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1、 等價(jià)無(wú)窮小量在求函數(shù)極限中的應(yīng)用 摘要 主要討論了等價(jià)無(wú)窮小量在求積商、和差及冪指結(jié)構(gòu)函數(shù)極限中的應(yīng)用, 并通過(guò)一些具體的例題體現(xiàn)了無(wú)窮小量替換在求極限中的靈活性、多樣性和重要性. 關(guān)鍵詞 等價(jià)無(wú)窮小量; 積商結(jié)構(gòu); 和差結(jié)構(gòu); 冪指結(jié)構(gòu); 極限; 應(yīng)用 1 等價(jià)無(wú)窮小量在求積商結(jié)構(gòu)函數(shù)的極限中的應(yīng)用 1.1等價(jià)無(wú)窮小定義及重要結(jié)論 定義1.1.1 若 則稱為時(shí)的無(wú)窮小量. 定義1.1.2 若 則稱與是當(dāng)時(shí)的等價(jià)無(wú)窮小. 記作 . 應(yīng)用等價(jià)無(wú)窮小代換, 必須記住一些基本的等價(jià)無(wú)窮小量, 如時(shí), ,等. 定理1.1.1 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義, 且有 若存在,

2、則. 證明 . 定理1.1.2 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義, 且有 若存在, 則. 證明 . 由定理1.1.1和定理1.1.2,可以得到以下一個(gè)重要的結(jié)論, 它在求積和商的極限中有很重要的作用, 需加強(qiáng)對(duì)它的理解. 結(jié)論1.1.1 設(shè)為時(shí)的無(wú)窮小量, 若 存在, 則. 證明 . 從結(jié)論1.1.1容易看出, 當(dāng)時(shí), 結(jié)論就是上面定理1.1.1的情形; 當(dāng)去掉分子并略去相關(guān)條件, 結(jié)論1.1.1就是定理1.1.2的情形, 即兩定理是結(jié)論的特殊情況, 需要要很好的理解上面的結(jié)論. 1.2 定理和結(jié)論的應(yīng)用舉例 例1.2.1 求. 解 由于. 故由定理1.1.2得

3、 . 例1.2.2 利用等價(jià)無(wú)窮小量求極限. 解 由于這個(gè)極限的分子不滿足上面定理和結(jié)論的要求, 需要我們對(duì)它進(jìn)行轉(zhuǎn)化, 使之成為定理和結(jié)論需要的形式, 容易看出, 而 故有 . 說(shuō)明 這道題是結(jié)論1.1.1的應(yīng)用, 應(yīng)注意的是, 在利用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限時(shí),要注意所求極限的形式與上面所給定理和結(jié)論是否相對(duì)應(yīng), 不滿足時(shí)不能隨意替換, 需要適當(dāng)?shù)淖冃? 變成我們需要的形式, 如剛才這個(gè)極限的分子就不與上面的結(jié)論要求相對(duì)應(yīng), 需要上面的適當(dāng)?shù)淖冃? 例1.2.3 求極限. 解 由于 由結(jié)論1.1.1得 . 說(shuō)明 這道例題與例1.1.2類似, 雖然

4、形式比較復(fù)雜, 但只要嚴(yán)格按照上面的結(jié)論就可以迎刃而解了. 2 等價(jià)無(wú)窮小量在求和差結(jié)構(gòu)函數(shù)的極限中的應(yīng)用 2.1 重要定理及其結(jié)論 課本中一般強(qiáng)調(diào)等價(jià)無(wú)窮小代換法則只在乘除的情況下可以使用, 在加減的情況下不能隨意使用, 那么究竟在什么樣的情況下加減的形式可以使用呢? 現(xiàn)在來(lái)著重介紹一下, 下面先來(lái)看和的情形. 定理2.1.1 設(shè)為時(shí)的無(wú)窮小量, 且 , 則. 證明 當(dāng)時(shí), 因?yàn)?知 , 且 所以 . 當(dāng)時(shí), 有已知條件知 , 所以 故. 定理2.1.1表明, 在計(jì)算與兩個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和有關(guān)的極限運(yùn)算時(shí), 若其為同階無(wú)窮小

5、且兩者商的極限不為時(shí), 則可用與其等價(jià)的無(wú)窮小量分別替換, 將是運(yùn)算過(guò)程更為簡(jiǎn)潔. 對(duì)于差結(jié)構(gòu)函數(shù)的極限類似得如下定理 定理2.1.2 設(shè) 為時(shí)的無(wú)窮小量,且 則. 定理2.1.2表明, 在計(jì)算與兩個(gè)無(wú)窮小量的差有關(guān)的極限運(yùn)算時(shí), 若其為同階無(wú)窮小且兩者商的極限不為時(shí), 則可用與其等價(jià)的無(wú)窮小量分別替換, 將是運(yùn)算過(guò)程更為簡(jiǎn)潔. 定理2.1.1和定理2.1.2解決了等價(jià)無(wú)窮小量在求和差結(jié)構(gòu)函數(shù)的極限中的應(yīng)用, 下面對(duì)定理2.1.1和定理2.1.2推廣可得到如下一些結(jié)論. 結(jié)論2.1.1 設(shè)為時(shí)的無(wú)窮小量, 且 若或存在, 則 或 證明

6、 由所給條件知, 再由結(jié)論1.1.1可直接得 . 結(jié)論2.1.2 設(shè),,為時(shí)的無(wú) 窮小量, 且為常數(shù), 若 存在, 則. 證明 由知 從而 即. 同理. 所以 . 結(jié)論2.1.2的得到增強(qiáng)了定理的應(yīng)用范圍, 使其應(yīng)用更加廣泛, 進(jìn)一步體現(xiàn)了等價(jià)無(wú)窮小代換的廣泛性與靈活性, 暗示我們對(duì)于一些復(fù)雜的極限可以通過(guò)等價(jià)無(wú)窮小代換使之簡(jiǎn)潔而有效. 2.2 定理和結(jié)論的應(yīng)用舉例 例2.2.1 求極限. 解 由于當(dāng)時(shí),,, 并且 . 故當(dāng)時(shí), . 又由于當(dāng)時(shí), , 并且. 故當(dāng)時(shí), 由結(jié)論2.1.2得 . 說(shuō)明 這道題是對(duì)定理和結(jié)論

7、的直接應(yīng)用, 對(duì)于既有積商, 又有和差的極限, 首先判斷其是否符合和差形式的條件, 然后在應(yīng)用上面推廣的結(jié)論, 這樣做顯然比直接利用洛必達(dá)簡(jiǎn)單些, 在求極限中, 往往我們先利用等價(jià)無(wú)窮小代換, 再利用洛比達(dá)會(huì)起到事半功倍的效果. 例2.2.2 求極限為常數(shù). 解 因?yàn)楫?dāng)時(shí), 所以由結(jié)論2.1.1有 . 例2.2.3 求極限. 解 當(dāng)時(shí), , 并且 . 故當(dāng)時(shí), . 又當(dāng)時(shí), 并且 . 故當(dāng)時(shí), . 所以由結(jié)論2.1.2有=. 說(shuō)明 例2.2.3跟例2.2.1一樣, 只要嚴(yán)格遵守上面推廣的結(jié)論就可以很快得到結(jié)果, 其解法既快捷又簡(jiǎn)便, 很好的體現(xiàn)

8、了利用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限的優(yōu)越性. 總之, 有上述的幾個(gè)例子可以發(fā)現(xiàn), 對(duì)于某些函數(shù)極限的計(jì)算利用等價(jià)無(wú)窮小替換比洛比達(dá)法則簡(jiǎn)單易行, 可起到事半功倍的效果, 必要的時(shí)候兩種方法可以同時(shí)進(jìn)行. 3 等價(jià)無(wú)窮小量在求冪指結(jié)構(gòu)(未定式、、)函數(shù)的極限中的應(yīng)用 3.1重要定理及其結(jié)論 本節(jié)主要介紹等價(jià)無(wú)窮小量了冪指結(jié)構(gòu)函數(shù)極限中的應(yīng)用, 在冪指結(jié)構(gòu)函數(shù)極限中利用等價(jià)無(wú)窮小代換可以適當(dāng)?shù)陌逊爆嵉氖阶舆M(jìn)行化簡(jiǎn), 從而有利于我們更快更好的解決這一類極限, 下面我們先從引理入手. 引理3.1.1 設(shè)和在有定義, 為時(shí)的無(wú)窮小量, 且 則有. 證明 由條件知 , 且 所以.

9、 引理3.1.2 設(shè)和在有定義, 為時(shí)的無(wú)窮小 量, 且 則. 證明 因?yàn)?, 又因?yàn)? 所以 下面介紹未定式、、的基本定理及其結(jié)論 定理 3.1.1 設(shè),為時(shí)的無(wú)窮小量, 且 則型. 證明 由的連續(xù)性及引理3.1.1得 . 結(jié)論3.1.1 設(shè)為時(shí)的無(wú)窮小量, 且 則 . 結(jié)論3.1.2 設(shè)為時(shí)的無(wú)窮小量, 且 則. 結(jié)論3.1.3 設(shè),,為時(shí)的無(wú) 窮小量, 若它們滿足如下條件 1） 2）; 則. 證明 由得 再由定理3.1.1可得 . 定理3.1.2 設(shè),為時(shí)的無(wú)窮小量

10、, 且 則型. 證明 由的連續(xù)性及引理3.1.2得 . 根據(jù)定理3.1.2, 下面得到更一般的情況 結(jié)論3.1.4 設(shè),為時(shí)的無(wú)窮小量, 且, , 則. 定理3.1.3 設(shè),為時(shí)的無(wú)窮小量, 且, 則型. 證明 由的連續(xù)性及引理3.1.1得 . 結(jié)論3.1.5 設(shè),,為時(shí)的無(wú)窮小量, 且 則 注釋3.1.1 很容易看出, 上面的部分定理是結(jié)論的特殊情況, 三種未定式的情況互有關(guān)聯(lián), 因此要想很好的應(yīng)用定理和結(jié)論, 需要對(duì)三種未定式靈活應(yīng)用, 提倡相互聯(lián)系解題, 反對(duì)將它們割裂. 注釋3.1.2 這些結(jié)論將定理進(jìn)

11、行了適當(dāng)?shù)耐茝V, 不但有指數(shù)的形式, 而且融合和差的形式, 一方面使其應(yīng)用更加廣泛, 另一方面突出體現(xiàn)了等價(jià)無(wú)窮小代換在求極限的靈活性和多樣性的特點(diǎn). 3.2定理和結(jié)論的應(yīng)用舉例 例3.2.1 求極限. 解 因?yàn)? 所以 . 又因?yàn)? 故由定理3.1.1及結(jié)論3.1.3可得 . 說(shuō)明 這是一個(gè)型的極限,是對(duì)定理及結(jié)論的應(yīng)用, 首先判斷它是否符合定理或結(jié)論的條件, 然后再利用定理或結(jié)論. 例3.2.2 求極限 解 由于當(dāng)時(shí), , 且 ,, 所以滿足結(jié)論3.1.3的條件, 故由結(jié)論3.1.3得 說(shuō)明 這也是一個(gè)型的極限, 與例2.2.1類似, 加深對(duì)結(jié)論3

12、.1.3的理解. 例3.2.3 求極限（是常數(shù)）. 解 在的內(nèi), 無(wú)論如何可以有, 又當(dāng)時(shí), 有 , 則由定理3.1.2得 . 說(shuō)明 這是一個(gè)型的極限, 是對(duì)定理3.1.2的簡(jiǎn)單應(yīng)用, 同樣需要判斷是否符合條件即可. 例3.2.4求極限 解 由于和是時(shí)的無(wú)窮小量, 且時(shí), 滿足定理3.1.3的條件, 所以有 . 說(shuō)明 這是一個(gè)型的極限, 是對(duì)定理3.1.3及結(jié)論的簡(jiǎn)單應(yīng)用. 參考文獻(xiàn) [1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M].(第三版).北京:高等教育出版社,2001:59

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