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1、安徽建筑工業(yè)學(xué)院 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 安徽建筑工業(yè)學(xué)院 畢 業(yè) 設(shè) 計(jì) (論 文) 專 業(yè) 應(yīng)用物理學(xué) 班 級(jí) 07應(yīng)用物理(1) 學(xué)生姓名 學(xué) 號(hào) 07207030108 課 題 量子態(tài)遠(yuǎn)程制備與操控 指導(dǎo)教師 二零壹壹

2、 年 六 月 43 量子態(tài)遠(yuǎn)程制備與操控 李星宇 （安徽建筑工業(yè)學(xué)院數(shù)理系，合肥230601） 摘　要：量子信息學(xué)是量子力學(xué)與信息科學(xué)相結(jié)合的新興交叉學(xué)科.近幾年，作為其主要研究內(nèi)容的新興量子技術(shù)遠(yuǎn)程態(tài)制備已在理論上和實(shí)驗(yàn)上已取得了很有價(jià)值的成果.本文主要探討了量子態(tài)遠(yuǎn)程制備以及其擴(kuò)展方案：聯(lián)合遠(yuǎn)程態(tài)制備和多粒子GHZ態(tài)的聯(lián)合遠(yuǎn)程制備.在給出量子力學(xué)及量子信息學(xué)的基本知識(shí)后我們探討了幾種常見的量子技術(shù)（第一、二章），指出了遠(yuǎn)程態(tài)制備的優(yōu)勢(shì)和特點(diǎn).第三章中我們?cè)敿?xì)討論了雙方聯(lián)合遠(yuǎn)程制備單量子態(tài)的方案.對(duì)多粒子GHZ態(tài)的聯(lián)合遠(yuǎn)程制備與多方聯(lián)合態(tài)制備的情形被放在第四章中

3、討論.我們對(duì)每一種方案都給出了經(jīng)典信息損耗的分析，并對(duì)其優(yōu)缺點(diǎn)和相關(guān)概念做出了評(píng)述和探討.文章最后，我們指出了需要被進(jìn)一步研究的問題和方向. 關(guān)鍵詞：量子態(tài)遠(yuǎn)程制備；聯(lián)合遠(yuǎn)程態(tài)制備；多GHZ態(tài)；經(jīng)典信息 Remote preparation and manipulation of quantum state Li Xingyu (Department of mathematics & physics, Anhui University of Architecture , Hefei,230601,China) Abstract: quantum information theory

4、 is an inter-discipline of quantum mechanics and information theory. As a interesting field in quantum information theory, remote state preparation has been studied in both theory and experiment. Up to now, people have achieved some valuable results. This article focuses on remote state preparation

5、and its extensions, namely joint remote state preparation and joint remote preparation of multiple-GHZ state. After dealing with the basic knowledge in quantum mechanics and quantum information theory, we illustrate three common quantum technics briefly as well as pointing out the features and advan

6、tages of remote state preparation. In the third chapter, we provide a RSP protocol whose original state is shared by two parties in detail. Discussion on JRSP of multiple-GHZ state and multipart RSP is placed in chapter four. We provide analysis on classical communication cost(CCC) and advantages an

7、d disadvantages for each protocol, then investigate relevant conceptions. At the end, we also offer some open questions for further study. Key words: remote quantum state preparation joint remote state preparation multiple-GHZ state classical information 目錄 第一章 量子信息技術(shù)簡介 1 1.1 引言 1 1.2量子信

8、息學(xué)的量子力學(xué)基礎(chǔ) 1 1.2.1量子力學(xué)的基本假設(shè) 1 1.2.2量子比特及其特性 2 1.2.3量子糾纏和量子非局域性 3 1.2.4量子態(tài)的演化與量子操作 4 1.2.5 量子測量一般理論的簡介 5 1.3常見的量子技術(shù) 7 1.3.1 量子隱形傳態(tài) 7 1.3.2 量子稠密編碼 7 1.3.3 量子秘密分享 8 第二章 量子態(tài)的遠(yuǎn)程制備簡介 10 2.1本章概述 10 2.2遠(yuǎn)程制備量子態(tài)的基本方法和思想 10 2.2.1基本方法 10 2.2.2基本思想及現(xiàn)狀 11 第三章 量子態(tài)的聯(lián)合遠(yuǎn)程制備 13 3.1本章概述及結(jié)構(gòu) 13 3.2聯(lián)合遠(yuǎn)程制備的

9、具體方案 13 3.2.1方案1 13 3.2.2方案2 18 3.3方案的討論與評(píng)價(jià) 22 第四章 聯(lián)合概率遠(yuǎn)程制備多粒子GHZ態(tài) 24 4.1本章概述及結(jié)構(gòu) 24 4.2具體方案 24 4.2.1雙粒子糾纏態(tài)的聯(lián)合遠(yuǎn)程制備 24 4.2.2多粒子GHZ態(tài)的雙方聯(lián)合遠(yuǎn)程制備 29 4.2.3多方聯(lián)合制備多粒子GHZ態(tài)方案 32 4.3方案的評(píng)述 33 第五章 結(jié)論 35 參考文獻(xiàn) 41 致謝 42 第一章 量子信息技術(shù)簡介 1.1 引言 量子理論的建立是20世紀(jì)物理學(xué)劃時(shí)代的進(jìn)展.量子力學(xué)的建立，開辟了人們認(rèn)識(shí)微觀世界的道路.大量事實(shí)證明，離開了量子理

10、論，任何一門近代物理學(xué)科及相關(guān)邊緣學(xué)科的發(fā)展都是不可思議的.二十世紀(jì)八十年代以后發(fā)展起來的量子信息論是量子力學(xué)和信息科學(xué)結(jié)合的產(chǎn)物.利用微觀粒子作為載體，量子信息學(xué)可以憑借量子力學(xué)所特有的性質(zhì)來完成經(jīng)典世界無法完成的任務(wù).隨著電子計(jì)算機(jī)與網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的迅速發(fā)展及性能不斷提高，它們已經(jīng)在社會(huì)生活的各個(gè)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用.由于量子信息有給信息工程帶來劃時(shí)代變革的巨大潛力，量子信息的研究已成為國際上研究的熱點(diǎn)，發(fā)展非常迅猛. 量子通信是量子信息學(xué)的一個(gè)重要分支，也是量子信息中研究較早的分支.由于量子通信具有無條件安全性和對(duì)竊聽的可檢測性，量子通信已成為受到密碼學(xué)界、物理學(xué)界、商家、媒體、政府部門等各

11、方面廣為關(guān)注的密碼學(xué)分支.雖然量子態(tài)不好長時(shí)間保存但可以用于傳輸，因此利用測不準(zhǔn)關(guān)系和量子態(tài)不可克隆定理，通過量子信道建立密鑰可以實(shí)現(xiàn)除當(dāng)事人之外的第三方無法獲得密鑰的任何信息.因此，量子加密是迄今為止最為安全的、最穩(wěn)定的加密方式.目前，量子密碼術(shù)在理論上和實(shí)驗(yàn)上都得到了重要的進(jìn)展. 量子力學(xué)是理解量子信息的基礎(chǔ)，在本章中我們將介紹部分量子力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，包括量子力學(xué)的基本假設(shè)、量子比特、量子糾纏及其特性、量子糾纏和量子非局域性、量子態(tài)的演化與量子操作、量子測量等.同時(shí)介紹幾種常見的量子技術(shù)包括量子隱形傳態(tài)、量子稠密編碼、量子糾纏轉(zhuǎn)移、量子秘密分享等. 1.2量子信息學(xué)的量子力學(xué)基礎(chǔ) 1.

12、2.1量子力學(xué)的基本假設(shè) 量子力學(xué)包含若干基本假設(shè)，從這些假設(shè)出發(fā)，可推導(dǎo)一些重要結(jié)論，用以解釋和預(yù)測許多實(shí)驗(yàn)事實(shí).經(jīng)過近一個(gè)世紀(jì)實(shí)踐的考驗(yàn)，說明作為量子力學(xué)理論基礎(chǔ)的那些基本假設(shè)是正確的[1]. 假設(shè)1：在經(jīng)典物理中，每一種波動(dòng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)都可用一個(gè)函數(shù)來描述.對(duì)于微觀粒子來說，其運(yùn)動(dòng)既然有波動(dòng)性，也可以用一個(gè)波函數(shù)描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，記為.波函數(shù)描述的波是幾率波必須是單值的、連續(xù)的、平方可積的. 假設(shè)2：微觀量子系統(tǒng)的每一個(gè)力學(xué)量對(duì)應(yīng)Hilbert空間中的一個(gè)線性厄米算符，力學(xué)量的取值是相應(yīng)算符的本征值. 假設(shè)3：在量子力學(xué)中，決定微觀體系運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的是Schrdinger方程（含時(shí)）：

13、 （1.1） 是系統(tǒng)的哈密頓算符. 假設(shè)4：若是某一微觀體系的可能狀態(tài)，它們的線性組合得到的態(tài)也是該體系的可能狀態(tài). 假設(shè)5：在同一原子軌道或分子軌道中，至多能容納兩個(gè)自旋相反的電子或兩個(gè)自旋相同的電子不能占據(jù)同一軌道.描寫全同粒子系統(tǒng)的態(tài)矢量，對(duì)于任意一對(duì)粒子的交換，是對(duì)稱的或反對(duì)稱的；服從前者的粒子稱為波色子，服從后者的粒子稱為費(fèi)米子. 1.2.2量子比特及其特性 參照Shannon信息論中比特描述信號(hào)可能狀態(tài)的特征，量子信息中類比地引入了量子比特的概念.從物理上來說，量子比特就是量子態(tài)[2]，因此，量子比特具

14、有量子態(tài)的所有屬性.就像經(jīng)典比特有一個(gè)狀態(tài)或0或1，量子比特也有一個(gè)狀態(tài)，量子比特的兩個(gè)可能狀態(tài)是或.經(jīng)典比特和量子比特的區(qū)別在于量子比特的狀態(tài)可以落在或上，也可以是狀態(tài)的線性組合，稱為疊加態(tài).如定義二維Hilbert空間中的任意態(tài)矢為一個(gè)二進(jìn)制量子比特： （1.2） 其中和是復(fù)數(shù)，或是二維Hilbert空間的基矢.從物理意義上說，具有上式的量子比特即可能處于態(tài)也可能處于態(tài)，同時(shí)還可能處于這兩態(tài)的疊加態(tài).在測量之前觀測者無法確切知道改量子比特具體處于那個(gè)狀態(tài)，唯一能獲取的信息是知道處于狀態(tài)的概率是，處于狀態(tài)的概率為，要想獲得準(zhǔn)確的結(jié)果必須采用測量

15、方式測量該量子比特. 由于Hilbert空間不是唯一的，因此一個(gè)量子比特可以用不同的基矢表示，并且這種基矢有無窮多組，在不同的基中同一個(gè)量子比特形式不同.例如，定義 （1.3） 即和也為Hilbert空間的一組基矢，式（1.2）所描述的量子比特又可以表示為: （1.4） 一般情況下，在量子信息中我們習(xí)慣稱和為計(jì)算基矢，和為物理基矢.式（1.2）和式（1.4）表示同一個(gè)量子比特只不過系數(shù)不同. 除了單量子比特外，為了描述由復(fù)合基構(gòu)成的量子比特，還存在復(fù)合量子比特的概念.所謂復(fù)合量子比特就是指由N個(gè)量子復(fù)合而成的量子

16、比特.復(fù)合量子比特與經(jīng)典比特中的碼組對(duì)應(yīng)，一般表示為： （1.5） 其中，腳標(biāo)表示不同的量子.N個(gè)量子構(gòu)成N基復(fù)合量子比特可表示為之和. 在經(jīng)典信息科學(xué)中存在多種進(jìn)制比特，如八進(jìn)制，十六進(jìn)制等.同樣地，量子信息學(xué)中也可定義多進(jìn)制量子比特的概念.如果量子系統(tǒng)的基是由多進(jìn)制量子比特組成則稱為多進(jìn)制量子比特.一般地，M進(jìn)制單基量子比特可定義為： （1.6） 其中. 量子比特具有豐富的物理性質(zhì)，如：雙重性、疊加性、測不準(zhǔn)性、不克隆性、不可區(qū)分性、糾纏性、互補(bǔ)性、相干性等.正是由于量子比特具有這些物理性質(zhì)使其構(gòu)成了量子信息和量子保密通信的基礎(chǔ)

17、. 1.2.3量子糾纏和量子非局域性 量子糾纏是量子力學(xué)特有的現(xiàn)象，是量子力學(xué)不同于經(jīng)典物理最奇特、最不可思議的特征.假設(shè)有一個(gè)由A和B子系構(gòu)成的復(fù)合系統(tǒng)，處于純態(tài)，若的對(duì)偶基展開中含有兩項(xiàng)和兩項(xiàng)以上，即量子態(tài)不能表示成兩個(gè)子系純態(tài)的直積時(shí)，則稱是一個(gè)糾纏態(tài).對(duì)于兩量子位系統(tǒng)的純態(tài) (1.7) 就是一個(gè)糾纏態(tài).在上式中，若取時(shí)，就是兩量子位的最大糾纏態(tài).這一結(jié)論在量子信息論中有重要的應(yīng)用，這里我們介紹一類非常重要的糾纏態(tài)—貝爾基態(tài)（Bell State） (1.8)

18、 (1.9) (1.10) (1.11) 貝爾基態(tài)是兩粒子體系的最大糾纏態(tài)，我們通常把這兩個(gè)處在糾纏態(tài)的粒子稱為EPR對(duì).Bell態(tài)構(gòu)成了四維Hilbert空間中的正交完備基，即.顯然，貝爾基態(tài)只是一類兩粒子糾纏態(tài)，是兩粒子體系的最大糾纏態(tài). 除了Bell態(tài)外，另一種在量子信息中常用的糾纏態(tài)是GHZ態(tài).GHZ態(tài)最初是以Greenberger, Horne, Zeilinger三人命名的三粒子最大糾纏態(tài) (

19、1.12) 后來，人們將N個(gè)兩能級(jí)量子體系的糾纏態(tài) (1.13) 稱為多粒子GHZ態(tài). 處于糾纏態(tài)的粒子之間具有很好的關(guān)聯(lián)性和非定域性.糾纏粒子具有關(guān)聯(lián)性和非定域性，這是一種純量子效應(yīng).下面我們以極化雙光子的Bell態(tài)為例加以說明：假設(shè)和是光子的量子態(tài)為水平和垂直極化.當(dāng)我們對(duì)處于態(tài)中的A光子進(jìn)行測量，將有的概率得到，以的概率得到.如果測量A光子得到結(jié)果為，則原來的糾纏態(tài)塌縮到直積態(tài)，B光子無可選擇地處在；同理，如果測量A光子得到結(jié)果為，則B光子無可選擇地處在，此即糾纏粒子的關(guān)聯(lián)性.根據(jù)量子力學(xué)原理，這種關(guān)聯(lián)性并不隨著空間的

20、長短而改變.即對(duì)光子A的測量雖然不能對(duì)光子B產(chǎn)生直接的相互作用，但卻瞬時(shí)改變了光子B 的狀態(tài)描述，這就是量子力學(xué)的非定域性.在現(xiàn)代量子光學(xué)實(shí)驗(yàn)中，糾纏粒子之間的關(guān)聯(lián)性和非定域性已經(jīng)得到了大量的證實(shí). 1.2.4量子態(tài)的演化與量子操作 量子信息處理是對(duì)編碼的量子態(tài)進(jìn)行一系列的控制、操作和測量等.與經(jīng)典操作不同的是量子操作通常是可逆操作，遵循幺正演化規(guī)律.對(duì)量子比特進(jìn)行的基本操作，通常稱為量子門[3].一個(gè)單量子比特是一個(gè)向量，它的兩個(gè)復(fù)參數(shù)和滿足歸一化關(guān)系.量子比特上的運(yùn)算必須保持該范數(shù)，由矩陣給出，其中一些重要的矩陣包括Pauli矩陣，如： (1.1

21、4) 常見的量子比特門有 (1.15) 它們的真值如下： (1.16) 最常見的量子門為Hadamard門（記作H）和控制非門（記作C-not）.Hadamard門可以用矩陣語言表示如下： (1.17) 其演化過程為： (1.18) 量子控制非門是最常見的兩比特量子門，其中的兩個(gè)量子比特分別為控制比特與目標(biāo)比特.其特征在于：當(dāng)控制比特為時(shí)，它不改變目標(biāo)位；當(dāng)控制比特為時(shí)，它將翻轉(zhuǎn)目標(biāo)位.控制非門用矩陣語言可以表示為：

22、 (1.19) 其演化過程為： ， (1.20) 上式中a為控制比特，b為目標(biāo)比特.根據(jù)量子信息理論，人們只要能完成單比特的量子操作和兩比特的控制非門操作，就可以構(gòu)建對(duì)量子系統(tǒng)的任一幺正操作，因此我們只要了解一些基本的操作就可以了. 1.2.5 量子測量一般理論的簡介 量子測量由一組測量算子描述，這些算子作用在被測系統(tǒng)狀態(tài)空間上，指標(biāo)m表示實(shí)驗(yàn)中可能的測量結(jié)果[4].假設(shè)在測量前，量子系統(tǒng)的狀態(tài)為，則結(jié)果m發(fā)生的可能性為： (1.21) 測量后系統(tǒng)的狀態(tài)為：

23、 (1.22) 測量算子滿足完備性方程，完備性方程表達(dá)了概率之和為1的事實(shí).量子測量的一個(gè)重要任務(wù)是區(qū)分量子狀態(tài).如果狀態(tài)集是正交的，我們可以對(duì)每個(gè)指標(biāo)i定義測量算子，在定義一個(gè)測量算子為半正定算子的非負(fù)平方根.由于這些算子滿足完備性關(guān)系，并且如果狀態(tài)是，則，測量結(jié)果肯定是1，因此，可以可靠的區(qū)分正交狀態(tài)集.然而如果這組正交狀態(tài)集不是正交的，可以證明沒有測量可以區(qū)分這些狀態(tài). 量子信息中主要的應(yīng)用是投影測量和POVM（posititve operator-valued measure）測量.投影測量由被觀測系統(tǒng)狀態(tài)空間上的一個(gè)可觀測量Hermite算子M描述，該觀

24、測量具有譜分解.其中是到特征值m的本征空間M上的投影，測量結(jié)果可對(duì)應(yīng)于測量算子的特征值m.測量狀態(tài)為時(shí)的概率為 (1.23) 給定的測量結(jié)果是m，測量后量子系統(tǒng)的狀態(tài)為 (1.24) 可見，如果量子算子除了滿足完備性條件外還滿足正交投影算子的條件，則普通的量子測量就退化為投影測量. POVM測量理論非常優(yōu)美且應(yīng)用廣泛.設(shè)測量算子在狀態(tài)為上的量子系統(tǒng)上進(jìn)行測量，得到的結(jié)果m的概率為.如果定義：

25、 (1.25) 則是滿足和的半正定算子.算子集合足以確定不同測量結(jié)果的概率，算子稱為與測量相聯(lián)系的POVM元，完整的集合稱為一個(gè)POVM元. 1.3常見的量子技術(shù) 1.3.1 量子隱形傳態(tài) 1993年，Bennett等人在Phys.Rev.Lett上發(fā)表了一篇開創(chuàng)性文章[5]，提出將未知量子態(tài)的信息分為經(jīng)典信息和量子信息兩部分，分別由經(jīng)典信道和量子信道傳送給接受者，經(jīng)典信息是發(fā)送者對(duì)原物進(jìn)行某種測量得到的，量子信息是發(fā)送者在測量中未獲得的其它信息. 這里，我們簡單介紹量子隱形傳態(tài)的基本思想.假設(shè)Alice要將

26、粒子1所處的未知量子態(tài)（）傳送給Bob.在此之前，Alice和Bob共享了一對(duì)EPR對(duì)，為，粒子2歸Alice所有，粒子3歸Bob所有.Alice對(duì)粒子1和粒子2實(shí)施聯(lián)合貝爾基測量 (1.26) 根據(jù)上式，Alice對(duì)粒子1和2測量的結(jié)果必然是四個(gè)貝爾基中的任意一個(gè)，出現(xiàn)的幾率各占25%，對(duì)應(yīng)于Alice不同的測量結(jié)果，Bob手中的粒子3就會(huì)塌縮到相應(yīng)的量子態(tài)上.Alice通過經(jīng)典信道告訴Bob她的測量結(jié)果，這樣Bob就可以選擇適當(dāng)?shù)溺壅儞Q使得他手中的粒子3轉(zhuǎn)換到原來的未知量子態(tài)上.可見，量子隱形傳態(tài)僅僅是量子態(tài)被傳輸了，而不是傳送量子位本身. 量子隱

27、形傳態(tài)技術(shù)在量子信息領(lǐng)域中有很重要的應(yīng)用價(jià)值.目前，量子隱形傳態(tài)的各種理論方案已相繼出現(xiàn)[3].特別地，在實(shí)驗(yàn)方面也取得了很大的進(jìn)展.1997年中國青年學(xué)者潘建偉等，采用II型參量下轉(zhuǎn)換過程所產(chǎn)生的自發(fā)輻射孿生光子對(duì)作為EPR粒子，實(shí)現(xiàn)了將一個(gè)光子態(tài)傳送到另一個(gè)光子上首次實(shí)現(xiàn)未知量子態(tài)的隱形傳態(tài).Rome小組采用了一個(gè)更為簡便的方法，把量子態(tài)從糾纏光子對(duì)中的一個(gè)傳送到另一個(gè)光子上.另外一個(gè)實(shí)驗(yàn)是在NMR（核磁共振）中實(shí)現(xiàn)的，把態(tài)從樣品分子中的一個(gè)原子傳遞到另一個(gè)原子上.量子隱形傳態(tài)的理論和實(shí)驗(yàn)上都取得了很大的突破. 1.3.2 量子稠密編碼 量子密集編碼的基本思想是基于量子糾纏態(tài)的非定域空

28、間特性，對(duì)處于糾纏的量子系統(tǒng)的一個(gè)子系統(tǒng)做局域量子幺正操作，只有在對(duì)整個(gè)量子系統(tǒng)做聯(lián)合測量后才能讀出局域量子操作的信息.這是與經(jīng)典信息處理完全不同的情. 量子稠密編碼的原理如下：制備出一對(duì)于處在態(tài)EPR態(tài)，然后將粒子A傳給Alice，粒子B傳給Bob.這樣Alice和Bob之間就共享了一對(duì)糾纏粒子對(duì)，Alice接收到粒子A后，對(duì)她的量子位實(shí)施四個(gè)幺正操作來改變A和B粒子組成的量子系統(tǒng)的量子態(tài) ， ， (1.27) ，， (1.28) ，， (1.29) ，. (1.30) 操作完成后，Alice把粒子

29、A再發(fā)給Bob，Bob對(duì)AB粒子做聯(lián)合貝爾基測量，就可推出Alice所做的幺正操作信息，由于存在四種可能，Alice可以選擇兩個(gè)bit的經(jīng)典信息來代表四個(gè)不同的操作，如，， 和分別編碼為00，01，10和11，這樣Alice和Bob通過傳送一個(gè)量子位完成了2比特經(jīng)典信息的傳輸，即實(shí)現(xiàn)了量子稠密編碼. 1.3.3 量子秘密分享 經(jīng)典的機(jī)密共享方案最早是由Blakely和Shamir于1979年各自提出的.由于經(jīng)典的信號(hào)能夠被自由地復(fù)制，理論上來說經(jīng)典物理中沒有絕對(duì)安全的機(jī)密共享.然而利用量子力學(xué)為基礎(chǔ)的量子密鑰分配方案被證明是絕對(duì)安全的.因此，我們可通過量子密鑰分配產(chǎn)生密鑰，達(dá)到安全

30、機(jī)密分享的目的.這種能夠?qū)崿F(xiàn)機(jī)密共享—我們稱之為量子秘密分享（QSS）. 最早的量子秘密分享方案HBB99 QSS是Hillery,Buzek和Berthiaume于1999年提出的[21].我們以該方案為例來說明量子秘密分享的基本原理.假設(shè)三方Alice，Bob和Charlie分別擁有GHZ態(tài)中的一個(gè)粒子.他們隨機(jī)地選擇和對(duì)自己手中的粒子做測量，然后公開宣布選擇的是哪一組基進(jìn)行測量，但不宣布測量結(jié)果.其中和是的本征態(tài)，而和的本征態(tài)分別用以下各式表示： ， ， (1.31) ， . (1.32) 可以

31、用和的本征態(tài)展開為以下形式： . 當(dāng)他們?nèi)窟x擇或者其中的兩人選擇而另一人選擇時(shí)，他們能得到一個(gè)關(guān)聯(lián)的結(jié)果，即Bob和Charlie事先不知道對(duì)方的測量結(jié)果，也就不知道Alice的測量結(jié)果.但當(dāng)Bob和Charlie合作時(shí),他們就能得到Alice的測量結(jié)果.這種關(guān)聯(lián)可以用來建立密鑰實(shí)現(xiàn)秘密分享.若選擇其它的測量基，則無法得到一個(gè)關(guān)聯(lián)的結(jié)果，故要被舍棄.這兩種情況的幾率各占1/2.  第二章 量子態(tài)的遠(yuǎn)程制備簡介 2.1本章概述 隨著量子信息學(xué)科的發(fā)展，糾纏態(tài)已被看作一種特殊的物理資源并在各種有趣的量子信息過程中充當(dāng)量

32、子信道.另一方面，不可克隆定理表明對(duì)于任意未知的量子態(tài)，我們都無法進(jìn)行完美的復(fù)制.如何實(shí)現(xiàn)不同資源間的交換已成為量子通信中的一大課題.上一章中提到的量子隱形傳態(tài)向我們提供了一個(gè)傳遞量子態(tài)給遠(yuǎn)處接收方的方法，這需要同時(shí)使用經(jīng)典信道和EPR信道，但并不需要真正地傳出量子比特的實(shí)體.由于發(fā)送方需對(duì)其粒子實(shí)施Bell基測量（BM）而BM有四個(gè)可能的結(jié)果，這樣每傳輸一個(gè)量子比特就需要（也僅需要）2比特的經(jīng)典資源和1比特的糾纏資源.此種情況下，發(fā)送方只是擁有被傳輸?shù)膽B(tài)但并不知道態(tài)的信息.那么，如果Alice完整知道初始態(tài)的信息又會(huì)產(chǎn)生什么變化呢？為回答這個(gè)問題，Lo，Pati和Bennett等人提出了另一

33、個(gè)利用事先分享的糾纏資源和經(jīng)典信息傳遞完全已知的糾纏態(tài)的新穎方法.這種情形下發(fā)送方并不需要擁有被制備的量子比特，他要做的是適當(dāng)?shù)夭僮鞅环窒淼奶幱诩m纏態(tài)的兩個(gè)粒子中的一個(gè)，使得遠(yuǎn)處另一個(gè)粒子被變換到所需的態(tài)或者與所需的只相差一個(gè)基本修正操作的態(tài).這就是遠(yuǎn)程態(tài)制備（RSP），即遠(yuǎn)程制備一個(gè)已知態(tài).由于我們可以通過一個(gè)單量子比特馮諾依曼測量（vNM）實(shí)現(xiàn)態(tài)的遠(yuǎn)程制備，這樣經(jīng)典信息損耗（CCC）就減為僅1比特.對(duì)于某些特殊系宗，RSP方案比隱形傳態(tài)更為經(jīng)濟(jì)，但對(duì)于一般的態(tài)和一大部分糾纏資源，RSP的漸進(jìn)經(jīng)典信息消耗為每量子比特消耗1比特經(jīng)典資源，這與量子隱形傳態(tài)是相同的.由于發(fā)送方完整地掌握了所發(fā)送量

34、子比特的信息并對(duì)他的粒子執(zhí)行vNM，RSP中所消耗的經(jīng)典資源和糾纏資源間可以相互權(quán)衡.這在隱形傳態(tài)中是無法實(shí)現(xiàn)的.一般的，RSP包含三種基本資源間的平衡：經(jīng)典資源（以cbits為單位）、量子資源（以qubits為單位）和非定域性資源（以ebits為單位）.這些在文獻(xiàn)[8]中都有討論.目前，由于其在量子通信中的重要應(yīng)用，RSP已經(jīng)吸引了眾多關(guān)注.各種RSP方案被相繼提出，例如：低糾纏態(tài)RSP，髙維RSP，最優(yōu)RSP，遺忘型（oblivious）RSP，廣義RSP，精確RSP，連續(xù)變量RSP等.目前RSP的眾多方面都已被研究過了，它們有：遺忘型RSP、連續(xù)變量RSP、多方或高維純態(tài)RSP、混合態(tài)R

35、SP、態(tài)的多系宗的RSP等.多點(diǎn)RSP也被進(jìn)行了研究. 2.2遠(yuǎn)程制備量子態(tài)的基本方法和思想 2.2.1基本方法 2000年, 在量子隱形傳態(tài)的基礎(chǔ)上，Lo[6]，Pati[7]和Bennett[8]等人提出了遠(yuǎn)程態(tài)制備方案（Remote state preparation）.在量子隱形傳輸方案中發(fā)送方和接收方對(duì)所要傳輸?shù)牧孔討B(tài)的信息均是完全未知的, 而在遠(yuǎn)程態(tài)制備方案中, 發(fā)送方對(duì)所要傳輸?shù)牧孔討B(tài)的信息是已知的，所以遠(yuǎn)程態(tài)制備又被稱為“對(duì)一個(gè)已知態(tài)的量子隱形傳輸”. 現(xiàn)在我們以最初提出單量子態(tài)的遠(yuǎn)程制備的Pati的方案來說明遠(yuǎn)程制備的過程.在該方案中，Alice想要傳輸給Bob的量

36、子態(tài)形式為：，這里是實(shí)數(shù)，是復(fù)數(shù).量子態(tài)對(duì)Alice是已知的，對(duì)Bob而言是未知的.假設(shè)他們之間共享一EPR糾纏態(tài)（）作為量子信道且粒子1屬于Alice，粒子2屬于Bob.由于初始態(tài)對(duì)Alice來說是已知的，因此她可以選擇任何的測量基來測量粒子1.為了幫助Bob在粒子2上重建初始態(tài)，Alice選擇的測量基為，其形式為： ， （2.1） 在該測量基下，可重新寫為： （2.2） 如果Alice對(duì)其粒子1的測量結(jié)果是并且利用1個(gè)經(jīng)典比特通過經(jīng)典信道告知Bob她的測量結(jié)果，在收到Alic

37、e的經(jīng)典信息后，不用進(jìn)行任何的操作，Bob已知道粒子2所處的量子態(tài)就是初始態(tài).如果Alice的測量結(jié)果是，則粒子2的量子態(tài)將塌縮為初始態(tài)的正交態(tài)，由于Bob對(duì)初始態(tài)是一無所知的，他不能通過任何的操作使其轉(zhuǎn)化為初始態(tài)，遠(yuǎn)程制備初始態(tài)便失敗了.因此在Bob處成功制備初始態(tài)的概率為.然而若被制備的初始態(tài)處在一些特殊的量子態(tài)集上如：Bloch球的赤道態(tài)或極大圈態(tài)，也即Bob知道部分初始態(tài)的信息，在這種特殊情況下，遠(yuǎn)程制備的成功率可為1.當(dāng)然，對(duì)于Bell態(tài)的其它三個(gè)態(tài)中的任意一個(gè)均可作為量子信道來完成遠(yuǎn)程制備的任務(wù).從這個(gè)最初方案中我們可以看到，在遠(yuǎn)程制備過程中不需要Bell測量而只需要一個(gè)單粒子測量

38、，操作過程相比較于量子隱形傳態(tài)更加簡潔.特別地，該方案說明對(duì)于制備一些特殊的量子態(tài)集合，遠(yuǎn)程態(tài)制備所需要的經(jīng)典資源更少. 2.2.2基本思想及現(xiàn)狀 從上面介紹的Pati的方案中可以看出遠(yuǎn)程態(tài)制備的基本思想是：在發(fā)送者Alice和接受者Bob事先分享糾纏資源的條件下，Alice希望通過一些經(jīng)典信息和局域操作后，能傳輸一個(gè)對(duì)她完全已知但遠(yuǎn)方的Bob完全未知的量子態(tài).與量子隱形傳輸部同的是，在遠(yuǎn)程制備過程中，Alice并不需要擁有所要傳輸?shù)牧孔討B(tài)，只需知道所要傳輸量子態(tài)的信息，但在量子隱形傳輸方案中，需要傳輸?shù)牧孔討B(tài)是必須在發(fā)送方Alice處.因此遠(yuǎn)程態(tài)制備相當(dāng)于Alice擁有需要傳輸量子態(tài)的無

39、限多份拷貝但只需傳輸一份給遠(yuǎn)方的Bob.此外，在遠(yuǎn)程態(tài)制備的研究中還出現(xiàn)了兩個(gè)不同于量子隱形傳輸?shù)男绿攸c(diǎn).第一個(gè)是在文獻(xiàn)[8]中作者指出在極限下，增加糾纏資源可以使得經(jīng)典信息損耗降低至每傳送一個(gè)量子比特花費(fèi)一個(gè)經(jīng)典比特.第二個(gè)是在文獻(xiàn)[8]和[9]中作者指出在遠(yuǎn)程態(tài)制備過程中，經(jīng)典資源和糾纏資源之間存在一種不平常的平衡關(guān)系，并給出了這種關(guān)系的界限. 在遠(yuǎn)程態(tài)制備過程中，需要傳輸?shù)牧孔討B(tài)對(duì)傳輸者來說是完全已知的，因此利用這一條件能否減少經(jīng)典信息量和糾纏資源的損耗是這一個(gè)課題關(guān)心的一重點(diǎn)問題.Lo指出如果對(duì)要傳輸?shù)牧孔討B(tài)集合做一些適當(dāng)?shù)南拗?，發(fā)送方成功在遠(yuǎn)方接受方建立初始量子態(tài)所需要的經(jīng)典信息損

40、耗將小于相應(yīng)的量子隱形傳輸過程所需要的經(jīng)典信息量，并且推出對(duì)不做限制的量子態(tài)集的遠(yuǎn)程制備，經(jīng)典信息量和量子隱形傳輸一樣，即消耗1個(gè)量子比特的糾纏資源要消耗2個(gè)經(jīng)典比特的經(jīng)典信息損耗.隨后，Leung[10],Hayashi[11]也證明傳送一個(gè)量子比特的經(jīng)典信息損耗是，其中d是量子態(tài)的維數(shù).Pati證明對(duì)于制備Bloch球的赤道態(tài)或極大圈態(tài)的特殊量子態(tài)集合，遠(yuǎn)程制備一個(gè)量子比特只需要一個(gè)經(jīng)典比特的經(jīng)典通信，而對(duì)于量子隱形傳態(tài)來說則需要2個(gè)經(jīng)典比特.Bennett等人則研究了一般量子比特遠(yuǎn)程制備所需要的糾纏資源和經(jīng)典信息損耗之間的平衡關(guān)系.他們指出在遠(yuǎn)程制備大量一般的量子比特過程中，在一定的極限

41、下，每傳送1個(gè)一般的量子比特需要1經(jīng)典比特的信息.緊接著，Devetak等人改進(jìn)了Bennett等人的方案，使他們的方案所需要的經(jīng)典信息更接近于最優(yōu)化數(shù)值.Dai等人也提出了一種概率遠(yuǎn)程制備四粒子GHZ的方案并計(jì)算了成功完成遠(yuǎn)程態(tài)制備所需要的經(jīng)典信息量.總之，研究遠(yuǎn)程制備過程中經(jīng)典信息損耗是量子通信復(fù)雜性研究的基本內(nèi)容. 遠(yuǎn)程態(tài)制備作為一個(gè)新興的課題，從其提出就受到了各國學(xué)者的重視，在理論和實(shí)驗(yàn)上均取得了一定的進(jìn)展.在理論上，許多方案被提出，例如：混合態(tài)的遠(yuǎn)程制備，高維的遠(yuǎn)程態(tài)制備, 推廣的遠(yuǎn)程態(tài)制備，多方的遠(yuǎn)程態(tài)制備, 連續(xù)變量的遠(yuǎn)程態(tài)制備，兩粒子量子態(tài)對(duì)的遠(yuǎn)程態(tài)制備，利用POVM測量的遠(yuǎn)

42、程態(tài)制備等.同時(shí)，在實(shí)驗(yàn)上對(duì)遠(yuǎn)程態(tài)制備的研究也取得了一定的進(jìn)展.Peng等人用核磁共振的方法首先在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)了遠(yuǎn)程態(tài)制備方案，同時(shí)該小組運(yùn)用NMR實(shí)驗(yàn)成功的演示了對(duì)任意的量子比特的遠(yuǎn)程測量方案.Peters等人以自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換產(chǎn)生的偏振光子作為量子信息載體實(shí)現(xiàn)了對(duì)任意單量子比特的遠(yuǎn)程制備.Mikami等利用雙光子極化態(tài)在全光學(xué)系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)了實(shí)現(xiàn)了一個(gè)任意三維量子比特純態(tài)的遠(yuǎn)程制備.  第三章 量子態(tài)的聯(lián)合遠(yuǎn)程制備 3.1本章概述及結(jié)構(gòu) 設(shè)Alice，Bob和Charlie為分離的三方.本章將簡單介紹以下被稱為聯(lián)合遠(yuǎn)程制備（JRSP）的過程.假設(shè)Alice和Bob獨(dú)立地分享了一個(gè)秘密量子

43、比特，他們沒有人能單獨(dú)完整給出此態(tài).問題是：“他們?nèi)绾温?lián)合幫助Charlie遠(yuǎn)程制備此量子比特態(tài)？”文獻(xiàn)[12]中提出了兩個(gè)方案.方案1（見3.2.1）選擇一個(gè)單格林伯格-霍納-蔡林格（GHZ）態(tài)作為量子信道.可以注意到文獻(xiàn)[13]中提出了與文獻(xiàn)[12]方案1相似的方案，但它們有著不一樣的歸一化過程.在方案1的第二部分將闡述這個(gè)精細(xì)的差別.3.2.2的兩部分討論了第2個(gè)方案，其量子信道由一對(duì)EPR態(tài)構(gòu)成.我們也引用了關(guān)于這兩個(gè)方案在量子信道是最大糾纏和非最大糾纏的情況下的討論.本章最后的3.3中則給出了關(guān)于經(jīng)典資源的需求、控制的討論及關(guān)于方案的可行性的考慮. 3.2聯(lián)合遠(yuǎn)程制備的具體方案

44、 3.2.1方案1 部分一 為明確起見，首先考慮制備如下形式的量子比特 其中，是實(shí)參數(shù)而，是計(jì)算機(jī)基下量子比特的特征矢量.如果Alice（Bob）知道和的值，則她（他）能按文獻(xiàn)[7]中的方案幫助Charlie遠(yuǎn)程制備初始態(tài).一個(gè)有趣的情況是，為了保密，態(tài)的信息被分成兩部分給予Alice和Bob.此時(shí)，他們無法單獨(dú)完整給出初始態(tài).比方說，Alice僅僅知道的值而Bob僅知道的值.于是，隱形傳態(tài)和原始的RSP此時(shí)都不能完成傳遞態(tài)的任務(wù).當(dāng)然，如果Alice和Bob可以相互交換信息，情況就變得很簡單了.然而，請(qǐng)記住，他們是在空間上分隔很遠(yuǎn)的兩個(gè)節(jié)點(diǎn).現(xiàn)在，問題是：“他們?nèi)绾蝺H通過LOC

45、C聯(lián)合幫助Charlie遠(yuǎn)程制備初始態(tài)呢？”這里引用的首個(gè)JRSP方案[12]使用了一個(gè)如下形式的單GHZ態(tài) 其中，量子比特A（B，C）屬于Alice（Bob，Charlie）.這里成立如下關(guān)系，.系數(shù)和為實(shí)數(shù)并滿足歸一化條件.不是一般性地可以設(shè).情況對(duì)應(yīng)于最大（非最大）糾纏態(tài). 本方案中Alice和Bob需在適當(dāng)?shù)幕咨蠈?duì)她/他的量子比特進(jìn)行一次vNM.Alice的測量基是，它與計(jì)算機(jī)基底的關(guān)系為 由于Alice知道系數(shù)故而可以使用基底.而Bob知道系數(shù)，故其測量基選為.其與的關(guān)系為 在基底和下量子信道可表達(dá)為 其中，，及，即眾所周知的泡利矩陣.如果量子信

46、道是最大糾纏的（即），則方程可簡化為 其中是態(tài)的補(bǔ).自方程可知，總的JRSP成功概率為：其中四分之一來自于Alice-Bob的結(jié)果為的情形（即方程中的第二項(xiàng)，而另外四分之一自于Alice-Bob的測量結(jié)果為的情形（方程的最后一項(xiàng)））.對(duì)于前者（后者）Charlie需對(duì)他的量子比特C實(shí)施操作才能將其轉(zhuǎn)化為所需的態(tài)（?？赡艽嬖诘念~外全局相因子）. 另一方面，由方程如果量子信道不處于最大糾纏態(tài)（即有），則對(duì)于測量結(jié)果或，量子比特C坍縮入態(tài)（未歸一化） 或 在對(duì)量子比特C執(zhí)行操作或后，Charlie仍需額外的操作.即，Charlie引入初始態(tài)為的輔助量子比

47、特并讓C及通過雙比特門，再測量.在基底下可以表達(dá)為 它可以分解為兩個(gè)控制非門（CNOTs）操作和一個(gè)控制旋轉(zhuǎn)門（CROT）操作 圖1.門分解為兩個(gè)CNOTs和一個(gè)CROT. 其中實(shí)心圓為控制量子比特 如圖1所示.方程中對(duì)雙比特態(tài)的操作和暗示了 其中而表示相加后取對(duì)2的模. 這里是單位操作，且有 其中有，表達(dá)了一個(gè)在二維希爾伯特空間中的正規(guī)轉(zhuǎn)動(dòng). 由于 當(dāng)Charlie的測量結(jié)果為時(shí)JRSP成功，其概率為（如果Charlie的結(jié)果為，則方案失?。?故而非最大糾纏信道下總的成功概率為. 部分二 現(xiàn)在來考慮更為一般的量子比特制備，其形

48、式如下 其中x為實(shí)數(shù)而y為非零復(fù)參數(shù)并滿足歸一化條件 并有 這里、是實(shí)數(shù)，b、d是非零復(fù)系數(shù).態(tài)的完整的經(jīng)典信息獨(dú)立地被Alice和Bob以如下方式分享：Alice僅知道系數(shù)、b（Bob不知道），c、d則只被Bob知曉.文獻(xiàn)[13]中處理的便是這種情況，其中還假設(shè)了 不幸的是，條件加上、會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤.實(shí)際上，自方程至可推得 或 由于和都為非零正數(shù)，根據(jù)方程和就要求必定大于1.但是，此時(shí)沒有任何相應(yīng)的d能滿足條件.同樣地，由于和是非零正數(shù)，自方程和有必定大于1.這樣就沒有任何滿足條件的b存在.故而真正能依靠的只能是條件和. 為了幫

49、助Charlie遠(yuǎn)程制備態(tài)，Alice在基底下對(duì)量子比特A執(zhí)行一次vNM： 由于Alice知道a和b的值，故她可以完成如此操作.對(duì)于Bob，他將在基上對(duì)量子比特B實(shí)施一次vNM： Bob可以完成操作是因?yàn)樗纁和d的值. 借助和我們將量子信道寫為 對(duì)于時(shí)上式簡化為 由方程，顯然，當(dāng)Alice的測量結(jié)果為且Bob的結(jié)果為（這樣的結(jié)果出現(xiàn)的概率為）Charlie可以通過對(duì)C實(shí)施操作得到所需的態(tài).特別地，當(dāng)，，及時(shí)，容易看出方程的最后兩項(xiàng)都對(duì)應(yīng)著遠(yuǎn)程制備成功的情形.總的成功概率為. 而當(dāng)（見方程）時(shí)，可以應(yīng)用文獻(xiàn)[13]中的技巧計(jì)算，其成功概率為.這是理所

50、應(yīng)當(dāng)?shù)?，因?yàn)橛芍坝懻撚? 3.2.2方案2 部分一 在上小節(jié)所描述的方案1中，產(chǎn)生GHZ態(tài)可能是一個(gè)難點(diǎn).技術(shù)上說，生成多方糾纏態(tài)總是比生成雙方糾纏態(tài)要困難的.于是，我們就要問：“JRSP是否能只通過雙方的糾纏態(tài)來實(shí)現(xiàn)呢？”答案是肯定的，而且在本小節(jié)中就將展示一個(gè)新的使用EPR對(duì)作為量子信道的JRSP方案. 令A(yù)lice（Bob）和Charlie分享了一個(gè)EPR態(tài)，形式如下 量子比特A（B）屬于Alice（Bob）.量子比特和屬于Charlie.這里同樣假設(shè)為實(shí)歸一化系數(shù)：.當(dāng)時(shí)，EPR處于最大糾纏態(tài)，而當(dāng)時(shí)其處于非最大糾纏態(tài). 為遠(yuǎn)程制備態(tài)，于方案1相似，Ali

51、ce和Bob同樣分別以和為基底測量她/他的量子比特.在基底和下量子信道和可表達(dá)為 從方程中可以看出，無論Alice和Bob的測量結(jié)果是什么，Charlie的量子比特和都不能經(jīng)由基本操作轉(zhuǎn)換到所需的態(tài)上.幸運(yùn)的是，Charlie可以對(duì)其量子比特、采取進(jìn)一步的操作CONT，并測量.在的作用下方程變?yōu)? 其中和只對(duì)量子比特作用. 首先考慮最大糾纏態(tài)時(shí)的情形，即.此時(shí)方程化簡為 很明顯，如果Alice，Bob和Charlie的測量結(jié)果分別為，，或，每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性均為.此時(shí)，量子比特可以通過基本操作U被轉(zhuǎn)換到態(tài)（至多差一個(gè)不重要的全局相因子）.其中或.于是，JRSP總的

52、成功概率為. 接下來，我們考慮非最大糾纏態(tài)量子信道的情形,即.從方程可以看出，只要Alice，Bob和Charlie的測量結(jié)果為或時(shí)，量子比特的態(tài)都將以的概率坍縮為或在被作用后轉(zhuǎn)換為.然而，當(dāng)測量結(jié)果為或時(shí)，將會(huì)轉(zhuǎn)化到態(tài)（未歸一化） 或 這并非方案希望得到的態(tài).此處可以引用方案1中的辦法，即Charlie首先對(duì)執(zhí)行或操作使其轉(zhuǎn)換到態(tài).接著，Charlie引入處于態(tài)的輔助量子比特，并使和通過雙比特門，再對(duì)量子比特進(jìn)行測量.可以被表達(dá)為 這是基底下的表達(dá).門可以以與相似的方式構(gòu)造，即.兩者不同點(diǎn)是，現(xiàn)在還有. 由于 當(dāng)Charlie對(duì)的測量結(jié)果為時(shí)，量子比特以的

53、概率坍縮為.于是，方案2總在非最大糾纏量子信道情況下的成功概率為. 部分二 為了遠(yuǎn)程制備態(tài)，和方案1中一樣，Alice和Bob先以基底和測量他們分別的量子比特.在基底和下，可寫為 對(duì)于的情形，上式可化簡為 自方程知，如果Alice、Bob和Charlie的測量結(jié)果為，此事件發(fā)生的概率為，則應(yīng)由操作可將量子比特轉(zhuǎn)換到態(tài).特別地，當(dāng)和時(shí)，對(duì)于所有的結(jié)果，，，和，Charlie都能獲得初始態(tài).總的成功概率為. 對(duì)于情況，由方程（37）知道，只要測量結(jié)果為，量子比特將別投影到態(tài)（未經(jīng)歸一化）：上.Charlie對(duì)執(zhí)行操作，再（見方程、）引入輔助粒子并應(yīng)用門操作以獲得態(tài).此時(shí)，

54、成功概率為. 3.3方案的討論與評(píng)價(jià) 眾所周知，在任何方案中經(jīng)典通信都扮演了重要角色.實(shí)際上，離開了經(jīng)典通信的幫助，單憑量子信道是無法完成任務(wù)的.在先前引用的每一個(gè)方案中，為了幫助Charlie完成遠(yuǎn)程制備都需要消耗2cbits僅當(dāng)資源（每一個(gè)分別傳遞Alice和Bob的測量結(jié)果）.在一些情況下，這些cbits甚至可以用來引導(dǎo)Charlie的操作.這里將就此以方程中的態(tài)為例給出說明.設(shè)Alice的測量結(jié)果用下式表示：，其對(duì)應(yīng)于結(jié)果；對(duì)應(yīng)Bob的結(jié)果類似有，其對(duì)應(yīng)于結(jié)果.對(duì)于Charlie同樣有，對(duì)于結(jié)果.這樣在方案1中，結(jié)果表示制備失?。▽?duì)于最大和非最大糾纏態(tài)），而意味著對(duì)于最大糾纏態(tài)

55、量子信道情形下的確定的成功制備和在非最大糾纏態(tài)量子信道情形下的一定概率的成功制備（此時(shí)需引入輔助粒子）.參數(shù)則代表著正確的修正操作，即，.在方案2中，表示著制備失敗（對(duì)所有兩種情形而言），則代表了對(duì)于最大糾纏態(tài)量子信道情形下的確定的成功制備和在非最大糾纏態(tài)量子信道情形下的一定概率的成功制備（在后面的情形中可以注意到，的值還可包含額外的信息，即表示需要輔助粒子，表示不需要）.可用了標(biāo)記正確的修正操作：. 上面所提到的失敗（如方案1中的）意味著在Charlie方聯(lián)合制備態(tài)是不可能的.但從方程和方程中可以看出，在這些失敗的情形下，我們?nèi)耘f可以制備初始態(tài)的正交態(tài)，即.如果Charlie的目的僅僅是模

56、擬測量統(tǒng)計(jì)，那么，在最大糾纏量子信道下，他總能達(dá)到目的（對(duì)于非最大糾纏量子信道其成功概率為）.因?yàn)楫?dāng)Charlie的測量結(jié)果為態(tài)時(shí)，他總能適當(dāng)?shù)馗淖兯臏y量儀器.如此看來JRSP中那些制備失敗的情形也并非毫無用處.此外，當(dāng)量子信道為最大糾纏時(shí)，方案不需要引入輔助粒子.對(duì)于輔助粒子的需求是依賴于方案的選擇的：方案1中總是需要引入輔助粒子的；而方案2中，在某些情況下，是不需要輔助粒子的.方案2在量子資源的選擇上是有優(yōu)勢(shì)的，因?yàn)槠渲皇褂昧薊PR態(tài).但其在操作上比較麻煩，即要求Charlie執(zhí)行CNOT操作. 對(duì)于可行性，這里強(qiáng)調(diào)只有在以下三個(gè)條件都滿足的情況下之前的方案才能被實(shí)現(xiàn)：（I）參與的各方

57、成功地分享了糾纏態(tài)或至，（II）發(fā)送方需擁有完美的vNM測量裝置而Charlie需擁有完美地完成雙量子比特門操作的能力，（III）在接受到Alice和Bob的測量結(jié)果前，Charlie需擁有適當(dāng)裝置儲(chǔ)存他的量子比特.條件（I）關(guān)注的是方案執(zhí)行前的準(zhǔn)備過程.由于在分配糾纏量子比特的過程中會(huì)受到信息丟失和退相干的影響，這對(duì)實(shí)際的操作有很高的要求.一般來說，為了實(shí)現(xiàn)條件（I）需要應(yīng)用糾纏蒸餾過程.這已經(jīng)超出本文的討論范圍.與其他類似的文獻(xiàn)相似，我們引用的方案開始時(shí)就假設(shè)態(tài)或至已經(jīng)被成功分享了.條件（II）是一個(gè)理想條件.因?yàn)樵诹孔颖忍販y量和門操作中都會(huì)出現(xiàn)誤差.這樣，制備的態(tài)就不會(huì)是完整精確的.但，

58、對(duì)于某些情形，借助糾錯(cuò)過程我們能得到十分接近所需態(tài)的結(jié)果.對(duì)這個(gè)問題，本文中也沒給予討論.條件（III）是不可避免的，因?yàn)椴淮嬖诔馑傩盘?hào).這個(gè)條件在其他的全局量子操作，如隱形傳態(tài)、RSP，中也是必須被滿足的.  第四章 聯(lián)合概率遠(yuǎn)程制備多粒子GHZ態(tài) 4.1本章概述及結(jié)構(gòu) 以上我們引述了遠(yuǎn)程制備一個(gè)單量子比特態(tài)的方案，其中兩個(gè)分離的發(fā)送方分享了初始態(tài)的經(jīng)典信息.其中，接收方在兩個(gè)發(fā)送方都執(zhí)行了vNM時(shí)可以獲得所需的態(tài).但是，此方案只考慮了遠(yuǎn)程制備單粒子態(tài)且參與方只有三個(gè)，接下來我們進(jìn)一步考慮多發(fā)送方聯(lián)合遠(yuǎn)程制備多粒子GHZ態(tài).在下面的內(nèi)容中，我們將展示如何通過N粒子投影測量和vNM

59、達(dá)到遠(yuǎn)程制備初始態(tài)的目的. 本章的結(jié)構(gòu)如下：在4.2.1中，我們提出一個(gè)三方聯(lián)合遠(yuǎn)程制備兩粒子糾纏態(tài)的方案.其中，三個(gè)部分糾纏的雙粒子態(tài)被選作量子信道.4.2.2中則展示了一個(gè)基于糾纏交換的雙方遠(yuǎn)程制備多粒子GHZ態(tài)的方案.多方聯(lián)合制備的情形被放在4.2.3中討論.最后，在4.3中我們對(duì)本方案做出適當(dāng)討論. 4.2具體方案 4.2.1雙粒子糾纏態(tài)的聯(lián)合遠(yuǎn)程制備 為簡單起見，我們先展示一個(gè)三方遠(yuǎn)程制備兩粒子糾纏態(tài)的方案[14].設(shè)三方為和.其中和分享了初始態(tài)且愿意幫助Bob遠(yuǎn)程制備此雙粒子糾纏態(tài) 其中為實(shí)數(shù)而是復(fù)數(shù)且滿足和，和為實(shí)數(shù)，和為復(fù)數(shù).假設(shè)和都只部分地知道初始態(tài)，即知道

60、和，知道系數(shù)和.和分享的信道為三對(duì)非最大EPR態(tài) 其中所以系數(shù)都是非零實(shí)數(shù)且滿足和.令粒子1,3和5屬于，粒子2屬于而Bob擁有粒子4和6.為了幫助Bob遠(yuǎn)程制備初始態(tài)，在以下正交矢量基上對(duì)粒子1,3和5執(zhí)行一個(gè)三粒子投影測量 這八個(gè)非最大糾纏態(tài)以計(jì)算基矢量表示出的，它們構(gòu)成了一組八維希爾伯特空間中的完備正交基.由于這些系數(shù)無法滿足和，以上的測量基必須被歸一化.綜上，被和分享的非最大EPR對(duì)可以被寫為 其中.明顯地，在完成測量后，初始態(tài)將會(huì)以一定的概率投影到廣義測量基上并發(fā)生糾纏交換過程.例如，當(dāng)?shù)慕Y(jié)果為時(shí)（獲得此結(jié)果的概率為.此時(shí)，粒子2,4和6將會(huì)坍縮入態(tài)

61、 接著她通過經(jīng)典信道通知Bob她的測量結(jié)果.為了幫助Bob制備初始態(tài)，需在基底上對(duì)其粒子2進(jìn)行vNM.上述基底在計(jì)算機(jī)基矢量下可表示為 這樣，我們能得到 其中.完成測量后，粒子2的狀態(tài)會(huì)投影到廣義測量基上.如果的結(jié)果為，Bob會(huì)得到態(tài) 由于Bob對(duì)這些態(tài)一無所知，他無法找到一個(gè)幺正操作將上態(tài)轉(zhuǎn)換到初始態(tài)，RSP失敗.如果的結(jié)果為，據(jù)此Bob知道他的粒子4和6會(huì)坍縮入態(tài) 現(xiàn)在，我們來看如何通過以上方程制備初始態(tài).首先，Bob需建立系數(shù)和與態(tài)和間的對(duì)應(yīng).為此，Bob對(duì)其粒子4和6執(zhí)行幺正變換，其中和是泡利算子和單位算子.此幺正操作將態(tài)轉(zhuǎn)換為

62、 然后，Bob引入一初始態(tài)為的雙能級(jí)輔助粒子C并對(duì)其和粒子4,6實(shí)施幺正操作.在基下，操作可表示為矩陣 在執(zhí)行完幺正操作后，方程中描述的聯(lián)合初始態(tài)被轉(zhuǎn)換為 最后，Bob測量粒子C的狀態(tài).如果結(jié)果為則RSP失敗.若測量結(jié)果為，Bob就可以重建初始態(tài).測量結(jié)果是的概率由下式給出：.所以RSP成功的概率為 同樣的，如果的測量結(jié)果為且的測量結(jié)果為時(shí)，Bob也能以一定概率獲得初始態(tài).每種情況的成功概率都為.當(dāng)然，也可能得到結(jié)果.此時(shí)無論的結(jié)果如何，Bob都無法得到初始態(tài).故而，RSP總的成功概率為. 經(jīng)典信息損耗在RSP中扮演著重要角色.我們的RSP方案中包含了兩種經(jīng)典通信過

63、程.一個(gè)是由發(fā)送給Bob的經(jīng)典信息（）另一個(gè)是發(fā)送給Bob的經(jīng)典信息（）.在第一個(gè)經(jīng)典通信過程中，如果的結(jié)果為，則她無需通知Bob她的測量結(jié)果.另一方面，經(jīng)過三粒子投影測量，可獲得四種有用的結(jié)果，每種的概率分別為： 表1.對(duì)應(yīng)于測量結(jié)果的測量結(jié)果的概率 的結(jié)果 態(tài)出現(xiàn)的概率 態(tài)出現(xiàn)的概率 因此，此過程中的經(jīng)典信息為 在第二個(gè)過程中，在執(zhí)行vNM后，會(huì)產(chǎn)生兩種可能的結(jié)果，即態(tài)或.對(duì)應(yīng)于的結(jié)果，的到各結(jié)果的概率在表1中給出.類似的，如果的測量結(jié)果為，RSP失敗.此時(shí)，無需向Bob發(fā)送經(jīng)典信息.故而對(duì)經(jīng)典信息的總需求為

64、 所以，在三方聯(lián)合進(jìn)行雙量子比特糾纏態(tài)的概率遠(yuǎn)程制備過程中所需的總經(jīng)典信息為 明顯的，經(jīng)典信息的消耗不僅與量子信道的系數(shù)有關(guān)，還依賴于初始態(tài).如果量子信道由三個(gè)EPR對(duì)（，，）組成，則RSP成功的總概率為,過程中總的經(jīng)典信息損耗將為比特. 4.2.2多粒子GHZ態(tài)的雙方聯(lián)合遠(yuǎn)程制備 現(xiàn)在，我們將之前的方案推廣到M方聯(lián)合遠(yuǎn)程制備多粒子GHZ態(tài)的情況.首先，我們考慮兩方分享初始態(tài)的情形.假設(shè)發(fā)送方為和，她們?cè)敢鈳椭邮辗紹ob遠(yuǎn)程制備多粒子GHZ態(tài) 其中，是實(shí)數(shù)，是復(fù)數(shù)，且滿足以及 與第2節(jié)中相似，這里，知道和，知道系數(shù)和.其中，和為實(shí)數(shù)，和為復(fù)數(shù).假

65、設(shè)，和Charlie分享了對(duì)非最大糾纏態(tài)，其形式如下 其中和為非零實(shí)數(shù)，滿足.擁有粒子，粒子屬于，而Bob擁有粒子.為遠(yuǎn)程制備方程描述的態(tài)，發(fā)送方對(duì)其粒子實(shí)施粒子投影測量，基底為 其中.而和是一對(duì)第j個(gè)粒子的正交態(tài)，其中符合是個(gè)二元變量，它的補(bǔ).為簡單起見，一個(gè)十進(jìn)制的可被定義為 這樣，就可以用一組二元數(shù)表達(dá)出來且我們有.為達(dá)目的，對(duì)其粒子執(zhí)行馮諾依曼測量，其基底為 其中.此時(shí)對(duì)非最大糾纏態(tài)粒子對(duì)可被寫為 這里 我們定義 測量之后，她們通過經(jīng)典信道通知Bob其結(jié)果.例如，的測量結(jié)果為而的結(jié)果為.此時(shí)，由

66、方程Bob處粒子的狀態(tài)為 其中 為了重建中的初始態(tài)，Bob需要執(zhí)行一些適當(dāng)?shù)牟僮?首先，他需分別建立系數(shù)和與態(tài)和間的關(guān)系.有方程，Bob對(duì)粒子執(zhí)行幺正操作.其將態(tài)轉(zhuǎn)換為 接著，Bob引進(jìn)初態(tài)為的雙能級(jí)輔助粒子并對(duì)其及原有粒子在基底實(shí)施另一幺正操作.如果我們?cè)O(shè)以及，則幺正操作可被表示成如下矩陣 它將方程中的態(tài)轉(zhuǎn)換為 最后，Bob測量輔助粒子C的狀態(tài).當(dāng)結(jié)果為時(shí)方案成功，其概率為.而當(dāng)?shù)臏y量結(jié)果不是時(shí)，Bob的粒子將會(huì)坍縮進(jìn)由方程至描述的態(tài)中.由于Bob對(duì)態(tài)一無所知，他將無法將其轉(zhuǎn)換到初始態(tài)，這意味RSP失敗.由此，RSP總的成功概率為.此方案中的經(jīng)典信息消耗可以用第2節(jié)中的方法算出. 4.2.3多方聯(lián)合制備多粒子GHZ態(tài)方案 我們的方案還可以被擴(kuò)展至多方聯(lián)合制備的方案.設(shè)M個(gè)發(fā)送方分享由方程描述的初始態(tài).分別知道初始態(tài)的部分信息且她們希望幫助接收方Bob遠(yuǎn)程制備此態(tài).其中，知道和，知道和知曉和，且有和.為實(shí)數(shù)，為復(fù)數(shù).M個(gè)發(fā)送方及Bob分享的量子信道由個(gè)非最大雙粒子糾纏態(tài)組成.類似地，我們令粒子屬于，而擁有粒子擁有粒子.粒子屬于接