《2022年中考數(shù)學(xué)考前專題輔導(dǎo) 平方根與立方根》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022年中考數(shù)學(xué)考前專題輔導(dǎo) 平方根與立方根（14頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、教學(xué)目標(biāo) 1. 了解一個(gè)數(shù)的平方根和算術(shù)平方根的意義，理解和掌握平方根的性質(zhì)； 2. 會求一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根、算術(shù)平方根； 3. 掌握立方根的意義，會求一個(gè)數(shù)的立方根； 4. 理解開立方與立方的關(guān)系。 重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：算術(shù)平方根、平方根以及立方根的概念和性質(zhì)。 難點(diǎn)：算術(shù)平方根與平方根的區(qū)別與聯(lián)系。 考點(diǎn)及考試要求 以考查對平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念的理解程度和估算為主 教 學(xué) 內(nèi) 容 第一課時(shí) 平方根與立方根知識梳理 課前檢測 1、求下列各數(shù)的算術(shù)平方根： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ 2、求下列各式的值：

2、 （1） （2） （3） （4） 3、算術(shù)平方根等于本身的數(shù)有 。 4、求下列各數(shù)的算術(shù)平方根. ， ， ， ， 5、已知求的值. 知識梳理 一. 平方根： 1. 算術(shù)平方根的概念及表示方法 如果一個(gè)正數(shù)的平方等于，即，那么這個(gè)正數(shù)叫做的算術(shù)平方根。當(dāng)時(shí)，的算術(shù)平方根記為，讀作“根號”，叫做被開方數(shù)。 2. 平方根的概念及其性質(zhì) （1）平方根的定義 如果一個(gè)數(shù)的平方等于，即，那么這個(gè)數(shù)叫做的平方根或二次方根。即如果，那么叫做的平方根。 （2）一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；

3、0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根。當(dāng)時(shí)，的平方根表示為。 （3）求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開平方，其中叫做被開方數(shù)。 3. 用計(jì)算器求一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根 用計(jì)算器可以求出任何一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根（或其近似值）。 二. 立方根： 1. 立方根的概念及表示方法 如果一個(gè)數(shù)的立方等于，那么這個(gè)數(shù)叫做的立方根或三次方根。即如果，那么叫做的立方根，記作。正數(shù)的立方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，0的立方根是0。 2. 開立方的概念 求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開立方。正如開平方與平方互為逆運(yùn)算一樣，開立方與立方也互為逆運(yùn)算。 3. 用計(jì)算器求立方根 很多有理數(shù)的立方根是

4、無限不循環(huán)小數(shù)，我們可用計(jì)算器求出它們的近似值。 第二課時(shí) 平方根與立方根典型例題 典型例題 知識點(diǎn)一：算術(shù)平方根 例1. 下列各數(shù)有算術(shù)平方根嗎？如果有，求出它的算術(shù)平方根；如果沒有，請說明理由。 （1）81； （2）； （3）0； （4）； （5）； （6）。 思路分析：根據(jù)“正數(shù)和0都有算術(shù)平方根，負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根”知，（1）、（3）、（4）、（5）有算術(shù)平方根，（2）、（6）沒有算術(shù)平方根。 解答過程：（1）因?yàn)?1是正數(shù)，所以它有算術(shù)平方根。又因?yàn)?，所?1的算術(shù)平方根是9； （2）因?yàn)槭秦?fù)數(shù)，所以它沒有算術(shù)平方根； （3）0有

5、算術(shù)平方根，就是0； （4）因?yàn)槭钦龜?shù)，所以它有算術(shù)平方根。又因?yàn)?，所以的算術(shù)平方根是； （5）因?yàn)槭钦龜?shù)，所以它有算術(shù)平方根。又因?yàn)?，所以的算術(shù)平方根是2； （6），是負(fù)數(shù)，所以沒有算術(shù)平方根。 解題后的思考：要判斷一個(gè)數(shù)有沒有算術(shù)平方根，要根據(jù)算術(shù)平方根的概念確定這個(gè)數(shù)是不是非負(fù)數(shù)，只有非負(fù)數(shù)才有算術(shù)平方根。 以上結(jié)論不要死記硬背，同學(xué)們要理解為什么負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根？ 例2. 已知，求的值。 思路分析：考慮、、都是非負(fù)數(shù)，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，不難解決此題。 解答過程： 又 解得。 解題后的思考：一個(gè)數(shù)的平方、絕對值、非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根都是非負(fù)數(shù)，如果幾個(gè)非

6、負(fù)數(shù)的和為零，那么這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為零。這是解決這類問題的出發(fā)點(diǎn)。 小結(jié)： 1. 只有非負(fù)數(shù)才有算術(shù)平方根，并且只有一個(gè)； 2. 一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是一個(gè)非負(fù)數(shù)。 知識點(diǎn)二：平方根的概念及其性質(zhì) 例3. 求下列各數(shù)的平方根和算術(shù)平方根： （1）3600； （2）； （3）0.0001； （4）。 思路分析：因?yàn)榍笠粋€(gè)非負(fù)數(shù)的平方根的運(yùn)算與平方運(yùn)算是互逆運(yùn)算，所以可借助平方運(yùn)算來求這些數(shù)的平方根和算術(shù)平方根。 解答過程：（1）因?yàn)椋?600的平方根是，即。 3600的算術(shù)平方根是60，即。 （2）因?yàn)?，，所以的平方根是，即? 的算術(shù)平方根是，即。

7、 （3）因?yàn)椋?.0001的平方根為，即。 0.0001的算術(shù)平方根為0.01，即。 （4）因?yàn)?，，所以的平方根為，即? 的算術(shù)平方根為7，即。 解題后的思考：運(yùn)用平方運(yùn)算求一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根和算術(shù)平方根是常用的方法。如果被開方數(shù)是小數(shù)，要注意小數(shù)點(diǎn)的位置，也可以先將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，再求它的平方根和算術(shù)平方根；如果被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，要先將帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，再求它的平方根和算術(shù)平方根。 例4. 求下列各式中的。 （1）； （2）； （3）； （4）。 思路分析：把上面各式化成的形式，求出的平方根，就可以求出的值。 解答過程：（1）因?yàn)?，所以? （2）因?yàn)?/p>

8、，所以，所以或； （3）因?yàn)?，所以，所以? （4）因?yàn)椋?，所以? 解題后的思考：雖然目前我們并沒有學(xué)習(xí)過一元二次方程的解法，但是我們可以利用平方根的定義求解一些簡單的一元二次方程。 例5. 若一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別為和，求的值。 思路分析：由平方根的性質(zhì)知：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，且它們互為相反數(shù)，因而可構(gòu)造方程，求出的值，而或，據(jù)此可求出的值。 解答過程：因?yàn)橐粋€(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù) 所以，解得。 從而（或 所以。 解題后的思考：本題利用平方根的性質(zhì)，構(gòu)造一元一次方程，先求出其平方根，再進(jìn)一步求出。這里用到了方程思想，它是初中階段一種重要的數(shù)學(xué)思想。

9、例6. 若適合關(guān)系式，試求的值。 思路分析：從已知關(guān)系式看似乎無從下手，但關(guān)系式要成立先要有意義，此題從被開方數(shù)必須非負(fù)入手就能迎刃而解。 解答過程：由已知，得 由（3）（4）式可知， 所以，原式即為 因?yàn)椋? 所以， 又因?yàn)椋? 所以，解得。 解題后的思考：的非負(fù)性包括兩層含義：一是被開方數(shù)必須非負(fù)，即；二是的算術(shù)平方根必須非負(fù)，即。 小結(jié)：負(fù)數(shù)沒有平方根；一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)互為相反數(shù)的平方根；0的平方根是0 知識點(diǎn)三：平方根的估算 例7. 已知為的整數(shù)部分，是9的平方根，且，求的值。 思路分析：此題涉及的估值問題，由，即可解。還涉及的取值的取舍問題，求出的值要滿足題目

10、中的所有條件，既不能漏解，也不能多解。 解答過程：因?yàn)?，所以，? 因?yàn)槭?的平方根，所以，即或 又因?yàn)?，所? 所以，故。 解題后的思考：若的整數(shù)部分為，則其小數(shù)部分為。 小結(jié)：若一個(gè)非負(fù)數(shù)介于另外兩個(gè)非負(fù)數(shù)之間，即時(shí)，它的算術(shù)平方根也介于之間，即。利用這個(gè)結(jié)論我們可以來估算一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的大致范圍。 對一個(gè)數(shù)和式子進(jìn)行估算是以后我們會經(jīng)常遇到的問題。比如解不等式組、求函數(shù)定義域和值域、求集合的交集和并集等。 知識點(diǎn)四：立方根的概念及其性質(zhì) 例8. 已知是8的立方根，求。 思路分析：此題主要考查立方根的概念，但是用字母表示具體的數(shù)，涉及到代數(shù)。 解答過程：是8的

11、立方根 ， 解題后的思考：利用立方根的概念解決抽象的代數(shù)問題。 小結(jié)：立方根與平方根的區(qū)別： 只有非負(fù)數(shù)才有平方根，0的平方根為0，正數(shù)的平方根有兩個(gè)且互為相反數(shù)； 任何數(shù)均有立方根，并且有唯一的與其符號相同的立方根。 知識點(diǎn)五：平方根與立方根的綜合運(yùn)用 例9. （1）已知，則__________； （2）已知，則。 思路分析：一個(gè)正數(shù)擴(kuò)大（或縮?。?00倍，則它的算術(shù)平方根擴(kuò)大（或縮?。?0倍。從小數(shù)點(diǎn)的位置看，一個(gè)數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右（或向左）移動2位，則它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向右（或向左）移動1位。 一個(gè)正數(shù)擴(kuò)大（或縮?。?000倍，則它的立方根擴(kuò)大（或縮?。?0倍

12、。從小數(shù)點(diǎn)的位置看，一個(gè)數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右（或向左）移動3位，則它的立方根的小數(shù)點(diǎn)向右（或向左）移動1位。 解答過程：（1）因?yàn)? 所以 （2）因?yàn)? 所以 解題后的思考：同學(xué)們可以將以前所學(xué)知識和這個(gè)知識點(diǎn)結(jié)合起來理解和記憶： 一個(gè)正數(shù)擴(kuò)大10倍，則它的平方擴(kuò)大100倍，立方擴(kuò)大1000倍； 反之，一個(gè)正數(shù)縮小100倍，它的算術(shù)平方根縮小10倍；一個(gè)正數(shù)縮小1000倍，它的立方根縮小10倍。 例10. 已知是的算術(shù)平方根，是的立方根，試求的值。 思路分析：由是的算術(shù)平方根可知，由是的立方根可知，由此可得方程組，解得的值，從而求得的值，最后求出的值。 解答過程：由題意可知 解

13、方程組得 所以，， 所以，。 解題后的思考：明確算術(shù)平方根和立方根的意義及表示方法。 例11. 若與互為相反數(shù)，求代數(shù)式的值。 思路分析：由立方根的定義和性質(zhì)可知，若與互為相反數(shù)，則有被開方數(shù)互為相反數(shù)。由此求出的關(guān)系式，然后代入求值。 解答過程：由題意得 所以， 則。 解題后的思考：熟悉掌握立方根的性質(zhì)是解決這類問題的關(guān)鍵。 師生小結(jié) 被開方數(shù) 名稱 正數(shù) 0 負(fù)數(shù) 1 算術(shù)平方根 1個(gè)（正數(shù)） 0 無 1 無 平方根 2個(gè)（一正一負(fù)） 0 無 無 立方根 1個(gè)（正數(shù)） 0 1個(gè)（負(fù)數(shù)）

14、1 第三課時(shí) 平方根與立方根課堂檢測 課堂檢測 一、選擇題： 1. 的絕對值是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 下列說法中正確的是（ ） A. 一個(gè)數(shù)的立方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù) B. 負(fù)數(shù)沒有立方根 C. 如果一個(gè)數(shù)有立方根，那么它一定有平方根 D. 一個(gè)非零數(shù)的立方根與這個(gè)數(shù)同號 3. 與最接近的數(shù)是（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 5 4. 若某數(shù)的立方根等于這個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，那么這個(gè)數(shù)是（ ） A. 1 B. C.

15、0或1 D. 或0 5. 計(jì)算（ ） A. B. C. D. 0 二、填空題： 6. （1）________； （2）___________； （3）________； （4）________； （5）________； 7. 的平方根是__________； 8. 的小數(shù)部分為___________； 9. 下列說法中正確的是_________________（將序號填寫在橫線上） ①4的平方根是2； ②4的算術(shù)平方根是2； ③是4的平方根； ④的平方根是； ⑤0.3是0.09的平方根； ⑥0.4的算

16、術(shù)平方根是0.2。 10. 如果，那么_______。 三、解答題： 11. 求下列各數(shù)的平方根和算術(shù)平方根 （1） （2）0.0081 （3）(－)2 （4）14 12. 求下列各數(shù)的立方根． （1）0.001 （2）－216 （3）3 （4）－3 13. 求下列各式中的x． （1）9x2－256＝0 （2）4(2x－1)2＝25 14. 已知：(1－2a)2＋＝0，求ab的值． 15. 若3x＋16的立方根是4，求2x＋4的算術(shù)平方根． 16. 已知，求的值。 17.已知

17、：（ｘ－1）2+＝0，求ｘ+ｙ2－ｚ的立方根． 　18.已知：ｘ－2的平方根是2,　2ｘ+ｙ+7的立方根是3，求ｘ2+ｙ2的平方根． 19. 若ｘ2＝（－3）2，ｙ3＝（－2）3，求ｘ+ｙ的所有可能值． 19. 將半徑為3 cm的鐵球熔化，重新鑄成8個(gè)半徑相同的小鐵球。 （1）原鐵球的體積是多少？ （2）每個(gè)小鐵球的體積是多少？半徑是多少？（球的體積公式：） 20. 計(jì)劃用100塊地板磚來鋪設(shè)面積為16m2的客廳，求所需的正方形地板磚的邊長是多少米？ 21. 已知第一個(gè)正方體紙盒的棱長是6cm，第二個(gè)正方體紙盒的體積要比第一個(gè)紙盒的體積大127cm3，求第二個(gè)正方體紙盒的棱長．