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1、 本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 題 目： Jensen不等式的推廣 院（系）專(zhuān)業(yè)： 數(shù)學(xué)系（數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)） 學(xué)生姓名： 馮德文 學(xué) 號(hào)： 2003701107 導(dǎo)師（職稱(chēng)）： 楊慧章 (助教) 日 期： 2012年6月 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì)) 摘 要 凸函數(shù)是一種性質(zhì)特殊的函數(shù)，而凸函數(shù)的Jensen 不等

2、式是一個(gè)很重要的不等式，由它可推出一系列不等式，而凸函數(shù)的構(gòu)造也有其妙處。為使其更廣泛應(yīng)用于不等式的證明，本文利用凸函數(shù)的性質(zhì)對(duì)Jensen不等式進(jìn)行了推廣，得到幾個(gè)重要的積分不等式并進(jìn)行了證明。 關(guān)鍵詞：凸函數(shù) ； 積分 Abstract The convex function is one function with special properties, but the Jensen inequality of convex function is a very important inequali

3、ty. According to the function, we can evolve a series of inequalities, and use it more easily to prove some important inequalities, but the convex function structures also have their advantages, In order to make good use of proving inequalities widely, in this paper, we use the properties of convex

4、function to expand the Jensen inequality, obtain several important integral inequalities and give the proof of them. Key word：Convex Function；Integral II 目 錄 緒論 1 1 預(yù)備知識(shí) 2 1.1 凸函數(shù) 2 1.2 Jensen不等式 2 2 Jensen不等式的推廣 4 2.1 積分型Jensen不等式 4 2.2 其它積分不等式 5 2.3 應(yīng)用 8 結(jié)論 10 感謝信 11 參

5、考文獻(xiàn) 12 緒論 緒 論 不等式是研究分析數(shù)學(xué)的重要工具，在高等數(shù)學(xué)中我們要用到各種形式的不等式。本文主要利用凸函數(shù)的定義及性質(zhì)去證明不等式。其關(guān)鍵是尋找合適的凸函數(shù),若不能直接找出,則對(duì)不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?從而達(dá)到證明不等式的目的。 本文內(nèi)容安排如下： 第一章 預(yù)備知識(shí)。先介紹凸函數(shù)的定義及充要條件，再給出凸函數(shù)的Jensen不等式及其證明。 第二章 Jensen不等式的推廣。先利用凸函數(shù)的定義及性質(zhì)把前一章給出的Jensen不等式推廣到積分形式，并給出證明。再由前章給出的知識(shí)以及積分型的Jensen不等式推出幾個(gè)重要積分不等式并進(jìn)行證明。最后

6、給出兩個(gè)例子介紹它們的應(yīng)用。 1 1預(yù)備知識(shí) 1 預(yù)備知識(shí) 1.1 凸函數(shù) 定義 設(shè)為定義在區(qū)間上的函數(shù)，若對(duì)上的任意兩點(diǎn)和任意實(shí)數(shù)總有 則稱(chēng)為上的凸函數(shù)。反之，如果總有 則稱(chēng)為上的凹函數(shù)。 定理1 設(shè)為上的可導(dǎo)函數(shù)，則為上的凸函數(shù)的充要條件是， 或 對(duì)上的任意兩點(diǎn)，有 1.2 Jensen不等式 定理2 (Jensen不等式) 為區(qū)間上的凸函數(shù)，則對(duì)任意，且，有 (1-1) 2 再把上式兩端分別相加，得 由 及，上式變

7、為 = = 即 注：當(dāng)時(shí)，有，則(1-1)式變?yōu)? (1-2) 3 結(jié)論 2 Jensen不等式的推廣 2.1 積分型Jensen不等式 命題1 若在區(qū)間上連續(xù)，處處2階可導(dǎo)且，則有 (2-1) 證法：把區(qū)間等分，，把代入(1-2)式，有 即 因?yàn)椋谏线B續(xù)，當(dāng)時(shí)，有

8、 所以 2.2 其它積分不等式 命題2 若在連續(xù)，，則 (2-3) 證明：設(shè)，，則，所以為凸函數(shù)。由命題1可得 即 所以 注：命題2為命題1的一般形式，相當(dāng)于命題一中的。因?yàn)闉榘己瘮?shù)，所以符號(hào)相反。 命題3 若在區(qū)間連續(xù)且，則 (2-4) 證法一：設(shè)，，則。因?yàn)?，所以，即為凸函?shù)。根據(jù)命題1有 即 結(jié)論得證。 注：命題3由

9、命題1所得，相當(dāng)于。 證法二：把 等分，分點(diǎn)為。因?yàn)樗阈g(shù)平均值大于調(diào)和平均值，所以有 = 由有 令，取極限得 結(jié)論得證。 命題5 設(shè)在連續(xù)，且則有 證：因?yàn)楹瘮?shù) 為凸函數(shù)，由Jensen不等式有 =。 = 綜上可得

10、 注：上式為均值不等式。 2.3 應(yīng)用 例1 證明。 證：令．因?yàn)榍业倪B續(xù)性，所以由Jensen不等式有 = = =。 結(jié) 論 凸函數(shù)是一個(gè)傳統(tǒng)研究課程，具有廣泛的實(shí)際背景和應(yīng)用價(jià)值。對(duì)凸函數(shù)性質(zhì)的探討是一個(gè)重要的研究方向。 本文凸函數(shù)Jensen不等式的應(yīng)用僅僅是限于一元函數(shù)而言，可將其推

11、廣到多元函數(shù)，將空間擴(kuò)充到凸集的范圍，這些類(lèi)似定理和結(jié)論以及相關(guān)應(yīng)用有待一步研究。 9 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì)) 感謝信 在畢業(yè)論文完成之際,向給予我?guī)椭椭笇?dǎo)的各位老師和同學(xué)表示衷心的感謝! 首先,我要感謝我的論文導(dǎo)師楊慧章老師,因?yàn)橛兴托牡闹笇?dǎo)、鼓勵(lì)和幫助我才順利完成我的畢業(yè)論文。 借此機(jī)會(huì)我向數(shù)學(xué)系老師表示衷心的感謝,感謝他們四年來(lái)的精心指導(dǎo)和培養(yǎng)。 10 參考文獻(xiàn) [1]林玎,劉偉.Jensen不等式的幾個(gè)推論及其應(yīng)用[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào),2003,8(3)：28-23． [2]劉飛燕.Jensen不等式及其應(yīng)用[J].云南民族大學(xué)學(xué)報(bào),2003,7(3)：148-151． [3]徐偉.積分形Jensen不等式的巧用[J].高等數(shù)學(xué)研究,2002,6(4)：15-16． [4]陳欣.關(guān)于Jensen不等式的應(yīng)用[J].武漢工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào),2005,9(3)：113-115． [5]劉鴻雁.由Jensen不等式導(dǎo)出某些重要不等式 [J].成都大學(xué)學(xué)報(bào) ,2003,12(4)：32-35． [6]尚亞?wèn)|,游淑軍.凸函數(shù)及其在不等式證明中的應(yīng)用[J].廣州大學(xué)學(xué)報(bào),2005,2(1):1-6. 11