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1、 本科畢業(yè)論文 題目： 對(duì)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)與感生電動(dòng)勢(shì)的探究 學(xué)院： 物理與電子科學(xué)學(xué)院 班級(jí)： XX級(jí)物理X班 姓名： XXX 指導(dǎo)教師： XXX 職稱： XXX 完成日期： XXXX 年 X 月 X 日 11 對(duì)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)與感生電動(dòng)勢(shì)的探究

2、 XXX (XXXX大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院，XXXX XXXXX) 摘要:本文主要用變限積分函數(shù)求導(dǎo)法、通量法則和電動(dòng)力學(xué)方法，通過對(duì)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的形成進(jìn)行了探究，證明了當(dāng)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)和感生電動(dòng)勢(shì)同時(shí)存在時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)等于動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)和感生電動(dòng)勢(shì)之和，其中動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)和感生電動(dòng)勢(shì)沒有交叉項(xiàng)，它們是相互獨(dú)立的。 關(guān)鍵詞: 動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)；感生電動(dòng)勢(shì)；變限積分函數(shù)；通量法則；電動(dòng)力學(xué)方法 目錄 引言： 1 1 對(duì)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)與感生電動(dòng)勢(shì)的簡(jiǎn)單介紹 1 1.1 動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的來由及大小 1

3、1.2感生電動(dòng)勢(shì)的來由及大小 3 2 變限函數(shù)求導(dǎo)法 5 3 電動(dòng)力學(xué)方法 7 4 通量法則方法 8 結(jié)語(yǔ) 9 致謝 10 參考文獻(xiàn) 10 引言： 電磁感應(yīng)一章是電磁學(xué)中的重要內(nèi)容，但在學(xué)習(xí)的過程中有許多容易混淆和疑惑的問題，如感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)看似是一個(gè)非常簡(jiǎn)單的概念，根據(jù)楞次定律的法拉第定律表達(dá)式我們可以很容易的得到感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。大家知道: 當(dāng)穿過導(dǎo)體回路的磁通量發(fā)生變化時(shí), 回路中就產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。按照磁通量變化原因的不同, 又有兩種情形: 一種是動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)：磁場(chǎng)不隨時(shí)間變化，而閉合回路的整體或局部在運(yùn)動(dòng)中所產(chǎn)生的

4、感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)；另一種為感生電動(dòng)勢(shì)：閉合電路的任意一部分都不動(dòng)而磁場(chǎng)隨時(shí)間變化所產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。但是在一些復(fù)雜的問題中，如動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)與感生電動(dòng)勢(shì)同時(shí)存在時(shí)，很多人可能就會(huì)迷惑，有太多的不確定，一時(shí)下不了手。就比如說，能不能單獨(dú)把感生電動(dòng)勢(shì)和動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)先算出來，然后再進(jìn)行簡(jiǎn)單的相加呢？為了使更多的同學(xué)們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)中可以大膽的毫無顧忌的使用這一結(jié)論。本文就是通過用積分變量函數(shù)求導(dǎo)法、通量法則和電動(dòng)力學(xué)方法，對(duì)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的形成進(jìn)行了深入的探究，證明了感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)和感生電動(dòng)勢(shì)之和，其中動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)和感生電動(dòng)勢(shì)沒有交叉項(xiàng)，它們是相互獨(dú)立的。 1 對(duì)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)與感生電動(dòng)勢(shì)的簡(jiǎn)單介紹 法拉第定律

5、說明，只要閉合電路的磁通有變化就有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，不問這種變化起于什么原因。按照磁通量變化原因的不同, 又有兩種情形: 一種是動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)：磁場(chǎng)不隨時(shí)間變化，而閉合回路的整體或局部在運(yùn)動(dòng)中所產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)；另一種為感生電動(dòng)勢(shì)：閉合電路的任意一部分都不動(dòng)而磁場(chǎng)隨時(shí)間變化所產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。 1.1 動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的來由及大小 如下圖1所示，一段直導(dǎo)線放在矩形導(dǎo)軌上，直導(dǎo)線與導(dǎo)軌保持良好接觸，勻強(qiáng)磁場(chǎng)B垂直向里穿過導(dǎo)軌。直導(dǎo)線相對(duì)于導(dǎo)軌以速度向右沿AD方向運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)體棒內(nèi)每個(gè)自由電子也就具有隨棒一起運(yùn)動(dòng)的速度,因而每一個(gè)自由電子都受到洛倫磁力

6、 （1） 圖1 直導(dǎo)線在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng) 的作用, 這里- e為自由電子的電量, 由右手螺旋定則可知,導(dǎo)線中電子向下運(yùn)動(dòng) ,在水平方向上不做功.但在洛倫茲力的作用下, 電子相對(duì)于棒以速度沿著導(dǎo)體棒由D向C運(yùn)動(dòng),的方向與的方向相同, 對(duì)自由電子做了正功.自由電子在C端聚積,使C端帶負(fù)電,而D端則出現(xiàn)了過剩的正電荷,D端電勢(shì)高于C端電勢(shì), 建立起由D端指向C端的靜電場(chǎng)E,該靜電場(chǎng)又使電子受到電場(chǎng)力，方向由C端指向D端,與方向相反,隨著棒兩端電荷增多,靜電場(chǎng)逐漸增強(qiáng),也逐漸增大,當(dāng)時(shí),

7、就達(dá)到了平衡狀態(tài),D、C兩端之間有穩(wěn)定的電勢(shì)差,運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)體棒就相當(dāng)于一個(gè)電源,D端為正極,C端為負(fù)極,D、C兩端之間的電勢(shì)差就是電源的電動(dòng)勢(shì),此電動(dòng)勢(shì)是由于導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的,因而稱為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。 我們可以判定，導(dǎo)線中電子向下運(yùn)動(dòng)的速度為，電子在向下運(yùn)動(dòng)的同時(shí)也要隨導(dǎo)體棒向右運(yùn)動(dòng)，因此電子運(yùn)動(dòng)的合速度為 （2） 若與速度對(duì)應(yīng)的洛倫茲力為,方向沿直導(dǎo)線向下。與對(duì)應(yīng)的洛倫茲力為，方向垂直導(dǎo)線向左。則總的洛倫茲力為

8、 （3） 下面來計(jì)算直導(dǎo)線中的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì).非靜電力： （4） 對(duì)應(yīng)的非靜電場(chǎng)： （5） 由此可得，直導(dǎo)線中的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為： （6） 在上式中，因?yàn)樗俣确较驗(yàn)檠刂鴮?dǎo)線方向向下,()的方向總是垂直于,所以(6)式中的第2項(xiàng)積分值應(yīng)為0,即： （7） 將(7)式代入(6)式得: （8） 通過上面的推導(dǎo)我們得出了直導(dǎo)線中產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為 （9

9、） 通過上式我們可以看到動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的大小只與導(dǎo)線的運(yùn)動(dòng)速度有關(guān),而與電子沿導(dǎo)線方向向下運(yùn)動(dòng)的速度無關(guān)。 由于總洛倫茲力與受力電荷的總速度垂直，即在動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的產(chǎn)生過程中洛倫茲力并沒有做功。從上面的討論我們可以看到，與導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)速度對(duì)應(yīng)的洛倫茲力分力方向豎直向下。力對(duì)電子做正功,并使電子沿導(dǎo)線作定向運(yùn)動(dòng),其定向運(yùn)動(dòng)速度為,從而可以看出：是力做功產(chǎn)生了動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，即力為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)產(chǎn)生的原因。而與電子在導(dǎo)線中的運(yùn)動(dòng)速度對(duì)應(yīng)的洛倫茲力對(duì)電子做負(fù)功,我們可以判斷出：力處處與導(dǎo)線垂直，所以導(dǎo)線中所有電子受到的力之合力在宏觀上表現(xiàn)為導(dǎo)線所受的安培力,它對(duì)電子沿導(dǎo)線的運(yùn)動(dòng)不起作用，即對(duì)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的產(chǎn)生沒有

10、貢獻(xiàn)。所以,雖然洛倫茲力對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷不做功,但是其分力是可以做功的，而這正好就是動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)產(chǎn)生的原因。 1.2感生電動(dòng)勢(shì)的來由及大小 當(dāng)線圈不動(dòng)而磁場(chǎng)隨時(shí)間變化時(shí)，線圈的磁通也會(huì)變化，由此引起的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)叫做感生電動(dòng)勢(shì)。根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律： （10） 感生電動(dòng)勢(shì)是由變化的磁場(chǎng)本身引起的。變化的磁場(chǎng)在其周圍也會(huì)激發(fā)一種電場(chǎng), 叫做感應(yīng)電場(chǎng)或渦旋電場(chǎng)。產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì)的非靜電力正是這一渦旋電場(chǎng)。 在物理學(xué)中，一般有兩種電場(chǎng)：一種是由電荷分布按庫(kù)侖定律激發(fā)的電場(chǎng)，稱為庫(kù)侖電場(chǎng)；另一種是由時(shí)變磁場(chǎng)激發(fā)的電場(chǎng)

11、，稱為感生電場(chǎng)。一般情況下，空間中既有電荷又有時(shí)變磁場(chǎng)，因而既有庫(kù)侖電場(chǎng)，又有感生電場(chǎng)。若以、及分別代表庫(kù)侖電場(chǎng)、感生電場(chǎng)及總電場(chǎng)，那么就有 =+ （11） 現(xiàn)在討論，首先肯定一點(diǎn)，就是不可能對(duì)任意閉合曲線都為零，否則就違背法拉第定律。與動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)相應(yīng)的非靜電力是洛倫茲力，與感生電動(dòng)勢(shì)相應(yīng)的非靜電力是感生電場(chǎng)力。單位電荷在閉合電路中移動(dòng)一周時(shí)非靜電力的功等于電動(dòng)勢(shì)，故有 （12） 其中是穿過這個(gè)閉合電路的磁通，由磁通的概念的

12、 （13） （14） 上式右邊對(duì)曲面的積分和對(duì)時(shí)間的積分交換次序，即 （15） 上式就是沿任一閉曲線的環(huán)流的表達(dá)式。由此可以得到 （16） 上面我們分別對(duì)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)和感生電動(dòng)勢(shì)的由來和大小進(jìn)行了分析。我們知道了當(dāng)只有動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)或者是感生電動(dòng)勢(shì)時(shí)它們大小的計(jì)算。那么當(dāng)兩種同時(shí)存在時(shí)又該如何計(jì)算呢？下面我們將通過不同的方法對(duì)總的電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算進(jìn)行深入的討論。 2 變限函數(shù)求導(dǎo)法 法拉第定律說明，只要閉合電路的磁通有變化就有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。如圖2所示，

13、 圖2 閉合回路在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng) 設(shè)閉合回路L在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)或變形，ｔ時(shí)刻包圍的面積為．在時(shí)刻，回路所包圍的面積在磁場(chǎng)，包圍的面積的法向與的繞向滿足右手螺旋法則．則回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為 （17） 方程（17）中求極限的第一項(xiàng)可寫為 （18） 其中，是線圈運(yùn)動(dòng)和形變而變化了的面積．將上式（18）代入方程（17）后并把相同面積的積分合并，有 （19） 方程（19）中第一項(xiàng)又可寫為 （20） 方程（19）中第二項(xiàng)又可寫為

14、 （21） 將（20）和（21）代入（19）式，就可以得到 （22） 由矢量形式知，（22）的第一項(xiàng)為 由于磁場(chǎng)為無源場(chǎng)，所以上式等于0。于是感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)就變?yōu)? （23） 在閉合回路上取微元長(zhǎng)，方向與的繞行方向相同． 在時(shí)間內(nèi)掃過的面元，這里是線圈上運(yùn)動(dòng)的速度，方程（23）的第二項(xiàng)可化為 這就是動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。 當(dāng)時(shí)，方程（23）的第一項(xiàng)就為在位置處時(shí)刻的感生電動(dòng)勢(shì)。感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的表達(dá)式可化為， 如上，通過用變限積分函數(shù)求導(dǎo)的方法，論證了感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)等于感生電動(dòng)勢(shì)和動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的代數(shù)和。

15、 3 電動(dòng)力學(xué)方法 將由導(dǎo)體構(gòu)成的回路以速度在變化的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度對(duì)時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)為： （24） 由矢量恒等式： （25） 設(shè)速度，磁場(chǎng)。則 （26） 再根據(jù)速度是一個(gè)無散無旋的矢量，則有 （27） 又有磁場(chǎng)的無源性和無旋性，得 （28） 所以 （29） 所以磁場(chǎng)的全導(dǎo)數(shù)為

16、 （30） 兩邊積分得 （31） 又有 （32） 從上式可以看出，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)仍然為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)與感生電動(dòng)勢(shì)之和，并且兩項(xiàng)無交叉分別獨(dú)立。 4 通量法則方法 圖3 回路包圍的面積通過的磁通量 如圖3所示，磁場(chǎng)中假想有一閉合回路以恒速運(yùn)動(dòng)，時(shí)刻回路包圍面積，其中的方向與的繞行方向遵從右手法則。 磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量為，在時(shí)回路運(yùn)動(dòng)到，包圍面積為,磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量變?yōu)?。由法拉第?/p>

17、磁感應(yīng)定律回路產(chǎn)生的總電動(dòng)勢(shì)為 （33） 在圖中上取線元，它隨回路一起運(yùn)動(dòng)，在內(nèi)將掃過一個(gè)側(cè)面積元 （34） 為回路從到時(shí)掃過的總側(cè)面積。在這個(gè)過程中形成的閉合面 =++ （35） 1） 當(dāng)時(shí)將在時(shí)刻泰勒展開，只取一次項(xiàng)的 （36） 2） 由高斯定理的通過閉合曲面的磁通量為0 （38） 由上面討論可知磁場(chǎng)變化和回路運(yùn)動(dòng)兩個(gè)使磁通量變化

18、的因素同時(shí)存在時(shí)，二者并無相互影響?？偟母袘?yīng)電動(dòng)勢(shì)是感生電動(dòng)勢(shì)和動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)之和。兩者沒有交叉項(xiàng)，非靜電場(chǎng)強(qiáng)就是洛淪茲力場(chǎng)與渦旋電場(chǎng)之和。 結(jié)語(yǔ) 本文主要是針對(duì)當(dāng)感生電動(dòng)勢(shì)和動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)同時(shí)存在時(shí)，對(duì)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)究竟等于什么展開的討論，并且很成功的用變限積分函數(shù)求導(dǎo)法、通量法則和電動(dòng)力學(xué)方法，證明了當(dāng)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)和感生電動(dòng)勢(shì)同時(shí)存在時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)等于動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)和感生電動(dòng)勢(shì)之和，其中動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)和感生電動(dòng)勢(shì)沒有交叉項(xiàng)，它們是相互獨(dú)立的。這為很多學(xué)生消除了迷惑，使在今后的學(xué)習(xí)中可以毫無顧忌的大膽的運(yùn)用這一結(jié)論。 致謝 在本論文的完成過程中XXX老師對(duì)我進(jìn)行了熱情細(xì)致的指導(dǎo)，在此謹(jǐn)致謝意。 參考文獻(xiàn)

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