教學特色解析 1．教學設計合情合理，自然流暢 幾何概型將古典概型的研究從有限個基本事件過渡研究無限多個基本事件，幾何概型是區(qū)別于古典概 型的又一概率模型， 姚老師在教學設計中注重強調(diào)概念形成過程， 依據(jù) “感覺——驗證——生成——應用”的理念，將幾何概型概念形成的教學通過實例引導，感悟處理方法，猜想驗證，逐步讓學生自主探究，并 體會概念形成的合理性．使學生能全面系統(tǒng)地掌握概率知識，且對于學生辯證思想的進一步形成具有良好的作用．整個設計思路合情合理，自然流暢． 2．教學過程循序漸進，實實在在 姚老師在教學中解決了幾何概型從何而來，又如何處

18、理的問題．通過學生對古典概型的思考，循序漸進地參與探究學習活動，形成幾何概型問題中產(chǎn)生從等可能的模糊印象下思考測度，進而上升為解決幾何概型問題的一種模式化模型，生成了來解決一類問題的通法．由學生在學習過程中對思維過程的反思，真正體會到判斷幾何概型的特點以及重要性，從而避免了簡單直接地呈現(xiàn)概念和單調(diào)的數(shù)學解題，突出知識 的產(chǎn)生、發(fā)展、形成過程，培養(yǎng)學生的數(shù)學意識，可謂實實在在． 本節(jié)課體現(xiàn)了“以學生為主體，教師是課堂活動的組織者、引導者和參與者”的現(xiàn)代教育理念，發(fā)揮 了學生的主體作用， 良好的師生互動， 有效的點撥引導， 讓學習過程成為學生心靈愉悅的主動認知過程． 另 外

19、，在布置的課外作業(yè)中的學習后記，即小論文《舉例說明古典概型、幾何概型分析概率問題的異同》 ， 將課內(nèi)學習拓廣到了課外，把學習的主動權交給了學生，給了學生更多的探究空間． 3．注重數(shù)學探究，感受數(shù)學直覺 本節(jié)課利用了幾個發(fā)生在生活當中的實例， 引導學生通過實例探究， 通過觀察分析， 提取它們的共性，歸納了幾何概型的定義及其概率公式，感受數(shù)學直覺，并且組織學生通過實驗給予驗證．在這節(jié)課里，每 一個發(fā)現(xiàn)總是想方設法盡量讓學生得出來，教師的作用這是引導，在關鍵處導一導、推一推，打造出一幅“涓涓細流潤芬芳”的美好圖景，在師生對話中自然生成了幾何概型的概念．這種學生發(fā)現(xiàn)問題、帶領學

20、生尋找解決問題的方法，符合建構主義理論和教學方法． 4．追求數(shù)學本真，突出思想方法 在教學過程中，以問題為背景，追求數(shù)學的本真，激發(fā)學生開展活動，結合實驗、觀察、思考、歸納、抽象、概括、運用，力求使學生對現(xiàn)實世界中蘊涵的一些數(shù)學模式進行思考和做出理性的判斷，鼓勵學生能夠更注重應用數(shù)學的觀念、方法與語言去提出、分析和解決問題． 通過這節(jié)課的教學，進一步樹立了數(shù)學是來源于生活而又服務于生活的意識，把豐富的生活感知數(shù)學理性有機融合起來．讓學生感受到生活中有數(shù)學，體會到數(shù)學對自然與社會所產(chǎn)生的作用，認識到數(shù)學的價值所在，學會用數(shù)學的思想和方法去觀察問題、研究問題和解決問題，教給學生必要的思維策略，學會用數(shù)學的眼光看世界． 精品文檔考試教學資料施工組織設計方案 ）））））））