【備考】高考數學 (真題模擬新題分類匯編) 函數與導數 文
《【備考】高考數學 (真題模擬新題分類匯編) 函數與導數 文》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《【備考】高考數學 (真題模擬新題分類匯編) 函數與導數 文(43頁珍藏版)》請在裝配圖網上搜索。
1、 函數與導數 B1 函數及其表示 圖1-1 3.BP[2013安徽卷] 如圖1-1所示,程序框圖(算法流程圖)的輸出結果為( ) A. B. C. D. 3.C [解析] 依次運算的結果是s=,n=4;s=+,n=6;s=++,n=8,此時輸出s,故輸出結果是++=. 14.B1,B14[2013安徽卷] 定義在R上的函數f(x)滿足f(x+1)=2f(x),若當0≤x≤1時,f(x)=x(1-x),則當-1≤x≤0時,f(x)=________. 14.- [解析] 當-1≤x≤0時,0≤x+1≤1,由f(x+1)=2
2、f(x)可得f(x)=f(x+1)=-x(x+1). 11.B1,E3[2013安徽卷] 函數y=ln1++的定義域為________. 11.(0,1] [解析] 實數x滿足1+>0且1-x2≥0.不等式1+>0,即>0,解得x>0或x<-1;不等式1-x2≥0的解為-1≤x≤1.故所求函數的定義域是(0,1]. 13.B1[2013福建卷] 已知函數f(x)=則f=________. 13.-2 [解析] f=-tan =-1,f(-1)=-2. 21.B1,B12[2013江西卷] 設函數 f(x)=a為常數且a∈(0,1). (1)當a=時,求f; (2)若x0滿足f
3、(f(x0))=x0,但f(x0)≠x0,則稱x0為f(x)的二階周期點.證明函數f(x)有且僅有兩個二階周期點,并求二階周期點x1,x2;
(3)對于(2)中的x1,x2,設A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(a2,0),記△ABC的面積為S(a),求S(a)在區(qū)間上的最大值和最小值.
21.解:(1)當a=時,f=,
f=f=2=.
(2)f(f(x))=
當0≤x≤a2時,由x=x解得x=0,
因為f(0)=0,故x=0不是f(x)的二階周期點;
當a2 4、周期點;
當a 5、)在區(qū)間上的最小值為g=>0,
故對于任意a∈,g(a)=a3-2a2-2a+2>0,
S′(a)=>0)
則S(a)在區(qū)間上單調遞增,
故S(a)在區(qū)間上的最小值為S=,最大值為S=.
12.B1[2013遼寧卷] 已知函數f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.設 H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的較大值,min{p,q}表示p,q中的較小值),記H1(x)的最小值為A,H2(x)的最大值為B,則A-B=( )
A.a2-2a-16 B.a2+2 6、a-16
C.-16 D.16
12.C [解析] 由題意知當f(x)=g(x)時,即x2-2(a+2)x+a2=-x2+2(a-2)x-a2+8,整理得x2-2ax+a2-4=0,所以x=a+2或x=a-2,
H1(x)=max{f(x),g(x)}=
H2(x)=min{f(x),g(x)}=
由圖形可知(圖略),A=H1(x)min=-4a-4,B=H2(x)max=12-4a,則A-B=-16,故選C.
7.B1[2013遼寧卷] 已知函數f(x)=ln(-3x)+1,則f(lg 2)+flg =( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
7.D [解析] 由已 7、知條件可知,f(x)+f(-x)=ln(-3x)+1+ln(+3x)+1=2,而lg 2+lg=lg 2-lg 2=0,故而f(lg 2)+f=2.
圖1-9
19.B1,I2[2013新課標全國卷Ⅱ] 經銷商經銷某種農產品,在一個銷售季度內,每售出1 t該產品獲利潤500元,未售出的產品,每1 t虧損300元.根據歷史資料,得到銷售季度內市場需求量的頻率分布直方圖,如圖1-9所示.經銷商為下一個銷售季度購進了130 t該產品.以X(單位:t,100≤X≤150)表示下一個銷售季度內的市場需求量,T(單位:元)表示下一個銷售季度內經銷該農產品的利潤.
(1)將T表示為X的函數;
( 8、2)根據直方圖估計利潤T不少于57 000元的概率.
19.解:(1)當X∈[100,130)時,
T=500X-300(130-X)
=800X-39 000.
當X∈[130,150]時,T=500130=65 000.
所以T=
(2)由(1)知利潤T不少于57 000元當且僅當
120≤X≤150.
由直方圖知需求量X∈[120,150]的頻率為0.7,所以下一個銷售季度內的利潤T不少于57 000元的概率的估計值為0.7.
5.B1[2013山東卷] 函數f(x)=+的定義域為( )
A.(-3,0]
B.(-3,1]
C.(-∞,-3)∪(-3,0]
D 9、.(-∞,-3)∪(-3,1]
5.A [解析] 要使函數有意義,須有解之得-3 10、(x1,kx1),(x2,kx2),則
|OM|2=(1+k2)x,|ON|2=(1+k2)x.
又|OQ|2=m2+n2=(1+k2)m2,
由=+,得
=+,
即=+=.
由(*)式可知,x1+x2=,x1x2=,
所以m2=.
因為點Q在直線y=kx上,所以k=,代入m2=中并化簡,得5n2-3m2=36.
由m2=及k2>3,可知0 11、________.
11.10 [解析] f(a)==3.則a-1=9,a=10.
3.B1[2013重慶卷] 函數y=的定義域是( )
A.(-∞,2) B.(2,+∞)
C.(2,3)∪(3,+∞) D.(2,4)∪(4,+∞)
3.C [解析] 由題可知所以x>2且x≠3,故選C.
B2 反函數
6.B2[2013全國卷] 函數f(x)=log2(x>0)的反函數f-1(x)=( )
A.(x>0) B.(x≠0)
C.2x-1(x∈R) D.2x-1(x>0)
6.A [解析] 令y=log2,則y> 12、0,且1+=2y,解得x=,交換x,y得f-1(x)=(x>0).
B3 函數的單調性與最值
13.B3[2013北京卷] 函數f(x)=的值域為________.
13.(-∞,2) [解析] 函數y=logx在(0,+∞)上為減函數,當x≥1時,函數y=logx的值域為(-∞,0];函數y=2x在R上是增函數,當x<1時,函數y=2x的值域為(0,2),所以原函數的值域為(-∞,2).
3.B4,B3[2013北京卷] 下列函數中,既是偶函數又在區(qū)間(0,+∞)上單調遞減的是( )
A.y= B.y=e-x
C.y=-x 13、2+1 D.y=lg |x|
3.C [解析] 對于A,y=是奇函數,排除.對于B,y=e-x既不是奇函數,也不是偶函數,排除.對于D,y=lg |x|是偶函數,但在(0,+∞)上有y=lgx,此時單調遞增,排除.只有C符合題意.
12.B3,B6[2013新課標全國卷Ⅱ] 若存在正數x使2x(x-a)<1成立,則a的取值范圍是( )
A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞)
C.(0,+∞) D.(-1,+∞)
12.D [解析] 由題意存在正數x使得a>x-成立,即a>.由于x-是(0,+∞)上的增函數,故x->0-=-1,所以a>-1.答案為D.
11.B3,B5,B8 14、,B12[2013新課標全國卷Ⅱ] 已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c,下列結論中錯誤的是( )
A.x0∈R,f(x0)=0
B.函數y=f(x)的圖像是中心對稱圖形
C.若x0是f(x)的極小值點,則f(x)在區(qū)間(-∞,x0)單調遞減
D.若x0是f(x)的極值點,則f′(x0)=0
11.C [解析] x→-∞時,f(x)<0,x→+∞時,f(x)>0,又f(x)連續(xù),x0∈R,f(x0)=0,A正確.通過平移變換,函數可以化為f(x)=x3+c,從而函數y=f(x)的圖像是中心對稱圖形,B正確.若x0是f(x)的極小值點,可能還有極大值點x1,若x1 15、(x)在區(qū)間(x1,x0)單調遞減,C錯誤.D正確.故答案為C.
21.B3,B9,B12[2013四川卷] 已知函數f(x)=其中a是實數.設A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))為該函數圖像上的兩點,且x1 16、1),點B處的切線斜率為f′(x2).
故當點A處的切線與點B處的切線垂直時,有f′(x1)f′(x2)=-1.
當x<0時,對函數f(x)求導,得f′(x)=2x+2.
因為x1 17、,函數f(x)的圖像在點(x1,f(x1))處的切線方程為
y-(x+2x1+a)=(2x1+2)(x-x1),即
y=(2x1+2)x-x+a.
當x2>0時,函數f(x)的圖像在點(x2,f(x2))處的切線方程為y-ln x2=(x-x2),即y=x+ln x2-1.
兩切線重合的充要條件是
由①及x1<0 18、-ln 2-1,
所以a>-ln2-1,
而當t∈(0,2)且t趨近于0時,h(t)無限增大,
所以a的取值范圍是(-ln 2-1,+∞).
故當函數f(x)的圖像在點A,B處的切線重合時,a的取值范圍是(-ln 2-1,+∞).
10.B3,B12[2013四川卷] 設函數f(x)=(a∈R,e為自然對數的底數).若存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立,則a的取值范圍是( )
A.[1,e] B.[1,1+e]
C.[e,1+e] D.[0,1]
10.A [解析] 易得f(x)在[0,1]上是增函數,對于b∈[0,1],如果f(b)=c>b,則f(f(b))=f 19、(c)>f(b)=c>b,不可能有f(f(b))=b;同理,當f(b)=d<b時,則f(f(b))=f(d)<f(b)=d<b,也不可能有f(f(b))=b;因此必有f(b)=b,即方程f(x)=x在[0,1]上有解,即=x.因為x≥0,兩邊平方得ex+x-a=x2,所以a=ex-x2+x.記g(x)=ex-x2+x,則g′(x)=ex-2x+1.
當x∈時,ex>0,-2x+1≥0,故g′(x)>0.
當x∈時,ex>>1,-2x+1≥-1,故g′(x)>0,綜上,g′(x)在x∈[0,1]上恒大于0,所以g(x)在[0,1]上為增函數,值域為[g(0),g(1)],即[1,e],從而a 20、的取值范圍是[1,e].
B4 函數的奇偶性與周期性
3.B4,B3[2013北京卷] 下列函數中,既是偶函數又在區(qū)間(0,+∞)上單調遞減的是( )
A.y= B.y=e-x
C.y=-x2+1 D.y=lg |x|
3.C [解析] 對于A,y=是奇函數,排除.對于B,y=e-x既不是奇函數,也不是偶函數,排除.對于D,y=lg |x|是偶函數,但在(0,+∞)上有y=lgx,此時單調遞增,排除.只有C符合題意.
13.B4[2013全國卷] 設f(x)是以2為周期的函數,且當x∈[1,3)時,f(x)=x- 21、2,則f(-1)=________
13.-1 [解析] f(-1)=f(-1+2)=f(1)=1-2=-1.
2.B4[2013廣東卷] 函數y=的定義域是( )
A.(-1,+∞) B.[-1,+∞)
C.(-1,1)∪(1,+∞) D.[-1,1)∪(1,+∞)
2.C [解析] 由題知得x∈(-1,1)∪(1,+∞),故選C.
8.B4[2013湖北卷] x為實數,[x]表示不超過x的最大整數,則函數f(x)=x-[x]在R上為( )
A.奇函數 B.偶函數 C.增函數 D.周期函數
8.D [解析] 作出函數f(x)=x-[x]的大致圖像如下:
觀 22、察圖像,易知函數f(x)=x-[x]是周期函數.
4.B4[2013湖南卷] 已知f(x)是奇函數,g(x)是偶函數,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,則g(1)等于( )
A.4 B.3
C.2 D.1
4.B [解析] 由函數的奇偶性質可得f(-1)=-f(1),g(-1)=g(1).根據f(-1)+g(1)=-f(1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=f(1)+g(1)=4,可得2g(1)=6,即g(1)=3,選B.
11.B4[2013江蘇卷] 已知f(x)是定義在R上的奇函數.當x>0時,f(x)=x2-4x,則不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表 23、示為________.
11.(-5,0)∪(5,+∞) [解析] 設x<0,則-x>0.因為f(x)是奇函數,所以f(x)=-f(-x)=-(x2+4x).
又f(0)=0,于是不等式f(x)>x等價于
或
解得x>5或-5 24、數,且在區(qū)間[0,+∞)上單調遞增.若實數a滿足f(log2a)+f(loga)≤2f(1),則a的取值范圍是( )
A.[1,2] B.0,
C.,2 D.(0,2]
7.C [解析] ∵f(x)為偶函數,∴f(log2a)=f(loga),又∵f(log2a)+f≤2f(1),∴f(log2a)≤f(1),即|log2a|≤1,解之得≤a≤2.
9.B4和B7[2013重慶卷] 已知函數f(x)=ax3+bsin x+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,則f(lg(lg 2))=( )
A.-5 B.-1 C.3 D.4
9.C [解析] 因為f(l 25、g(log210))=f=f(-lg(lg 2))=5,又因為f(x)+f(-x)=8,所以f(-lg(lg2))+f(lg(lg2))=5+f(lg(lg2))=8,所以f(lg(lg 2))=3,故選C.
B5 二次函數
6.B5,B9[2013湖南卷] 函數f(x)=ln x的圖像與函數g(x)=x2-4x+4的圖像的交點個數為( )
A.0 B.1
C.2 D.3
6.A [解析] 方法一:作出函數f(x)=ln x,g(x)=x2-4x+4的圖像如圖所示
可知,其交點個數為2,選C.
方法二(數值法)
26、
x
1
2
4
f(x)=ln x
0
ln 2(>0)
ln 4(<4)
g(x)=x2-4x+4
1
0
4
可知它們有2個交點,選C.
2.B5[2013江西卷] 若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一個元素,則a=( )
A.4 B.2 C.0 D.0或4
2.A [解析] 當a=0時,A=;當a≠0時,Δ=a2-4a=0,則a=4,故選A.
11.B3,B5,B8,B12[2013新課標全國卷Ⅱ] 已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c,下列結論中錯誤的是( )
A.x0∈R,f(x0)=0
B.函數y=f(x)的圖像 27、是中心對稱圖形
C.若x0是f(x)的極小值點,則f(x)在區(qū)間(-∞,x0)單調遞減
D.若x0是f(x)的極值點,則f′(x0)=0
11.C [解析] x→-∞時,f(x)<0,x→+∞時,f(x)>0,又f(x)連續(xù),x0∈R,f(x0)=0,A正確.通過平移變換,函數可以化為f(x)=x3+c,從而函數y=f(x)的圖像是中心對稱圖形,B正確.若x0是f(x)的極小值點,可能還有極大值點x1,若x1 28、取值范圍是( )
A.(-∞,0] B.(-∞,1]
C.[-2,1] D.[-2,0]
12.D [解析] 函數y=|f(x)|=在同一坐標系中畫出y=|f(x)|,y=ax的圖像如圖所示,問題等價于直線y=ax不在函數y=|f(x)|圖像的上方,顯然a>0時,y=ln (x+1)的圖像不可能恒在直線y=ax的上方,故a≤0;由于直線y=ax與曲線y=x2-2x均過坐標原點,所以滿足條件的直線y=ax的極端位置是曲線y=x2-2x在點(0,0)處的切線,y′=2x-2,當x=0時y′=-2.所以-2≤a≤0.
7.B5[2013浙江卷] 已知a,b,c∈R,函數f(x)=a 29、x2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),則( )
A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0
C.a>0,2a+b=0 D.a<0,2a+b=0
7.A [解析] 若f(0)=f(4),則函數f(x)的圖像關于直線x=2對稱,則-=2,則4a+b=0,而f(0)=f(4)>f(1),故開口向上,所以a>0,4a+b=0.所以選擇A.
B6 指數與指數函數
12.B3,B6[2013新課標全國卷Ⅱ] 若存在正數x使2x(x-a)<1成立,則a的取值范圍是( )
A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞)
C 30、.(0,+∞) D.(-1,+∞)
12.D [解析] 由題意存在正數x使得a>x-成立,即a>.由于x-是(0,+∞)上的增函數,故x->0-=-1,所以a>-1.答案為D.
B7 對數與指數函數
8.B7,E1[2013新課標全國卷Ⅱ] 設a=log32,b=log52,c=log23,則( )
A.a>c>b B.b>c>a
C.c>b>a D.c>a>b
8.D [解析] a-b=log32-log52=-=>0a>b,c=log23>1,a<1,b<1,所以c>a>b,答案為D.
16.B7,M1[20 31、13山東卷] 定義“正對數”:ln+x=現有四個命題:
①若a>0,b>0,則ln+(ab)=bln+a;
②若a>0,b>0,則ln+(ab)=ln a+ln+b;
③若a>0,b>0,則ln+≥ln+a-ln+b;
④若a>0,b>0,則ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln 2.
其中的真命題有________.(寫出所有真命題的編號)
16.①③④ [解析] ①中,當ab≥1時,∵b>0,∴a≥1,ln+ab=ln ab=bln a=bln+a;當0 32、=ln+(ab)=0,右邊=ln+a+ln+b=ln a+0=ln a>0,∴②不成立.
③中,當≤1,即a≤b時,左邊=0,右邊=ln+a-ln+b≤0,左邊≥右邊,成立;當>1時,左邊=ln =ln a-ln b>0,若a>b>1時,右邊=ln a-ln b,左邊≥右邊成立;若01>b>0,左邊=ln =ln a-ln b>ln a,右邊=ln a,左邊≥右邊成立,∴③正確.
④中,若00,左邊≤右邊;若a+b≥1,ln+(a+b)-ln 2=ln 33、(a+b)-ln 2=ln.
又∵≤a或≤b,a,b至少有1個大于1,
∴l(xiāng)n≤ln a或ln≤ln b,即有l(wèi)n+(a+b)-ln 2=ln (a+b)-ln 2=ln≤ln+a+ln+b,∴④正確.
7.B4,B7[2013天津卷] 已知函數f(x)是定義在R上的偶函數,且在區(qū)間[0,+∞)上單調遞增.若實數a滿足f(log2a)+f(loga)≤2f(1),則a的取值范圍是( )
A.[1,2] B.0,
C.,2 D.(0,2]
7.C [解析] ∵f(x)為偶函數,∴f(log2a)=f(loga),又∵f(log2a)+f≤2f(1),∴f(log2a)≤f(1 34、),即|log2a|≤1,解之得≤a≤2.
3.B7[2013陜西卷] 設a,b,c均為不等于1的正實數,則下列等式中恒成立的是( )
A.logablogcb=logca B.logablogca=logcb
C.loga(bc)=logablogac D.loga(b+c)=logab+logac
3.B [解析] 利用對數的運算性質可知C,D是錯誤的.再利用對數運算性質logablogcb≠logca.又因為logablogca===logcb,故選B.
11.B7[2013四川卷] lg +lg 的值是________.
11.1 [解析] lg +lg =lg ( 35、)=lg =lg 10=1.
9.B4和B7[2013重慶卷] 已知函數f(x)=ax3+bsin x+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,則f(lg(lg 2))=( )
A.-5 B.-1 C.3 D.4
9.C [解析] 因為f(lg(log210))=f=f(-lg(lg 2))=5,又因為f(x)+f(-x)=8,所以f(-lg(lg2))+f(lg(lg2))=5+f(lg(lg2))=8,所以f(lg(lg 2))=3,故選C.
B8 冪函數與函數的圖像
5.B8[2013福建卷] 函數f(x) 36、=ln(x2+1)的圖像大致是( )
圖1-1
5.A [解析] f(x)是定義域為R的偶函數,圖像關于y軸對稱,又過點(0,0),故選A.
11.B3,B5,B8,B12[2013新課標全國卷Ⅱ] 已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c,下列結論中錯誤的是( )
A.x0∈R,f(x0)=0
B.函數y=f(x)的圖像是中心對稱圖形
C.若x0是f(x)的極小值點,則f(x)在區(qū)間(-∞,x0)單調遞減
D.若x0是f(x)的極值點,則f′(x0)=0
11.C [解析] x→-∞時,f(x)<0,x→+∞時,f(x)>0,又f(x)連續(xù),x0∈R,f(x0)= 37、0,A正確.通過平移變換,函數可以化為f(x)=x3+c,從而函數y=f(x)的圖像是中心對稱圖形,B正確.若x0是f(x)的極小值點,可能還有極大值點x1,若x1 38、x)=3x2+2ax+b,根據已知,得3x2+2ax+b=0有兩個不同的實根x1,x2,且x1 39、{2,3} B.{2,3,4} C.{3,4} D.{3,4,5}
8.B [解析] 問題等價于求直線y=kx與函數y=f(x)圖像的交點個數,從圖中可以看出交點個數可以為2,3,4,故n的取值范圍是{2,3,4}.
18.B11,B12,B9,B14[2013北京卷] 已知函數f(x)=x2+xsin x+cos x.
(1)若曲線y=f(x)在點(a,f(a))處與直線y=b相切,求a與b的值;
(2)若曲線y=f(x)與直線y=b有兩個不同交點,求b的取值范圍.
18.解:由f(x)=x2+xsin x+cos x,得
f′(x)=x(2+cos x).
(1)因為曲 40、線y=f(x)在點(a,f(a))處與直線y=b相切,所以f′(a)=a(2+cos a)=0,b=f(a).
解得a=0,b=f(0)=1.
(2)令f ′(x)=0,得x=0.
f(x)與f′(x)的情況如下:
x
(-∞,0)
0
(0,+∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
1
所以函數f(x)在區(qū)間(-∞,0)上單調遞減,在區(qū)間(0,+∞)上單調遞增,f(0)=1是f(x)的最小值.
當b≤1時,曲線y=f(x)與直線y=b最多只有一個交點;
當b>1時,f(-2b)=f(2b)≥4b2-2b-1>4b-2b-1>b,f(0)=1
41、,
所以存在x1∈(-2b,0),x2∈(0,2b),使得f(x1)=f(x2)=b.
由于函數f(x)在區(qū)間(-∞,0)和(0,+∞)上均單調,所以當b>1時,曲線y=f(x)與直線y=b有且僅有兩個不同交點.
綜上可知,如果曲線y=f(x)與直線y=b有兩個不同交點,那么b的取值范圍是(1,+∞).
6.B5,B9[2013湖南卷] 函數f(x)=ln x的圖像與函數g(x)=x2-4x+4的圖像的交點個數為( )
A.0 B.1
C.2 D.3
6.A [解析] 方法一:作出函數f(x)=ln x,g(x)=x2-4x+4的圖像如圖所示
可知,其交點個數為2,選 42、C.
方法二(數值法)
x
1
2
4
f(x)=ln x
0
ln 2(>0)
ln 4(<4)
g(x)=x2-4x+4
1
0
4
可知它們有2個交點,選C.
8.B9[2013天津卷] 設函數f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3.若實數a,b滿足f(a)=0,g(b)=0,則( )
A.g(a)<0 43、
所以g(a)<0 44、).
故當點A處的切線與點B處的切線垂直時,有f′(x1)f′(x2)=-1.
當x<0時,對函數f(x)求導,得f′(x)=2x+2.
因為x1 45、(x1))處的切線方程為
y-(x+2x1+a)=(2x1+2)(x-x1),即
y=(2x1+2)x-x+a.
當x2>0時,函數f(x)的圖像在點(x2,f(x2))處的切線方程為y-ln x2=(x-x2),即y=x+ln x2-1.
兩切線重合的充要條件是
由①及x1<0 46、2-1,
而當t∈(0,2)且t趨近于0時,h(t)無限增大,
所以a的取值范圍是(-ln 2-1,+∞).
故當函數f(x)的圖像在點A,B處的切線重合時,a的取值范圍是(-ln 2-1,+∞).
B10 函數模型及其應用
5.B10[2013湖北卷] 小明騎車上學,開始時勻速行駛,途中因交通堵塞停留了一段時間,后為了趕時間加快速度行駛,與以上事件吻合得最好的圖像是( )
圖1-1
5.C [解析] 由題意可知函數圖像最開始為“斜率為負的線段”,接著為“與x軸平行的線段”,最后為“斜率為負值,且小于之前斜率的線段” 47、.觀察選項中圖像可知,C項符合,故選C.
10.B10[2013陜西卷] 設[x]表示不大于x的最大整數,則對任意實數x,有( )
A.[-x]=-[x] B.=[x]
C.[2x]=2[x] D.[x]+=[2x]
10.D [解析] 可取特值x=3.5,則[-x]=[-3.5]=-4,-[x]=-[3.5]=-3,故A錯.x+=[3.5+0.5]=4,而[x]=[3.5]=3,故B錯. [2x]=[7]=7,2[x]=2[3.5]=6,故C錯.[x]+ x+=7,而[2x]=[7]=7,故只有D正確.
B11 導數及其運算
48、
18.B11,B12,B9,B14[2013北京卷] 已知函數f(x)=x2+xsin x+cos x.
(1)若曲線y=f(x)在點(a,f(a))處與直線y=b相切,求a與b的值;
(2)若曲線y=f(x)與直線y=b有兩個不同交點,求b的取值范圍.
18.解:由f(x)=x2+xsin x+cos x,得
f′(x)=x(2+cos x).
(1)因為曲線y=f(x)在點(a,f(a))處與直線y=b相切,所以f′(a)=a(2+cos a)=0,b=f(a).
解得a=0,b=f(0)=1.
(2)令f ′(x)=0,得x=0.
f(x)與f′(x)的情況如下:
49、
x
(-∞,0)
0
(0,+∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
1
所以函數f(x)在區(qū)間(-∞,0)上單調遞減,在區(qū)間(0,+∞)上單調遞增,f(0)=1是f(x)的最小值.
當b≤1時,曲線y=f(x)與直線y=b最多只有一個交點;
當b>1時,f(-2b)=f(2b)≥4b2-2b-1>4b-2b-1>b,f(0)=11時,曲線y=f(x)與直線y=b有且僅有兩個不同交點.
綜 50、上可知,如果曲線y=f(x)與直線y=b有兩個不同交點,那么b的取值范圍是(1,+∞).
10.B11[2013全國卷] 已知曲線y=x4+ax2+1在點(-1,a+2)處切線的斜率為8,則a=( )
A.9 B.6
C.-9 D.-6
10.D [解析] y′=4x3+2ax,當x=-1時y′=8,故8=-4-2a,解得a=-6.
12.B11[2013廣東卷] 若曲線y=ax2-ln x在點(1,a)處的切線平行于x軸,則a=________
12. [解析] 易知點(1,a)在曲線y=ax2-ln x上,y′=2ax-,∴=2a-1=0,∴a=.
11.B11[2 51、013江西卷] 若曲線y=xα+1(α∈R)在點(1,2)處的切線經過坐標原點,則α=________.
11.2 [解析] y′=αxα-1,y′=α,所以切線方程為y-2=α(x-1),該切線過原點,得α=2.
21.B11,B12[2013陜西卷] 已知函數f(x)=ex,x∈R.
(1)求f(x)的反函數的圖像上點(1,0)處的切線方程;
(2)證明:曲線y=f(x)與曲線y=x2+x+1有唯一公共點;
(3)設a
52、.
于是在點(1,0)處切線方程為y=x-1.
(2)方法一:曲線y=ex與y=x2+x+1公共點的個數等于函數φ(x)=ex-x2-x-1零點的個數.
∵φ(0)=1-1=0,∴φ(x)存在零點x=0.
又φ′(x)=ex-x-1,令h(x)=φ′(x)=ex-x-1,
則h′(x)=ex-1.
當x<0時,h′(x)<0,∴φ′(x)在(-∞,0)上單調遞減;
當x>0時,h′(x)>0,∴φ′(x)在(0,+∞)上單調遞增.
∴φ′(x)在x=0有唯一的極小值φ′(0)=0,
即φ′(x)在R上的最小值為φ′(0)=0,
∴φ′(x)≥0(僅當x=0時等號成立),
53、∴φ(x)在R上是單調遞增的,
∴φ(x)在R上有唯一的零點.
故曲線y=f(x)與曲線y=x2+x+1有唯一公共點.
方法二:∵ex>0,x2+x+1>0,
∴曲線y=ex與y=x2+x+1公共點的個數等于
曲線y=與直線y=1公共點的個數.
設φ(x)=,則φ(0)=1,即x=0時,兩曲線有公共點.
又φ′(x)==≤0(僅當x=0時等號成立),
∴φ(x)在R上單調遞減,
∴φ(x)與y=1有唯一的公共點,
故曲線y=f(x)與y=x2+x+1有唯一的公共點.
(3)-f=-e ==.
設函數u(x)=ex --2x(x≥0),則u′(x)=ex+-2≥2-2=0 54、.
∴u′(x)≥0(僅當x=0時等號成立),
∴u(x)單調遞增.
當x>0時,u(x)>u(0)=0.
令x=,則得e-e-(b-a)>0.
∴>f.
20.B11、B12[2013新課標全國卷Ⅰ] 已知函數f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=4x+4.
(1)求a,b的值;
(2)討論f(x)的單調性,并求f(x)的極大值.
20.解:(1)f′(x)=ex(ax+a+b)-2x-4.
由已知得f(0)=4,f′(0)=4,故b=4,a+b=8.
從而a=4,b=4.
(2)由(1)知,f(x)=4ex( 55、x+1)-x2-4x.
f′(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2).
令f′(x)=0,得x=-ln 2或x=-2.
從而當x∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)時,f′(x)>0;當x∈(-2,-ln 2)時,f′(x)<0.
故f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上單調遞增,在(-2,-ln 2)上單調遞減.
當x=-2時,函數f(x)取得極大值,極大值為f(-2)=4(1-e-2).
20.B11和B12[2013重慶卷] 某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度).設該蓄水池的底面半徑為r米,高為h米,體積為V立方米.假設建造成本僅與表面積有關,側 56、面的建造成本為100元/平方米,底面的建造成本為160元/平方米,該蓄水池的總建造成本為12 000π元(π為圓周率).
(1)將V表示成r的函數V(r),并求該函數的定義域;
(2)討論函數V(r)的單調性,并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大.
20.解:(1)因為蓄水池側面的總成本為1002πrh=200πrh元,底面的總成本為160πr2元,所以蓄水池的總成本為(200πrh+160πr2)元,又據題意200πrh+160πr2=12 000π,所以h=(300-4r2),從而
V(r)=πr2h=(300r-4r3).
因為r>0,又由h>0可得r<5 ,故函數V(r)的 57、定義域為(0,5 ).
(2)因為V(r)=(300r-4r3),故V′(r)=(300-12r2).令V′(r)=0,解得r1=5,r2=-5(r2=-5不在定義域內,舍去).
當r∈(0,5)時,V′(r)>0,故V(r)在(0,5)上為增函數;當r∈(5,5 )時,V′(r)<0,故V(r)在(5,5 )上為減函數.
由此可知,V(r)在r=5處取得最大值,此時h=8,即當r=5,h=8時,該蓄水池的體積最大.
B12 導數的應用
20.E3,B12[2013安徽卷] 設函數f(x)=ax-(1+a2)x2,其中a>0,區(qū)間
- 溫馨提示:
1: 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
2: 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯系上傳者。文件的所有權益歸上傳用戶所有。
3.本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網頁內容里面會有圖紙預覽,若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
4. 未經權益所有人同意不得將文件中的內容挪作商業(yè)或盈利用途。
5. 裝配圖網僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內容的表現方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內容負責。
6. 下載文件中如有侵權或不適當內容,請與我們聯系,我們立即糾正。
7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。