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【備考】高考數學 (真題模擬新題分類匯編) 函數與導數 文

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1、 函數與導數 B1 函數及其表示                    圖1-1 3.BP[2013安徽卷] 如圖1-1所示,程序框圖(算法流程圖)的輸出結果為(  ) A. B. C. D. 3.C [解析] 依次運算的結果是s=,n=4;s=+,n=6;s=++,n=8,此時輸出s,故輸出結果是++=. 14.B1,B14[2013安徽卷] 定義在R上的函數f(x)滿足f(x+1)=2f(x),若當0≤x≤1時,f(x)=x(1-x),則當-1≤x≤0時,f(x)=________. 14.- [解析] 當-1≤x≤0時,0≤x+1≤1,由f(x+1)=2

2、f(x)可得f(x)=f(x+1)=-x(x+1). 11.B1,E3[2013安徽卷] 函數y=ln1++的定義域為________. 11.(0,1] [解析] 實數x滿足1+>0且1-x2≥0.不等式1+>0,即>0,解得x>0或x<-1;不等式1-x2≥0的解為-1≤x≤1.故所求函數的定義域是(0,1]. 13.B1[2013福建卷] 已知函數f(x)=則f=________. 13.-2 [解析] f=-tan =-1,f(-1)=-2. 21.B1,B12[2013江西卷] 設函數 f(x)=a為常數且a∈(0,1). (1)當a=時,求f; (2)若x0滿足f

3、(f(x0))=x0,但f(x0)≠x0,則稱x0為f(x)的二階周期點.證明函數f(x)有且僅有兩個二階周期點,并求二階周期點x1,x2; (3)對于(2)中的x1,x2,設A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(a2,0),記△ABC的面積為S(a),求S(a)在區(qū)間上的最大值和最小值. 21.解:(1)當a=時,f=, f=f=2=. (2)f(f(x))= 當0≤x≤a2時,由x=x解得x=0, 因為f(0)=0,故x=0不是f(x)的二階周期點; 當a2

4、周期點; 當a0. (或令g(a)=a3-2a2-2a+2, g′(a)=3a2-4a-2=3, 因a∈(0,1),g′(a)<0,則g(a

5、)在區(qū)間上的最小值為g=>0, 故對于任意a∈,g(a)=a3-2a2-2a+2>0, S′(a)=>0) 則S(a)在區(qū)間上單調遞增, 故S(a)在區(qū)間上的最小值為S=,最大值為S=. 12.B1[2013遼寧卷] 已知函數f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.設 H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的較大值,min{p,q}表示p,q中的較小值),記H1(x)的最小值為A,H2(x)的最大值為B,則A-B=(  ) A.a2-2a-16    B.a2+2

6、a-16 C.-16 D.16 12.C [解析] 由題意知當f(x)=g(x)時,即x2-2(a+2)x+a2=-x2+2(a-2)x-a2+8,整理得x2-2ax+a2-4=0,所以x=a+2或x=a-2, H1(x)=max{f(x),g(x)}= H2(x)=min{f(x),g(x)}= 由圖形可知(圖略),A=H1(x)min=-4a-4,B=H2(x)max=12-4a,則A-B=-16,故選C. 7.B1[2013遼寧卷] 已知函數f(x)=ln(-3x)+1,則f(lg 2)+flg =(  ) A.-1 B.0 C.1 D.2 7.D [解析] 由已

7、知條件可知,f(x)+f(-x)=ln(-3x)+1+ln(+3x)+1=2,而lg 2+lg=lg 2-lg 2=0,故而f(lg 2)+f=2. 圖1-9 19.B1,I2[2013新課標全國卷Ⅱ] 經銷商經銷某種農產品,在一個銷售季度內,每售出1 t該產品獲利潤500元,未售出的產品,每1 t虧損300元.根據歷史資料,得到銷售季度內市場需求量的頻率分布直方圖,如圖1-9所示.經銷商為下一個銷售季度購進了130 t該產品.以X(單位:t,100≤X≤150)表示下一個銷售季度內的市場需求量,T(單位:元)表示下一個銷售季度內經銷該農產品的利潤. (1)將T表示為X的函數; (

8、2)根據直方圖估計利潤T不少于57 000元的概率. 19.解:(1)當X∈[100,130)時, T=500X-300(130-X) =800X-39 000. 當X∈[130,150]時,T=500130=65 000. 所以T= (2)由(1)知利潤T不少于57 000元當且僅當 120≤X≤150. 由直方圖知需求量X∈[120,150]的頻率為0.7,所以下一個銷售季度內的利潤T不少于57 000元的概率的估計值為0.7. 5.B1[2013山東卷] 函數f(x)=+的定義域為(  ) A.(-3,0] B.(-3,1] C.(-∞,-3)∪(-3,0] D

9、.(-∞,-3)∪(-3,1] 5.A [解析] 要使函數有意義,須有解之得-30,得k2>3. 所以,k的取值范圍是(-∞,-)∪(+∞). (2)因為M,N在直線l上,可設點M,N的坐標分別為

10、(x1,kx1),(x2,kx2),則 |OM|2=(1+k2)x,|ON|2=(1+k2)x. 又|OQ|2=m2+n2=(1+k2)m2, 由=+,得 =+, 即=+=. 由(*)式可知,x1+x2=,x1x2=, 所以m2=. 因為點Q在直線y=kx上,所以k=,代入m2=中并化簡,得5n2-3m2=36. 由m2=及k2>3,可知00, 所以n==. 于是,n與m的函數關系為n=(m∈(-,0)∪(0,)). 11.B1[2013浙江卷] 已知函數f(x)= .若f(a)=3,則實數a=

11、________. 11.10 [解析] f(a)==3.則a-1=9,a=10. 3.B1[2013重慶卷] 函數y=的定義域是(  ) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(2,3)∪(3,+∞) D.(2,4)∪(4,+∞) 3.C [解析] 由題可知所以x>2且x≠3,故選C. B2 反函數                    6.B2[2013全國卷] 函數f(x)=log2(x>0)的反函數f-1(x)=(  ) A.(x>0) B.(x≠0) C.2x-1(x∈R) D.2x-1(x>0) 6.A [解析] 令y=log2,則y>

12、0,且1+=2y,解得x=,交換x,y得f-1(x)=(x>0). B3 函數的單調性與最值                    13.B3[2013北京卷] 函數f(x)=的值域為________. 13.(-∞,2) [解析] 函數y=logx在(0,+∞)上為減函數,當x≥1時,函數y=logx的值域為(-∞,0];函數y=2x在R上是增函數,當x<1時,函數y=2x的值域為(0,2),所以原函數的值域為(-∞,2). 3.B4,B3[2013北京卷] 下列函數中,既是偶函數又在區(qū)間(0,+∞)上單調遞減的是(  ) A.y= B.y=e-x C.y=-x

13、2+1 D.y=lg |x| 3.C [解析] 對于A,y=是奇函數,排除.對于B,y=e-x既不是奇函數,也不是偶函數,排除.對于D,y=lg |x|是偶函數,但在(0,+∞)上有y=lgx,此時單調遞增,排除.只有C符合題意. 12.B3,B6[2013新課標全國卷Ⅱ] 若存在正數x使2x(x-a)<1成立,則a的取值范圍是(  ) A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞) C.(0,+∞) D.(-1,+∞) 12.D [解析] 由題意存在正數x使得a>x-成立,即a>.由于x-是(0,+∞)上的增函數,故x->0-=-1,所以a>-1.答案為D. 11.B3,B5,B8

14、,B12[2013新課標全國卷Ⅱ] 已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c,下列結論中錯誤的是(  ) A.x0∈R,f(x0)=0 B.函數y=f(x)的圖像是中心對稱圖形 C.若x0是f(x)的極小值點,則f(x)在區(qū)間(-∞,x0)單調遞減 D.若x0是f(x)的極值點,則f′(x0)=0 11.C [解析] x→-∞時,f(x)<0,x→+∞時,f(x)>0,又f(x)連續(xù),x0∈R,f(x0)=0,A正確.通過平移變換,函數可以化為f(x)=x3+c,從而函數y=f(x)的圖像是中心對稱圖形,B正確.若x0是f(x)的極小值點,可能還有極大值點x1,若x1

15、(x)在區(qū)間(x1,x0)單調遞減,C錯誤.D正確.故答案為C. 21.B3,B9,B12[2013四川卷] 已知函數f(x)=其中a是實數.設A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))為該函數圖像上的兩點,且x1

16、1),點B處的切線斜率為f′(x2). 故當點A處的切線與點B處的切線垂直時,有f′(x1)f′(x2)=-1. 當x<0時,對函數f(x)求導,得f′(x)=2x+2. 因為x10, 因此x2-x1=[-(2x1+2)+2x2+2]≥=1. 當且僅當-(2x1+2)=2x2+2=1,即x1=-且x2=-時等號成立 所以,函數f(x)的圖像在點A,B處的切線互相垂直時,有x2-x1≥1. (3)當x1x1>0時,f′(x1)≠f′(x2),故x1<0

17、,函數f(x)的圖像在點(x1,f(x1))處的切線方程為 y-(x+2x1+a)=(2x1+2)(x-x1),即 y=(2x1+2)x-x+a. 當x2>0時,函數f(x)的圖像在點(x2,f(x2))處的切線方程為y-ln x2=(x-x2),即y=x+ln x2-1. 兩切線重合的充要條件是 由①及x1<0h(2)=

18、-ln 2-1, 所以a>-ln2-1, 而當t∈(0,2)且t趨近于0時,h(t)無限增大, 所以a的取值范圍是(-ln 2-1,+∞). 故當函數f(x)的圖像在點A,B處的切線重合時,a的取值范圍是(-ln 2-1,+∞). 10.B3,B12[2013四川卷] 設函數f(x)=(a∈R,e為自然對數的底數).若存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立,則a的取值范圍是(  ) A.[1,e] B.[1,1+e] C.[e,1+e] D.[0,1] 10.A [解析] 易得f(x)在[0,1]上是增函數,對于b∈[0,1],如果f(b)=c>b,則f(f(b))=f

19、(c)>f(b)=c>b,不可能有f(f(b))=b;同理,當f(b)=d<b時,則f(f(b))=f(d)<f(b)=d<b,也不可能有f(f(b))=b;因此必有f(b)=b,即方程f(x)=x在[0,1]上有解,即=x.因為x≥0,兩邊平方得ex+x-a=x2,所以a=ex-x2+x.記g(x)=ex-x2+x,則g′(x)=ex-2x+1. 當x∈時,ex>0,-2x+1≥0,故g′(x)>0. 當x∈時,ex>>1,-2x+1≥-1,故g′(x)>0,綜上,g′(x)在x∈[0,1]上恒大于0,所以g(x)在[0,1]上為增函數,值域為[g(0),g(1)],即[1,e],從而a

20、的取值范圍是[1,e]. B4 函數的奇偶性與周期性                    3.B4,B3[2013北京卷] 下列函數中,既是偶函數又在區(qū)間(0,+∞)上單調遞減的是(  ) A.y=       B.y=e-x C.y=-x2+1 D.y=lg |x| 3.C [解析] 對于A,y=是奇函數,排除.對于B,y=e-x既不是奇函數,也不是偶函數,排除.對于D,y=lg |x|是偶函數,但在(0,+∞)上有y=lgx,此時單調遞增,排除.只有C符合題意. 13.B4[2013全國卷] 設f(x)是以2為周期的函數,且當x∈[1,3)時,f(x)=x-

21、2,則f(-1)=________ 13.-1 [解析] f(-1)=f(-1+2)=f(1)=1-2=-1. 2.B4[2013廣東卷] 函數y=的定義域是(  ) A.(-1,+∞) B.[-1,+∞) C.(-1,1)∪(1,+∞) D.[-1,1)∪(1,+∞) 2.C [解析] 由題知得x∈(-1,1)∪(1,+∞),故選C. 8.B4[2013湖北卷] x為實數,[x]表示不超過x的最大整數,則函數f(x)=x-[x]在R上為(  ) A.奇函數 B.偶函數 C.增函數 D.周期函數 8.D [解析] 作出函數f(x)=x-[x]的大致圖像如下: 觀

22、察圖像,易知函數f(x)=x-[x]是周期函數. 4.B4[2013湖南卷] 已知f(x)是奇函數,g(x)是偶函數,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,則g(1)等于(  ) A.4 B.3 C.2 D.1 4.B [解析] 由函數的奇偶性質可得f(-1)=-f(1),g(-1)=g(1).根據f(-1)+g(1)=-f(1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=f(1)+g(1)=4,可得2g(1)=6,即g(1)=3,選B. 11.B4[2013江蘇卷] 已知f(x)是定義在R上的奇函數.當x>0時,f(x)=x2-4x,則不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表

23、示為________. 11.(-5,0)∪(5,+∞) [解析] 設x<0,則-x>0.因為f(x)是奇函數,所以f(x)=-f(-x)=-(x2+4x). 又f(0)=0,于是不等式f(x)>x等價于 或 解得x>5或-50時,f(x)=x2+,則f(-1)=(  ) A.2 B.1 C.0 D.-2 3.D [解析] ∵f(x)為奇函數,∴f(-1)=-f(1)=-=-2. 7.B4,B7[2013天津卷] 已知函數f(x)是定義在R上的偶函

24、數,且在區(qū)間[0,+∞)上單調遞增.若實數a滿足f(log2a)+f(loga)≤2f(1),則a的取值范圍是(  ) A.[1,2] B.0, C.,2 D.(0,2] 7.C [解析] ∵f(x)為偶函數,∴f(log2a)=f(loga),又∵f(log2a)+f≤2f(1),∴f(log2a)≤f(1),即|log2a|≤1,解之得≤a≤2. 9.B4和B7[2013重慶卷] 已知函數f(x)=ax3+bsin x+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,則f(lg(lg 2))=(  ) A.-5 B.-1 C.3 D.4 9.C [解析] 因為f(l

25、g(log210))=f=f(-lg(lg 2))=5,又因為f(x)+f(-x)=8,所以f(-lg(lg2))+f(lg(lg2))=5+f(lg(lg2))=8,所以f(lg(lg 2))=3,故選C. B5 二次函數                    6.B5,B9[2013湖南卷] 函數f(x)=ln x的圖像與函數g(x)=x2-4x+4的圖像的交點個數為(  ) A.0 B.1 C.2 D.3 6.A [解析] 方法一:作出函數f(x)=ln x,g(x)=x2-4x+4的圖像如圖所示 可知,其交點個數為2,選C. 方法二(數值法)

26、 x 1 2 4 f(x)=ln x 0 ln 2(>0) ln 4(<4) g(x)=x2-4x+4 1 0 4 可知它們有2個交點,選C. 2.B5[2013江西卷] 若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一個元素,則a=(  ) A.4 B.2 C.0 D.0或4 2.A [解析] 當a=0時,A=;當a≠0時,Δ=a2-4a=0,則a=4,故選A. 11.B3,B5,B8,B12[2013新課標全國卷Ⅱ] 已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c,下列結論中錯誤的是(  ) A.x0∈R,f(x0)=0 B.函數y=f(x)的圖像

27、是中心對稱圖形 C.若x0是f(x)的極小值點,則f(x)在區(qū)間(-∞,x0)單調遞減 D.若x0是f(x)的極值點,則f′(x0)=0 11.C [解析] x→-∞時,f(x)<0,x→+∞時,f(x)>0,又f(x)連續(xù),x0∈R,f(x0)=0,A正確.通過平移變換,函數可以化為f(x)=x3+c,從而函數y=f(x)的圖像是中心對稱圖形,B正確.若x0是f(x)的極小值點,可能還有極大值點x1,若x1

28、取值范圍是(  ) A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[-2,1] D.[-2,0] 12.D [解析] 函數y=|f(x)|=在同一坐標系中畫出y=|f(x)|,y=ax的圖像如圖所示,問題等價于直線y=ax不在函數y=|f(x)|圖像的上方,顯然a>0時,y=ln (x+1)的圖像不可能恒在直線y=ax的上方,故a≤0;由于直線y=ax與曲線y=x2-2x均過坐標原點,所以滿足條件的直線y=ax的極端位置是曲線y=x2-2x在點(0,0)處的切線,y′=2x-2,當x=0時y′=-2.所以-2≤a≤0. 7.B5[2013浙江卷] 已知a,b,c∈R,函數f(x)=a

29、x2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),則(  ) A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 D.a<0,2a+b=0 7.A [解析] 若f(0)=f(4),則函數f(x)的圖像關于直線x=2對稱,則-=2,則4a+b=0,而f(0)=f(4)>f(1),故開口向上,所以a>0,4a+b=0.所以選擇A. B6 指數與指數函數                    12.B3,B6[2013新課標全國卷Ⅱ] 若存在正數x使2x(x-a)<1成立,則a的取值范圍是(  ) A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞) C

30、.(0,+∞) D.(-1,+∞) 12.D [解析] 由題意存在正數x使得a>x-成立,即a>.由于x-是(0,+∞)上的增函數,故x->0-=-1,所以a>-1.答案為D. B7 對數與指數函數                    8.B7,E1[2013新課標全國卷Ⅱ] 設a=log32,b=log52,c=log23,則(  ) A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b 8.D [解析] a-b=log32-log52=-=>0a>b,c=log23>1,a<1,b<1,所以c>a>b,答案為D. 16.B7,M1[20

31、13山東卷] 定義“正對數”:ln+x=現有四個命題: ①若a>0,b>0,則ln+(ab)=bln+a; ②若a>0,b>0,則ln+(ab)=ln a+ln+b; ③若a>0,b>0,則ln+≥ln+a-ln+b; ④若a>0,b>0,則ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln 2. 其中的真命題有________.(寫出所有真命題的編號) 16.①③④ [解析] ①中,當ab≥1時,∵b>0,∴a≥1,ln+ab=ln ab=bln a=bln+a;當00,∴01時,左邊

32、=ln+(ab)=0,右邊=ln+a+ln+b=ln a+0=ln a>0,∴②不成立. ③中,當≤1,即a≤b時,左邊=0,右邊=ln+a-ln+b≤0,左邊≥右邊,成立;當>1時,左邊=ln =ln a-ln b>0,若a>b>1時,右邊=ln a-ln b,左邊≥右邊成立;若01>b>0,左邊=ln =ln a-ln b>ln a,右邊=ln a,左邊≥右邊成立,∴③正確. ④中,若00,左邊≤右邊;若a+b≥1,ln+(a+b)-ln 2=ln

33、(a+b)-ln 2=ln. 又∵≤a或≤b,a,b至少有1個大于1, ∴l(xiāng)n≤ln a或ln≤ln b,即有l(wèi)n+(a+b)-ln 2=ln (a+b)-ln 2=ln≤ln+a+ln+b,∴④正確. 7.B4,B7[2013天津卷] 已知函數f(x)是定義在R上的偶函數,且在區(qū)間[0,+∞)上單調遞增.若實數a滿足f(log2a)+f(loga)≤2f(1),則a的取值范圍是(  ) A.[1,2] B.0, C.,2 D.(0,2] 7.C [解析] ∵f(x)為偶函數,∴f(log2a)=f(loga),又∵f(log2a)+f≤2f(1),∴f(log2a)≤f(1

34、),即|log2a|≤1,解之得≤a≤2. 3.B7[2013陜西卷] 設a,b,c均為不等于1的正實數,則下列等式中恒成立的是(  ) A.logablogcb=logca B.logablogca=logcb C.loga(bc)=logablogac D.loga(b+c)=logab+logac 3.B [解析] 利用對數的運算性質可知C,D是錯誤的.再利用對數運算性質logablogcb≠logca.又因為logablogca===logcb,故選B. 11.B7[2013四川卷] lg +lg 的值是________. 11.1 [解析] lg +lg =lg (

35、)=lg =lg 10=1. 9.B4和B7[2013重慶卷] 已知函數f(x)=ax3+bsin x+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,則f(lg(lg 2))=(  ) A.-5 B.-1 C.3 D.4 9.C [解析] 因為f(lg(log210))=f=f(-lg(lg 2))=5,又因為f(x)+f(-x)=8,所以f(-lg(lg2))+f(lg(lg2))=5+f(lg(lg2))=8,所以f(lg(lg 2))=3,故選C. B8 冪函數與函數的圖像                    5.B8[2013福建卷] 函數f(x)

36、=ln(x2+1)的圖像大致是(  ) 圖1-1 5.A [解析] f(x)是定義域為R的偶函數,圖像關于y軸對稱,又過點(0,0),故選A. 11.B3,B5,B8,B12[2013新課標全國卷Ⅱ] 已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c,下列結論中錯誤的是(  ) A.x0∈R,f(x0)=0 B.函數y=f(x)的圖像是中心對稱圖形 C.若x0是f(x)的極小值點,則f(x)在區(qū)間(-∞,x0)單調遞減 D.若x0是f(x)的極值點,則f′(x0)=0 11.C [解析] x→-∞時,f(x)<0,x→+∞時,f(x)>0,又f(x)連續(xù),x0∈R,f(x0)=

37、0,A正確.通過平移變換,函數可以化為f(x)=x3+c,從而函數y=f(x)的圖像是中心對稱圖形,B正確.若x0是f(x)的極小值點,可能還有極大值點x1,若x1

38、x)=3x2+2ax+b,根據已知,得3x2+2ax+b=0有兩個不同的實根x1,x2,且x1

39、{2,3} B.{2,3,4} C.{3,4} D.{3,4,5} 8.B [解析] 問題等價于求直線y=kx與函數y=f(x)圖像的交點個數,從圖中可以看出交點個數可以為2,3,4,故n的取值范圍是{2,3,4}. 18.B11,B12,B9,B14[2013北京卷] 已知函數f(x)=x2+xsin x+cos x. (1)若曲線y=f(x)在點(a,f(a))處與直線y=b相切,求a與b的值; (2)若曲線y=f(x)與直線y=b有兩個不同交點,求b的取值范圍. 18.解:由f(x)=x2+xsin x+cos x,得 f′(x)=x(2+cos x). (1)因為曲

40、線y=f(x)在點(a,f(a))處與直線y=b相切,所以f′(a)=a(2+cos a)=0,b=f(a). 解得a=0,b=f(0)=1. (2)令f ′(x)=0,得x=0. f(x)與f′(x)的情況如下: x (-∞,0) 0 (0,+∞) f′(x) - 0 + f(x)  1  所以函數f(x)在區(qū)間(-∞,0)上單調遞減,在區(qū)間(0,+∞)上單調遞增,f(0)=1是f(x)的最小值. 當b≤1時,曲線y=f(x)與直線y=b最多只有一個交點; 當b>1時,f(-2b)=f(2b)≥4b2-2b-1>4b-2b-1>b,f(0)=1

41、, 所以存在x1∈(-2b,0),x2∈(0,2b),使得f(x1)=f(x2)=b. 由于函數f(x)在區(qū)間(-∞,0)和(0,+∞)上均單調,所以當b>1時,曲線y=f(x)與直線y=b有且僅有兩個不同交點. 綜上可知,如果曲線y=f(x)與直線y=b有兩個不同交點,那么b的取值范圍是(1,+∞). 6.B5,B9[2013湖南卷] 函數f(x)=ln x的圖像與函數g(x)=x2-4x+4的圖像的交點個數為(  ) A.0 B.1 C.2 D.3 6.A [解析] 方法一:作出函數f(x)=ln x,g(x)=x2-4x+4的圖像如圖所示 可知,其交點個數為2,選

42、C. 方法二(數值法) x 1 2 4 f(x)=ln x 0 ln 2(>0) ln 4(<4) g(x)=x2-4x+4 1 0 4 可知它們有2個交點,選C. 8.B9[2013天津卷] 設函數f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3.若實數a,b滿足f(a)=0,g(b)=0,則(  ) A.g(a)<0

43、 所以g(a)<0

44、). 故當點A處的切線與點B處的切線垂直時,有f′(x1)f′(x2)=-1. 當x<0時,對函數f(x)求導,得f′(x)=2x+2. 因為x10, 因此x2-x1=[-(2x1+2)+2x2+2]≥=1. 當且僅當-(2x1+2)=2x2+2=1,即x1=-且x2=-時等號成立 所以,函數f(x)的圖像在點A,B處的切線互相垂直時,有x2-x1≥1. (3)當x1x1>0時,f′(x1)≠f′(x2),故x1<0

45、(x1))處的切線方程為 y-(x+2x1+a)=(2x1+2)(x-x1),即 y=(2x1+2)x-x+a. 當x2>0時,函數f(x)的圖像在點(x2,f(x2))處的切線方程為y-ln x2=(x-x2),即y=x+ln x2-1. 兩切線重合的充要條件是 由①及x1<0h(2)=-ln 2-1, 所以a>-ln

46、2-1, 而當t∈(0,2)且t趨近于0時,h(t)無限增大, 所以a的取值范圍是(-ln 2-1,+∞). 故當函數f(x)的圖像在點A,B處的切線重合時,a的取值范圍是(-ln 2-1,+∞). B10 函數模型及其應用                    5.B10[2013湖北卷] 小明騎車上學,開始時勻速行駛,途中因交通堵塞停留了一段時間,后為了趕時間加快速度行駛,與以上事件吻合得最好的圖像是(  ) 圖1-1 5.C [解析] 由題意可知函數圖像最開始為“斜率為負的線段”,接著為“與x軸平行的線段”,最后為“斜率為負值,且小于之前斜率的線段”

47、.觀察選項中圖像可知,C項符合,故選C. 10.B10[2013陜西卷] 設[x]表示不大于x的最大整數,則對任意實數x,有(  ) A.[-x]=-[x] B.=[x] C.[2x]=2[x] D.[x]+=[2x] 10.D [解析] 可取特值x=3.5,則[-x]=[-3.5]=-4,-[x]=-[3.5]=-3,故A錯.x+=[3.5+0.5]=4,而[x]=[3.5]=3,故B錯. [2x]=[7]=7,2[x]=2[3.5]=6,故C錯.[x]+ x+=7,而[2x]=[7]=7,故只有D正確. B11 導數及其運算                   

48、 18.B11,B12,B9,B14[2013北京卷] 已知函數f(x)=x2+xsin x+cos x. (1)若曲線y=f(x)在點(a,f(a))處與直線y=b相切,求a與b的值; (2)若曲線y=f(x)與直線y=b有兩個不同交點,求b的取值范圍. 18.解:由f(x)=x2+xsin x+cos x,得 f′(x)=x(2+cos x). (1)因為曲線y=f(x)在點(a,f(a))處與直線y=b相切,所以f′(a)=a(2+cos a)=0,b=f(a). 解得a=0,b=f(0)=1. (2)令f ′(x)=0,得x=0. f(x)與f′(x)的情況如下:

49、 x (-∞,0) 0 (0,+∞) f′(x) - 0 + f(x)  1  所以函數f(x)在區(qū)間(-∞,0)上單調遞減,在區(qū)間(0,+∞)上單調遞增,f(0)=1是f(x)的最小值. 當b≤1時,曲線y=f(x)與直線y=b最多只有一個交點; 當b>1時,f(-2b)=f(2b)≥4b2-2b-1>4b-2b-1>b,f(0)=11時,曲線y=f(x)與直線y=b有且僅有兩個不同交點. 綜

50、上可知,如果曲線y=f(x)與直線y=b有兩個不同交點,那么b的取值范圍是(1,+∞). 10.B11[2013全國卷] 已知曲線y=x4+ax2+1在點(-1,a+2)處切線的斜率為8,則a=(  ) A.9 B.6 C.-9 D.-6 10.D [解析] y′=4x3+2ax,當x=-1時y′=8,故8=-4-2a,解得a=-6. 12.B11[2013廣東卷] 若曲線y=ax2-ln x在點(1,a)處的切線平行于x軸,則a=________ 12. [解析] 易知點(1,a)在曲線y=ax2-ln x上,y′=2ax-,∴=2a-1=0,∴a=. 11.B11[2

51、013江西卷] 若曲線y=xα+1(α∈R)在點(1,2)處的切線經過坐標原點,則α=________. 11.2 [解析] y′=αxα-1,y′=α,所以切線方程為y-2=α(x-1),該切線過原點,得α=2. 21.B11,B12[2013陜西卷] 已知函數f(x)=ex,x∈R. (1)求f(x)的反函數的圖像上點(1,0)處的切線方程; (2)證明:曲線y=f(x)與曲線y=x2+x+1有唯一公共點; (3)設a

52、. 于是在點(1,0)處切線方程為y=x-1. (2)方法一:曲線y=ex與y=x2+x+1公共點的個數等于函數φ(x)=ex-x2-x-1零點的個數. ∵φ(0)=1-1=0,∴φ(x)存在零點x=0. 又φ′(x)=ex-x-1,令h(x)=φ′(x)=ex-x-1, 則h′(x)=ex-1. 當x<0時,h′(x)<0,∴φ′(x)在(-∞,0)上單調遞減; 當x>0時,h′(x)>0,∴φ′(x)在(0,+∞)上單調遞增. ∴φ′(x)在x=0有唯一的極小值φ′(0)=0, 即φ′(x)在R上的最小值為φ′(0)=0, ∴φ′(x)≥0(僅當x=0時等號成立),

53、∴φ(x)在R上是單調遞增的, ∴φ(x)在R上有唯一的零點. 故曲線y=f(x)與曲線y=x2+x+1有唯一公共點. 方法二:∵ex>0,x2+x+1>0, ∴曲線y=ex與y=x2+x+1公共點的個數等于 曲線y=與直線y=1公共點的個數. 設φ(x)=,則φ(0)=1,即x=0時,兩曲線有公共點. 又φ′(x)==≤0(僅當x=0時等號成立), ∴φ(x)在R上單調遞減, ∴φ(x)與y=1有唯一的公共點, 故曲線y=f(x)與y=x2+x+1有唯一的公共點. (3)-f=-e ==. 設函數u(x)=ex --2x(x≥0),則u′(x)=ex+-2≥2-2=0

54、. ∴u′(x)≥0(僅當x=0時等號成立), ∴u(x)單調遞增. 當x>0時,u(x)>u(0)=0. 令x=,則得e-e-(b-a)>0. ∴>f. 20.B11、B12[2013新課標全國卷Ⅰ] 已知函數f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=4x+4. (1)求a,b的值; (2)討論f(x)的單調性,并求f(x)的極大值. 20.解:(1)f′(x)=ex(ax+a+b)-2x-4. 由已知得f(0)=4,f′(0)=4,故b=4,a+b=8. 從而a=4,b=4. (2)由(1)知,f(x)=4ex(

55、x+1)-x2-4x. f′(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2). 令f′(x)=0,得x=-ln 2或x=-2. 從而當x∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)時,f′(x)>0;當x∈(-2,-ln 2)時,f′(x)<0. 故f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上單調遞增,在(-2,-ln 2)上單調遞減. 當x=-2時,函數f(x)取得極大值,極大值為f(-2)=4(1-e-2). 20.B11和B12[2013重慶卷] 某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度).設該蓄水池的底面半徑為r米,高為h米,體積為V立方米.假設建造成本僅與表面積有關,側

56、面的建造成本為100元/平方米,底面的建造成本為160元/平方米,該蓄水池的總建造成本為12 000π元(π為圓周率). (1)將V表示成r的函數V(r),并求該函數的定義域; (2)討論函數V(r)的單調性,并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大. 20.解:(1)因為蓄水池側面的總成本為1002πrh=200πrh元,底面的總成本為160πr2元,所以蓄水池的總成本為(200πrh+160πr2)元,又據題意200πrh+160πr2=12 000π,所以h=(300-4r2),從而 V(r)=πr2h=(300r-4r3). 因為r>0,又由h>0可得r<5 ,故函數V(r)的

57、定義域為(0,5 ). (2)因為V(r)=(300r-4r3),故V′(r)=(300-12r2).令V′(r)=0,解得r1=5,r2=-5(r2=-5不在定義域內,舍去). 當r∈(0,5)時,V′(r)>0,故V(r)在(0,5)上為增函數;當r∈(5,5 )時,V′(r)<0,故V(r)在(5,5 )上為減函數. 由此可知,V(r)在r=5處取得最大值,此時h=8,即當r=5,h=8時,該蓄水池的體積最大. B12 導數的應用                    20.E3,B12[2013安徽卷] 設函數f(x)=ax-(1+a2)x2,其中a>0,區(qū)間

58、I={x|f(x)>0}. (1)求I的長度(注:區(qū)間(α,β)的長度定義為β-α); (2)給定常數k∈(0,1),當1-k≤a≤1+k時,求I長度的最小值. 20.解:(1)因為方程ax-(1+a2)x2=0(a>0)有兩個實根x1=0,x2=, 故f(x)>0的解集為{x|x10,d(a)單調遞增; 當1

59、1-k或a=1+k處取得. 而==<1,故d(1-k)

60、f(x)+b=0必然有f(x)=x1或f(x)=x2.由于f(x1)=x1且x1

61、=f(x)在點(a,f(a))處與直線y=b相切,所以f′(a)=a(2+cos a)=0,b=f(a). 解得a=0,b=f(0)=1. (2)令f ′(x)=0,得x=0. f(x)與f′(x)的情況如下: x (-∞,0) 0 (0,+∞) f′(x) - 0 + f(x)  1  所以函數f(x)在區(qū)間(-∞,0)上單調遞減,在區(qū)間(0,+∞)上單調遞增,f(0)=1是f(x)的最小值. 當b≤1時,曲線y=f(x)與直線y=b最多只有一個交點; 當b>1時,f(-2b)=f(2b)≥4b2-2b-1>4b-2b-1>b,f(0)=1

62、 所以存在x1∈(-2b,0),x2∈(0,2b),使得f(x1)=f(x2)=b. 由于函數f(x)在區(qū)間(-∞,0)和(0,+∞)上均單調,所以當b>1時,曲線y=f(x)與直線y=b有且僅有兩個不同交點. 綜上可知,如果曲線y=f(x)與直線y=b有兩個不同交點,那么b的取值范圍是(1,+∞). 21.B12、B14[2013全國卷] 已知函數f(x)=x3+3ax2+3x+1. (1)當a=-時,討論f(x)的單調性; (2)若x∈[2,+∞)時,f(x)≥0,求a的取值范圍. 21.解:(1)當a=-時,f(x)=x3-3 x2+3x+1, f′(x)=3x2-6 x+

63、3. 令f′(x)=0,得x1=-1,x2=+1. 當x∈(-∞,-1)時,f′(x)>0,f(x)在(-∞,-1)上是增函數; 當x∈(-1,+1)時,f′(x)<0,f(x)在(-1,+1)上是減函數; 當x∈(+1,+∞)時,f′(x)>0,f(x)在(+1,+∞)上是增函數. (2)由f(2)≥0得a≥-. 當a≥-,x∈(2,+∞)時, f′(x)=3(x2+2ax+1)≥3= 3(x-2)>0, 所以f(x)在(2,+∞)上是增函數,于是當x∈[2,+∞)時,f(x)≥f(2)≥0. 綜上,a的取值范圍是. 22.B12,B14[2013福建卷] 已知函數f(

64、x)=x-1+(a∈R,e為自然對數的底數). (1)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值; (2)求函數f(x)的極值; (3)當a=1時,若直線l:y=kx-1與曲線y=f(x)沒有公共點,求k的最大值. 22.解:(1)由f(x)=x-1+,得f′(x)=1-. 又曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線平行于x軸,得f′(1)=0,即1-=0,解得a=e. (2)f′(x)=1-, ①當a≤0時,f′(x)>0,f(x)為(-∞,+∞)上的增函數,所以函數f(x)無極值. ②當a>0時,令f′(x)=0,得ex=a,x=ln a. 當

65、x∈(-∞,ln a)時,f′(x)<0; 當x∈(ln a,+∞)時,f′(x)>0, 所以f(x)在(-∞,ln a)上單調遞減,在(ln a,+∞)上單調遞增,故f(x)在x=ln a處取得極小值,且極小值為f(ln a)=ln a,無極大值. 綜上,當a≤0時,函數f(x)無極值; 當a>0時,f(x)在x=ln a處取得極小值ln a,無極大值. (3)方法一:當a=1時,f(x)=x-1+. 令g(x)=f(x)-(kx-1)=(1-k)x+, 則直線l:y=kx-1與曲線y=f(x)沒有公共點, 等價于方程g(x)=0在R上沒有實數解. 假設k>1,此時g(0)

66、=1>0,g=-1+<0, 又函數g(x)的圖像連續(xù)不斷,由零點存在定理,可知g(x)=0在R上至少有一解,與“方程g(x)=0在R上沒有實數解”矛盾,故k≤1. 又k=1時,g(x)=>0,知方程g(x)=0在R上沒有實數解. 所以k的最大值為1. 方法二:當a=1時,f(x)=x-1+. 直線l:y=kx-1與曲線y=f(x)沒有公共點, 等價于關于x的方程kx-1=x-1+在R上沒有實數解,即關于x的方程: (k-1)x=(*)在R上沒有實數解. ①當k=1時,方程(*)可化為=0,在R上沒有實數解. ②當k≠1時,方程(*)化為=xex. 令g(x)=xex,則有g′(x)=(1+x)ex. 令g′(x)=0,得x=-1, 當x變化時,g′(x),g(x)的變化情況如下表: x (-∞,-1) -1 (-1,+∞) g′(x) - 0 + g(x)  - 

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