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1、ABSTRACT Two-state systems have two independent quantum states and can be described in a two-dimensional Hilbert space. In this paper, we introduce the concept of two-state systems and enumerate two typical examples, the polarization of light quantum and the electron spin. We represent how to study

2、 a two-state system generally and how to deal with problems using matrix algebra. We study ammonia molecule system in depth using the Schrdinger equation, write the matrix form of the equation by matrix algebra, and we can get the energy eigenvalues and eigenfunctions, the probability amplitude osci

3、llation between two basis states of the system. We also introduce the level jump of the two-state systems in field, the quantum resonance happens when the frequency of the field is resonant frequency. At last, we introduce two applications of the two-state systems, one is the ammoina master, the oth

4、er is nuclear magnetic resonance. Key words：two-state systems; the polarization of light quantum; electron spin; ammonia molecule; the matrix form of the Schrdinger equation; quantum resonance; ammoina master; nuclear magnetic resonance 1.引言 1.1雙態(tài)量子系統(tǒng)的概念 量子態(tài)可以用希爾伯特空間中的一個矢量表示，一種非常簡單的情況就是量子態(tài)矢量可

5、以在二維的希爾伯特空間中表示，這樣的量子態(tài)系統(tǒng)稱為雙態(tài)量子系統(tǒng)。雙態(tài)量子系統(tǒng)是一種具有兩個相互獨立的量子態(tài)的量子系統(tǒng)，典型的雙態(tài)系統(tǒng)如氨分子的兩種結(jié)構(gòu)對應的兩個量子態(tài)，構(gòu)成雙態(tài)量子系統(tǒng)；自旋為的粒子，其自旋態(tài)可由自旋分量的本征態(tài)，為態(tài)基表示；光子以與光軸成角入射電氣石晶體，其可能被吸收，也可能無阻礙的通過，光子的偏振態(tài)，可由平行于光軸的偏振態(tài)和垂直于光軸的偏振態(tài)迭加表示，這是一個雙態(tài)量子系統(tǒng)。這些都是典型的雙態(tài)系統(tǒng)。 1.2具體的描述 下面對光子的偏振態(tài)和電子的自旋態(tài)兩個例子進行具體的敘述。 1.2.1光子的偏振態(tài) 將一束偏振光入射電氣石晶體，其偏振面與電氣石晶體光軸垂直，光會全部通過

6、，偏振面與光軸平行，光被晶體吸收。偏振面與光軸成角，光會部分通過，通過的光強與入射光強之比為sin2α。 如果上述實驗中的一束光僅含有一個光子，得到的結(jié)果是垂直于光軸方向偏振的光子會通過晶體，平行于光軸方向偏振的光子會被晶體吸收。與光軸成角偏振的光子則可能被吸收也可能通過晶體，進行多次這樣的實驗，發(fā)現(xiàn)通過的光子數(shù)與全部光子數(shù)的比例是sin2α。 量子力學對上述實驗的描述是將垂直于光軸方向偏振和平行于光軸偏振的光子的偏振態(tài)作為兩個獨立的量子態(tài)——垂直偏振態(tài)和平行偏振態(tài)，任一其他的偏振態(tài)可由這兩個偏振態(tài)迭加表示。偏振方向與光軸成角的光子通過晶體時可能表現(xiàn)出垂直偏振態(tài)，也有可能表現(xiàn)出平行偏振態(tài)，

7、所以可能通過也可能被吸收。 將垂直偏振態(tài)和平行偏振態(tài)用和表示，任一偏振態(tài)用表示， a是光子任一偏振態(tài)在垂直偏振態(tài)上的概率幅，其模平方是測量中光子處于的概率。b是光子在態(tài)上的概率幅，是測量中光子處于態(tài)的概率。由實驗我們可知a=sin，，所以 1.2.2電子的自旋態(tài) 電子置于磁場中，與磁場發(fā)生作用，在施特恩—蓋拉赫實驗中我們知道，其作用方向是與磁場方向相同或相反。電子自旋產(chǎn)生磁矩會與磁場發(fā)生作用，作用力與磁場方向相同其自旋為態(tài)，相反為態(tài)。電子的任一自旋態(tài)可以由這兩個相互獨立的自旋態(tài)迭加表示，其與磁場發(fā)生作用時自旋態(tài)可能表現(xiàn)為態(tài)或態(tài)[1]。 用表示電子的任一自旋態(tài) 是電子自旋

8、態(tài)在態(tài)上的概率幅，是測量中電子處于自旋態(tài)的概率。是電子自旋態(tài)在態(tài)上的概率幅，是測量中電子處于自旋態(tài)的概率。m，n滿足 1.3雙態(tài)量子系統(tǒng)的研究方法 研究一個雙態(tài)量子系統(tǒng)，例如一個偏振方向與電氣石晶體光軸成角入射的光子，我們研究的目的是光子被晶體吸收的概率與光子無阻礙通過的概率是多少，以及他們的變化規(guī)律。即要研究光子的偏振態(tài)在平行偏振態(tài)上的概率幅和垂直偏振態(tài)上的概率幅以及他們之間的關系。所以我們要關注的是系統(tǒng)量子態(tài)處于其兩個獨立量子態(tài)上的概率幅及其變化規(guī)律。 在理論處理上，一般采用這樣的方法，系統(tǒng)的量子態(tài)可以在二維的希爾伯特空間中表示，系統(tǒng)中兩個獨立的量子態(tài)歸一化后可作為空間中的一組態(tài)

9、基。將系統(tǒng)的量子態(tài)用這兩個態(tài)基分解表示，那么就得到系統(tǒng)量子態(tài)在這兩個態(tài)上的概率幅，再代入薛定諤方程，就可以解出概率幅的具體表達式。在數(shù)學處理上我們利用矩陣代數(shù)可以將方程化為矩陣形式，再求解。 一個多能級的量子系統(tǒng)，在特定情況下只需考慮其中的兩條能級，這樣就變成一個雙態(tài)量子系統(tǒng)[2]，本文討論的氨分子就是這樣的情況，在這里說明清楚。氨分子中的氮原子能夠穿過三個氫原子構(gòu)成的平面，即在氫原子平面形成的勢場中運動[3]，計算可得到系統(tǒng)的能級分布，其能級數(shù)據(jù)為，，，，，(是所有其它的能級)，并且，2A～10-4ev，2A1 ～510-3ev，E1-E0～0.12ev[4]。在熱平衡條件下的氨分子氣體，

10、根據(jù)玻爾茲曼分布律 在時， ～1，～＜10-6，<<1 由以上結(jié)果可知，100K的氨分子氣體中氨分子處于,之外能級的概率非常小，可近似看作系統(tǒng)只有兩條能級,[5]。本文討論的便是處于這樣條件下的氨分子。在這種情況下系統(tǒng)的任一量子態(tài)可由兩個能量本征態(tài)線性迭加得到，也可將氨分子兩種結(jié)構(gòu)對應的量子態(tài)作為一組態(tài)基。氨分子具有n條能級，量子態(tài)矢量所在的希爾伯特空間是n維的，經(jīng)過上述近似后，其就可以在一個二維的希爾伯特空間中表示。 2.一個典型的雙態(tài)量子系統(tǒng) 2.1氨分子 氨分子是一種比較簡單和典型的雙態(tài)量子系統(tǒng)，通過對氨分子的研究，我們能了解處理雙態(tài)系統(tǒng)的一般方法和雙態(tài)系統(tǒng)的性質(zhì)。

11、 氨分子的具體結(jié)構(gòu)如圖所示[6]： H H H H H H N N 圖2.1 氨分子的兩種結(jié)構(gòu) 一個氮原子與三個氫原子構(gòu)成一四面體，其穩(wěn)定結(jié)構(gòu)有兩種形式，其中下面的結(jié)構(gòu)中氮原子的位置是上面的結(jié)構(gòu)中氮原子在三個氫原子平面的鏡像對稱位置，這是兩種不同的結(jié)構(gòu)，這兩種結(jié)構(gòu)對應兩個獨立的量子態(tài)，設為、。這是一個雙態(tài)量子系統(tǒng)，這兩種結(jié)構(gòu)有相同的能量E0。 將系統(tǒng)的量子態(tài)用表示，薛定諤方程為 （1） 將態(tài)、歸一化，、可作為一組正交歸一化的態(tài)基，將在、態(tài)上分

12、解， （2） 其中，=1，2，Ci即是系統(tǒng)量子態(tài)處于、態(tài)的概率幅 將（2）式代入（1）式右邊，得到 進一步用左失（=1，2）乘等式兩端，得到 （3） 將（3）式寫成矩陣形式為 （4） 、態(tài)對應的經(jīng)典能量為E，其量子表示為 ， 即 由于哈密頓算符是厄米的 可以假設，為一實數(shù)，那么式變?yōu)? （5） 可以分開寫成 我們可以通過以下的變換，找到系統(tǒng)的能量本征值和本征態(tài)，將兩式分別相加和相減，得到

13、 （6） （7） 從上式可知系統(tǒng)能量本征值為E0+A，E0-A， 令 ， （8） 即， 可得， 、是系統(tǒng)的能量本征態(tài) （6），（7）式變?yōu)? （9） （10） 由（9），（10）式可解得 ， （11） ，皆為定值，即，是定態(tài)概率幅，系統(tǒng)處于能量本征態(tài)的概率不變[7]。 由（8）式可得 ， （12） （13） C1，C2不是定態(tài)概率福，系統(tǒng)處于、

14、態(tài)的概率是變化的。 假設系統(tǒng)的初始狀態(tài)是處于態(tài)，即時，C1=1，C2=0，可得，代入（12），（13）式， （14） （15） 系統(tǒng)處于、態(tài)的概率為 （16） （17） 其變化規(guī)律用圖像表示為 P 圖2.2 氨分子概率振蕩曲線 由圖2.2可知，系統(tǒng)處于、態(tài)的概率是振蕩變化的，其對應的經(jīng)典圖像可以理解為一個初始狀態(tài)為態(tài)的氨分子，其氮原子穿過氫原子

15、勢壘，到達氫原子平面的另一側(cè)形成穩(wěn)定結(jié)構(gòu)的概率為。 要考察系統(tǒng)處于、態(tài)的概率的具體變化過程，可以對（16），（17）式作短時近似處理， 可以這樣來理解上式，原來處于純態(tài)的系統(tǒng)，時間后會有大小的概率躍遷至態(tài)，躍遷的概率幅度為，即單位時間躍遷的概率幅為。 2.2雙態(tài)系統(tǒng)中的能級躍遷 在處理實際問題時，一個系統(tǒng)往往不只有兩個能級，但如果有兩個靠的很近的能級，它們到其他的能級的間隔要大的多，在特定的情況下，我們只考慮這兩個能級，那么這也是一個雙態(tài)系統(tǒng)問題。假設在一個原子中，我們只考慮某兩條相鄰的能級，其能量本征值為Ea和Eb。將系統(tǒng)的量子態(tài)在兩個能量本征態(tài)上分解表示，代入薛定諤方程，可

16、得形式如（3）式的方程， ， 由能量本征態(tài)的正交歸一性，可得 即 ，， 薛定諤方程的矩陣形式為 （18） 在外場作用下，電子可能會發(fā)生能級之間的躍遷 設外加電場為，以原子核為坐標原點，電子的勢能為 ， 系統(tǒng)的哈密頓算符，是無外場時的哈密頓算符， 矩陣形式為 其中， 薛定諤方程為 （19） 即 （20）

17、 （21） 上式的解在無外場時具有與（11）式相同的形式，包含，項，加外場時，解的形式為 ， 代入（20），（21）式，得 其中是兩條能級之間躍遷發(fā)出的光子的圓頻率，上式中ω+ω0，ω頻率較大，振動快，ω-ω0頻率小，振動慢，較長一段時間內(nèi)振動頻率快的，其平均作用效果近似為0，所以可以將上式中的ω+ω0，ω項忽略不計，簡化為 在電子的狀態(tài)是處于Ea低能級的初始條件下，解得 其中 （22） （23） Pβ是t時間內(nèi)電子

18、從低能級躍遷到高能級的概率，現(xiàn)在研究外電場頻率剛好與系統(tǒng)能級躍遷發(fā)出的光子頻率相等時的情況，即， （24） （25） 圖像見圖2.3 由圖2.3可知，系統(tǒng)初始狀態(tài)處于Eα低能級態(tài)，Pα=1，Cα=1，在時，，，系統(tǒng)完全處于高能態(tài)。電子在兩個能級態(tài)上概率幅的變化達到最大，我們可以將系統(tǒng)在兩個能級態(tài)上的概率幅看作是來回振蕩變化的。外電場頻率ω=ω0時，概率幅的振蕩達到最大，這稱為量子共振現(xiàn)象。與經(jīng)典力學中的共振現(xiàn)象類比，一個固有頻率為ω0的系統(tǒng)，受到一個頻率

19、為ω的外力擾動，當ω逐漸接近ω0時，系統(tǒng)的振幅逐漸變大，ω=ω0時，振幅達到最大，這時系統(tǒng)與外界的能量交換效率也達到最大。 P 圖2.3 量子共振圖像 3 雙態(tài)量子系統(tǒng)的應用 3.1氨分子頻標 雙態(tài)量子系統(tǒng)兩條能級之間的躍遷會發(fā)出頻率高度穩(wěn)定的信號，可作為頻率標準，這稱作量子頻標。量子頻標可用于精確的時間計量，其精確度是目前所有計量手段中最高的。第一個在實驗上實現(xiàn)的量子頻標是氨分子頻標，其利用的裝置如下[8]。 輸出 諧振腔 輸入 氨分子源 FOCUSER 氨分子束 圖3.1 氨分子激射器

20、 氨分子射出后會經(jīng)過一個裝置，其橫截面如圖[9]， 圖3.2 FOCUSER裝置橫截面圖 這是一個電四極裝置[10]。在電磁場中氨分子有一個電偶極矩元素與兩個能態(tài)相聯(lián)系，圖中的裝置是要挑選出處于高能態(tài)的氨分子。在電四極電場中，中間電場弱，邊緣電場強。處于高能態(tài)的氨分子會通過該裝置到達諧振腔，低能態(tài)的氨分子則會被分離開[11]。在諧振腔內(nèi)，如果一個氨分子發(fā)生能級躍遷，其發(fā)出的頻率為共振頻率的光子，會留在諧振腔內(nèi)，激發(fā)其他分子發(fā)生能級躍遷，躍遷產(chǎn)生的

21、光子又會激發(fā)新的能級躍遷，這樣整個過程速度會越來越快，類似于核反應堆中的鏈式反應[12]。我們可以向諧振腔內(nèi)輸入微波，用于激發(fā)氨分子的能級躍遷，在輸出端會得到放大的頻率為共振頻率的微波，其帶寬可以達到10-3Hz[13]，氨分子共振中心頻率約為24000MHz，相對帶寬為10-13數(shù)量級，這樣就得到了頻率高度穩(wěn)定的微波信號[14]。 3.2核磁共振 恒磁場中的原子束，加一個交變磁場，原子核會發(fā)生能級之間的概率躍遷，設在Z方向加恒磁場，X方向加交變磁場，哈密頓矩陣為 薛定諤方程為 其解與（22）式類似，初始狀態(tài)為態(tài)，t時刻后處于態(tài)的概率為 其中 P↓是振蕩變化的，當時，有最大振幅，發(fā)生共振，共振時對外界能量吸收最大。實驗上，測得核磁共振的吸收曲線，其吸收峰處對應著共振情形。在實際中，測得物體的核磁共振曲線，可以對其結(jié)構(gòu)進行分析。醫(yī)學家們利用人體中水分子的氫原子的核磁共振，可以獲取人體內(nèi)水分子分布的信息，從而精確繪制人體內(nèi)部結(jié)構(gòu)。其方法是將人體置于靜磁場中，用無線電射頻脈沖激發(fā)人體內(nèi)氫原子核，引起氫原子核共振，并吸收能量。在停止射頻脈沖后，氫原子核按特定頻率發(fā)出射電信號，將吸收的能量釋放出來，在體外用接收器記錄，經(jīng)計算機處理可獲得核磁共振圖像[15]。 - 13 -