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1、行列式的解法小結(jié) 摘要：本文列舉了行列式的幾種計算方法：如化三角形法，提取公因式法等，并指明了這幾種方法的使用條件。 關(guān)鍵詞：行列式 三角形行列式 范德蒙行列式 循環(huán)行列式 行列式的計算是一個很重要的問題，也是一個復雜的問題，階數(shù)不超過3的行列式可直接按行列式的定義求值，零元素很多的行列式（三角形行列式）也可按行列式的定義求值。對于一般階行列式，特別是當較大時，直接用定義計算行列式幾乎是不可能的事。因此，研究一般階行列式的計算方法是十分必要的。由于不存在計算階行列式的一般方法，所以，本文只給出八種特殊的計算方法，基本上可解決一般階行列式的計算問題。 1 升階法 在計算行列式時，我

2、們往往先利用行列式的性質(zhì)變換給定的行列式，再用展 開定理使之降階，從而使問題得到簡化。有時與此相反，即在原行列式的基礎上 添行加列使其升階構(gòu)造一個容易計算的新行列式，進而求出原行列式的值。這種 計算行列式的方法稱為升階法。凡可利用升階法計算的行列式具有的特點是：除 主對角線上的元素外，其余的元素都相同，或任兩行（列）對應元素成比例。升 階時，新行（列）由哪些元素組成？添加在哪個位置？這要根據(jù)原行列式的特點 作出選擇。 例1計算n階行列式 ，其中 解 將最后一個行列式的第j列的倍加到第一列（，就可以變?yōu)樯先切涡辛惺?，其主對角線上的元素為1+ 故 例2 計算n階行

3、列式 解 好象范德蒙行列式，但并不是，為了利用范德蒙行列式的結(jié)果，令 按第列展開，則得到一個關(guān)于的多項式，的系數(shù)為。另一方面 顯然，中的系數(shù)為 所以 2利用遞推關(guān)系法 所謂利用遞推關(guān)系法，就是先建立同類型n階與n-1階（或更低階）行列式之間的關(guān)系——遞推關(guān)系式，再利用遞推關(guān)系求出原行列式的值。 例3計算n階行列式 ，其中 解 將的第一行視為據(jù)行列式的性質(zhì)，得 于b與c的對稱性，不難得到 聯(lián)立（1），(2）解之，得 例4計算n

4、階行列式 解將按第一行展開，得 于是得到一個遞推關(guān)系式，變形得 易知 所以，據(jù)此關(guān)系式在遞推，有 如果我們將的第一列元素看作,1+0,……0+0,按第一列坼成兩個行 列式的和，那么可直接得到遞推關(guān)系式，同樣可得的值。 3 化三角形法 此種方法是利用行列式的性質(zhì)把給定的行列式表為一個非零數(shù)與一個三角形行列式之積，所謂三角形行列式是位于對角線一側(cè)的所有元素全部等于零的行列式。三角形行列式的值容易求得，涉及主對角線的三角形行列式等于主對角線上元素之積，涉及次對

5、角線的N階三角形行列式等于次對角線上元素之積且?guī)Х? 例5計算N階行列式 解 4 利用范德蒙（Vandermonde）行列式法 著名的范德蒙行列式，在線性代數(shù)中占有重要地位，研究它的應用引起了一些數(shù)學家的興趣，因此在計算行列式時，可直接用其結(jié)果。 例6 計算n階行列式 解 將第一行可視為，再由行列式的性質(zhì)，得 把第一個行列式從第一行起依次將行加到行；第二個行列式的第列提取得 = 5 利用乘法定理法 在計算行列式時，有時可以用乘法定理，將給定的行列式表為兩個容易計算的或已知的行列式的乘積

6、，從而求出給定行列式的值；有時不直接計算給定的行列式，而是選一個適當?shù)呐c給定行列式同階的行列式，計算兩行列式的乘積，由此求出給定行列式的值，這樣也可使問題簡單。 例7計算n階行列式 解 所以，當時，； 當時， 當時， 6 利用拉普拉斯（Laplace）定理法 拉普拉斯定理，在計算行列式時，主要應用k=1的情形，而很少用一般形式，不過當行列式里零元素很多時，運用一般情形的拉普拉斯定理，往往會給行列式的計算帶來方便。 例8 計算2n階行列式 解 7 提取公因式法 若行列式滿足下列條件之一，則可以用此法：（1）

7、有一行（列）元素相同，稱為“型”；（2）有兩行（列）的對應元素之和或差相等，稱為“鄰和型”；（3）各行（列）元素之和相等，稱為“全和型”。滿足條件（1）的行列式可直接提取公因式變?yōu)椤?，1，…，1型”，于是應用按行（列）展開定理，使行列式降一階。滿足（2）和（3）的行列式都可以根據(jù)行列式的性質(zhì)變?yōu)闈M足條件（1）的行列式，間接使用提取公因式法。 例9計算N階行列式 解 該行列式各行元素之和都等于 ，屬于“全和型”，所以 總結(jié):計算行列式的方法很多,除了以上常見的方法外還有一些特殊的方法,如n階輪換行列式的初等計算方法、極限法、導數(shù)法、積分法等。對于一個給定的行列式可以有多種方法求解，這是則要求我們注意方法的靈活性，要在眾多方法中選取一種最簡便的方法。 7