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1、 班級：08050541 學號：0805054132 姓名：張龍龍 基于小波分析的光譜數(shù)據(jù)去噪 1.1 課題背景及意義 光譜分析法是以輻射能與物質(zhì)組成和結構之間的內(nèi)在聯(lián)系及表現(xiàn)形式—光譜的測量為基礎，利用光譜來分析樣品的物質(zhì)組成，屬性或者物態(tài)信息的技術。由于光譜分析技術具有分析速度快，精度高，結果穩(wěn)定，無破壞等優(yōu)點，在化工、農(nóng)業(yè)、醫(yī)學等領域得到越來越廣泛的應用[1],[2]。 由于在光譜測量過程會中受到儀器，樣品背景，各種干擾等隨機因素的影響，得到的光譜數(shù)據(jù)中不可避免的含有噪聲，如果不加以處理，會影響校

2、正模型建立的質(zhì)量和未知樣品預測結果的準確性。通過對光譜數(shù)據(jù)的去噪預處理，可以減少噪聲的影響，提高模型的穩(wěn)定性。通常采用的去噪方法包括平滑，傅立葉分析等。其中光譜平滑的目的是消除高頻隨機誤差，其基本思路是在平滑點的前后各取若干點來進行“平均”或“擬合”，以求得平滑點的最佳估計值，消除隨機噪聲，這一方法的基本前提是隨機噪聲在處理“窗口”內(nèi)的均值為零。這種平滑的方法可有效地平滑高頻噪聲，提高信噪比，但是它對有效信號也進行平滑，容易造成信號失真，降低了光譜分辨率，而且光譜的兩端不能進行平滑，因此存在一定的局限性。傅立葉分析對數(shù)據(jù)處理應用的主要目的是加快信息的提取過程，通過壓縮數(shù)據(jù)使得信息提取更加有效，

3、同時去除干擾和噪聲。在傳統(tǒng)的信號處理中，傅立葉分析是數(shù)據(jù)預處理的主要手段，但是傅立葉分析只能獲得信號的整個頻譜，不能得到信號的局部特性，不能充分刻畫動態(tài)的非平穩(wěn)信號的特征[3]。而小波分析可以把各種頻率組成的混合信號按照不同的分辨尺度分解成一系列不同頻率的塊信號。由此可對特殊頻率范圍內(nèi)的噪聲進行濾波處理，小波分析靈活濾波的特性是其它方法無法比擬的。小波分析是從傅立葉分析的基礎上發(fā)展以來的，通過引入可變的尺度因子和平移因子，在信號分析時具有可調(diào)的時頻窗口，巧妙地解決了時頻局部化矛盾，彌補了傅立葉分析的不足，為信號處理提供了一種多分辨率下的動態(tài)分析手段。由于小波分析對信號的分時分頻的精細表達和多分

4、辨率分析的特點，即有用信號和噪聲信號在不同尺度上呈現(xiàn)不同的視頻特征或者傳播行為，根據(jù)這些特征的不同，可以將有用信號提取出來。小波算法能夠滿足各種去噪要求，如低通，高通，隨機噪音的去除等[4],[5]。 小波分析有效地完成了信號的時間與空間的局部化，對于信號分析而言意義重大。小波分析具有多分辨率分析和多尺度的特點，可以由粗到精地逐步觀察信號，同時還具有品質(zhì)因數(shù)恒定，即相對帶寬（帶寬與中心頻率之比）恒定的特點；適當?shù)剡x擇基小波，可以使其在時、頻兩域都有表征信號局部特征的能力，因此非常有利于信號分析。由于小波分析具有以上特性，人們把小波分析譽為分析信號的數(shù)學顯微鏡[6]。 1.2 本文的研究目的

5、和所做的研究工作 本文的目的是運用小波分析對氣體的光譜數(shù)據(jù)進行去噪。所作的研究工作是對小波分析多光譜數(shù)據(jù)的去噪的過程進行細致的分析。同時對MATLAB軟件的應用進行了解，進行仿真前的準備。 1.3 研究工具 本文研究所用的工具是MATLAB的小波工具箱。MATLAB是MathWorks公司于1982年推出的一套高性能的數(shù)值計算和可視化軟件，它集數(shù)值分析，矩陣運算，信號處理和圖形顯示于一體，構成了一個方便的，界面友好的用戶環(huán)境。小波工具箱是許多基于MATLAB技術計算環(huán)境的函數(shù)包的集合。應用MATLAB體系下的小波與小波包，提供了分解和綜合信號的工具。小波工具箱提供兩種工具，一是控制線的函

6、數(shù)，二是圖像操作工具。第一類工具是由可以直接調(diào)出線或應用命令的函數(shù)組成，這些函數(shù)大多是M文件或者各種實現(xiàn)特定的小波分解與綜合算法的陳述[7]。 本文的第二部分主要介紹了小波分析的一些基礎的理論知識，并對小波的一些去噪方法進行了解析，第三部分則是根據(jù)小波分析進行光譜數(shù)據(jù)去噪的仿真。第四部分對本文進行總體的總結以及對未來的展望。 2 小波分析的理論基礎及去噪方法的解析 本節(jié)主要介紹了小波分析的基本理論以及小波分析對一維信號進行消噪處理，其中理論部分包括連續(xù)小波分析，小波分析和傅立葉分析的比較，常用小波的介紹以及多分辨率分析在小波分析理論中的作用。運用小波分析

7、進行一維信號的消噪處理是小波分析的一個重要應用，尤其是在光譜數(shù)據(jù)預處理去噪中有著廣泛的應用。主要有基于小波分析的局部極大值點去噪和基于閾值去噪的兩種技術。Mallat提出了通過尋找小波分析系數(shù)中的局部極大值點，并根據(jù)此重構信號可以很好的逼近原始信號。Donoho提出了基于閾值的小波去噪方法，先對信號進行小波分析，再對小波分析值進行去噪處理，最后反分析得到去噪后的信號[8],[9]。 2.1 連續(xù)小波分析的基本概念 小波分析方法是一種窗口大?。创翱诿娣e）固定但其形狀可變，時間窗和頻率窗都可改變的時頻局部化分析方法，即在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率，在高頻部分具有較高的時間

8、分辨率和較低的頻率分辨率。正是這種特性，使小波分析具有對信號的自適應性[10]。 小波分析被看成調(diào)和分析這一數(shù)學領域半個世紀以來的工作結晶，已經(jīng)廣泛地應用于信號處理，圖像處理，量子場論，地震勘探，語音合成與識別，音樂，雷達，CT 成像，彩色復印，流體湍流，天體識別，機器視覺，機械故障診斷與監(jiān)控，分形及數(shù)字電視等領域。原則上講，傳統(tǒng)上使用傅立葉分析的地方都可以用小波分析來取代。小波分析優(yōu)于傅立葉分析的地方是，它在時域和頻域同時具有良好的局部化性質(zhì)[11]。 設,表示平方可積的實數(shù)空間，即能量有限的信號空間，其傅立葉分析為.當滿足允許性條件(Admissiable Condition):

9、 式2.1 時，我們稱為基本小波或者小波母函數(shù)(Mother Wavelet)。將母函數(shù)經(jīng)伸縮和平移后，就可以得到一個小波序列。對于連續(xù)的情況，小波序列為： 式2.2 其中，為伸縮因子，為平移因子。一般歸一化，令。由于，所以也單位化了。對于任意的函數(shù)的連續(xù)小波分析為： 式2.3 其中，當相當于頻率，相當于位移。 其逆分析為：當，

10、 式2.4 2.1.1 連續(xù)小波分析的時頻窗口特性 小波分析的時頻窗口特性和短時傅立葉分析的時頻窗口不一樣。其窗口形狀為兩個矩形，窗口中心為，時窗寬和頻窗寬分別為和。 圖2.1 連續(xù)小波分析的時頻窗口特性 在實際應用中信號分析的要求是：信號高頻部分對應時域中的快變成分，如陡峭的前沿、后沿、尖脈沖等，分析時對時域分辨率要求高，對頻域分辨率要求低。信號低頻成分對應時域中的慢變成分，分析對時域分辨率要求低，對頻域分辨

11、率要求高。連續(xù)小波函數(shù)窗口有“變焦”特性:當變小時，時域觀察范圍變窄，但頻率觀察的范圍變寬，且觀察的中心頻率向高頻處移動；當變大時，時域觀察范圍變寬，頻域的觀察范圍變窄，且分析的中心頻率向低頻處移動[12-15]。 其中僅僅影響窗口在相平面上時間軸上的位置，而不僅影響窗口在頻率軸上的位置，也影響窗口的形狀。這樣小波分析對不同的頻率在時域上的取樣步長是調(diào)節(jié)性的：在低頻時小波分析的時間分辨率較差，而頻率分辨率較高。在高頻時小波分析的時間分辨率較高，而頻率分辨率較低，這正符合低頻信號變化緩慢而高頻信號變化迅速的特點。這就是小波分析優(yōu)于經(jīng)典的傅立葉分析與短時傅立葉分析的地方?？偟膩碚f，小波分析比短時

12、傅立葉分析有更好的時頻窗口特性。 2.1.2 連續(xù)小波分析的重要性質(zhì) （1）線性性：一個多分量信號的小波分析等于各個分量的小波分析之和。 （2）平移不變性：若的小波分析為，則的小波分析為 。 （3）伸縮共變性：若的小波分析為，則的小波分析為 。 （4）自相似性：對應于不同尺度參數(shù)和不同平移參數(shù)的連續(xù)小波分析之間是自相似的。 （5）冗余性：連續(xù)小波分析中存在信息表述的冗余度。 2.2 小波分析和傅立葉分析的比較 小波分析是傅立葉分析思想方法的發(fā)展和拓延，它自產(chǎn)生以來，就一直與傅立葉分析密切相關，可以說小波分析是一種廣義上的傅立葉分析。小波分析的存在性證明，小波基的構造以及結果

13、分析都依賴于傅立葉分析，兩者是相輔相成的，比較后有以下特點： (1)傅立葉分析的實質(zhì)是把能量有限的信號分解到以為正交基的空間上去；小波分析的實質(zhì)是把能量有限的信號分解到和所構成的空間上去。 (2)傅立葉分析用到的基本函數(shù)只有，，，具有唯一性；小波分析用到的函數(shù)則不具有唯一性，同一個工程問題用不同的小波函數(shù)進行分析有時結果相差甚遠。小波函數(shù)的選用是小波分析應用中的一個難題，目前往往是通過經(jīng)驗和不斷地實驗來選擇小波函數(shù)。 (3)在頻域中，傅立葉分析具有良好的局部化能力，特別是對于那些頻率成分比較簡單的確定性信號，傅立葉分析很容易把信號表示成各頻率成分的疊加和的形式。但是在時域中，傅立葉分析沒

14、有局部化能力，即無法從信號的傅立葉分析中看出在任一時間點附近的形態(tài)。事實上，是關于頻率為的諧波分量的振幅，在傅立葉展開式中，它是由的整體性態(tài)所決定的。 (4)在小波分析尺度中，尺度的值越大相當于傅立葉分析中的值越小。 (5)在短時傅立葉分析中，分析系數(shù)主要依賴于信號在片段中的情況，時間寬度是(因為是由窗函數(shù)唯一確定的，所以是一個定值)。在小波分析中，分析系數(shù)主要依賴于信號在片段中的情況，時間寬度是，該時間寬度是隨著尺度變化而變化的，所以小波分析具有時間局部分析能力。 (6)如果用信號通過濾波器來解釋，小波分析和傅立葉分析的不同之處在于：對短時傅立葉分析來說，帶通濾波器的帶寬與中心頻率無關

15、；相反，小波分析帶通濾波器的帶寬則正比于中心頻率，即為常數(shù)亦即濾波器有一個恒定的相對帶寬，稱之為等結構(為濾波器的品質(zhì)因數(shù))[16-18]。 2.3 常用小波函數(shù) 與標準傅立葉分析相比較，小波分析中應用到的小波函數(shù)不具有唯一性，即小波函數(shù)具有多樣性。但是小波分析在工程應用中一個十分重要的問題是最優(yōu)小波基的選擇問題，這是因為用不同的小波基分析同一個問題會產(chǎn)生不同的結果，在面對某一具體應用時，除了要選擇比較各小波的基本身的的正交性，對稱性，正則性，緊支集，消失矩等問題，同時還要注意具體的應用環(huán)境的制約。目前主要是通過小波分析方法處理信號的結果的好壞來判定小波基的好壞，并由此選定小波基。

16、 一般而言，小波基的對稱性和正交性不兼容，例如具有正交性的Daubechies小波就不具備對稱性。正則性是函數(shù)光滑程度的一種描述，是函數(shù)領域能量的一種度量。我們說小波是具有緊支集的函數(shù),是指使得函數(shù)不等于零的的取值范圍是有限的，范圍越小，表明小波支集的長度越短，即支集越緊。函數(shù)的階矩是指積分。階消失矩就是指使得上式為零的那個。消失矩的實際影響是將信號能量相對集中在少數(shù)幾個小波系數(shù)里，小波消失矩與小波支集的長度有著密切關系。 根據(jù)不同的標準，小波函數(shù)具有不同的類型，這些標準通常有： （1） ，，，的支撐長度。即當時間或頻率趨向于無窮大時，，，，從一個有限值收斂到0的速度。 （2） 對稱性

17、。在圖像信號處理中對避免移相是有用的。 （3） 和的消失矩階數(shù)。對于數(shù)據(jù)壓縮是非常有用的。 （4） 正則性。對信號的重構以獲得較好的平滑效果是非常有用的。 在眾多的小波基函數(shù)中，有一些小波函數(shù)被實踐證明是非常有用的。下面介紹幾種常用的小波函數(shù)： 1.Haar小波 Haar小波是小波分析中最早用到的一個具有緊支撐的正交小波函數(shù)，同時也是最簡單的一個函數(shù)，它是非連續(xù)的，類似一個階梯函數(shù)。Haar函數(shù)的定義為下： 1 = -1

18、 式2.5 0 others 尺度函數(shù)為： 式2.6 2.墨西哥草帽（Mexican Hat）小波 Mexican Hat函數(shù)為： 式2.7 它是Gauss函數(shù)的二階導數(shù)，它在時域和頻域都有很好的局部化，并且滿足：

19、， 式2.8 由于它的尺度函數(shù)不存在，所以不具有正交性。 3.Daubechies(dbn)小波系 Daubechies函數(shù)是由世界著名的小波分析學者Inrid Daubechies構造的小波函數(shù)，除了db1(即Haar小波)外，其他小波沒有明確的表達式，但是轉換函數(shù)的平方模是很明確的。db函數(shù)是緊支撐校準正交小波，它的出現(xiàn)使得離散小波分析成為可能。 假設，其中為二項式的系數(shù)，則有： 式2.9 其中。小波函數(shù)和尺度函數(shù)的有效支撐長度為，小波函數(shù)的消失矩階數(shù)為。db大多不具有對稱性

20、，但具有正交性。函數(shù)的正則性隨著序號的增加而增加。 4.Biorthogonal(biorNr.Nd)小波系 Biorthogonal函數(shù)系的主要特性體現(xiàn)在具有線性相位性，它主要應用于信號的重構中，通常采用的一個辦法是采用一個函數(shù)進行分解，用另外一個函數(shù)進行重構。眾所周知，如果采用同一個濾波器進行分解和重構，對稱性和重構的精確性將成為一對矛盾，而采用兩個函數(shù)，則可以解決這個問題。Biorthogonal函數(shù)系通常表示成biorNr.Nd的形式： Nr=1 Nd=1,3,5 Nr=2 Nd=2,4,6,8 Nr=3 Nd=1,3,5,7,9 Nr=4 Nd=4 Nr

21、=5 Nd=5 Nr=6 Nd=8 其中，r表示重構(Reconstruction)，d表示分解(Decomposition)。 2.4 離散小波分析 在實際應用中，尤其是在計算機上實現(xiàn)，連續(xù)小波必須加以離散化。所以針對連 續(xù)小波和連續(xù)小波分析的離散化。這一離散化都是針對連續(xù)的尺度函數(shù)和連續(xù)平移參數(shù)的，而不是針對時間變量的，這與以前習慣的時間離散化不同，需要加以注意區(qū)別[19]。 在連續(xù)小波中，考慮函數(shù) 式2.10 為方便起見，在離散化中，總是限制只取正值，這樣相容性條件就變?yōu)椋?

22、 式2.11 通常，把連續(xù)小波分析中的尺度參數(shù)和平移參數(shù)的離散化公式分別取做，，這里，擴展步長是固定值，為方便起見，總是假定，所以對應的離散小波函數(shù)就寫作： 式2.12 而離散化小波分析系數(shù)則可以表示為： = 式2.13 其重構公式為： 式2.14 其中，是一個與信號無關的常數(shù)。 然而，怎樣選擇和才能保證重構信號的精度呢？顯然，網(wǎng)格點應

23、該盡可能地密（即和盡可能地?。?，因為如果網(wǎng)格點越稀疏，使用的小波函數(shù)，和離散小波系數(shù)就越少，信號重構的精確度也就會越低。 為了使小波分析具有可變化的時間和頻率分辨率，適應待分析信號的的非平穩(wěn)性，需要改變和的大小，以使小波分析具有“變焦距”的功能。在實際應用中采用的是動態(tài)的采樣網(wǎng)格，最常用的是二進制的動態(tài)采樣網(wǎng)格：，每個網(wǎng)格點對應的尺度為，而平移為。由此得到的小波 式2.15 稱為二進小波（Dyadic Wavelet）。 二進小波對信號的分析具有變焦功能。假定一開始選擇一個放大倍數(shù)，它對應為觀測信號的某部分內(nèi)容。如果想進一步觀看信號更小

24、的細節(jié)，就需要增加放大倍數(shù)，即減小的值；反之，如果想了解信號更宏觀的內(nèi)容，則可以減小放大的倍數(shù)，即增大的值，在這個意義上，小波分析被稱作數(shù)學顯微鏡。 2.5 多分辨率分析 Meyer于1986年創(chuàng)造性地構造出具有一定衰減性的光滑函數(shù)，其二進制伸縮與平移構成的規(guī)范正交基，才使小波得到真正的發(fā)展。1988年S.Mallat在構造正交小波基時提出了多分辨分析MRA（Multi-Resolution Analysis）的概念，從空間的概念上形象地說明了小波的多分辨率特性，將此之前的所有正交小波基的構造法統(tǒng)一起來，給出了正交小波的構造方法以及正交小波分析的快速算法，即Mallat算法。Mal

25、lat算法在小波分析中的地位相似于快速傅立葉分析算法在經(jīng)典傅立葉分析中的地位。 關于多分辨分析的原理，我們以一個三層的分解進行說明，其小波分解樹如圖2.2 所示。 S D1 A1 D2 A2

26、 D3 A3 圖2.2 三層多分辨率分析樹結構圖 從圖中可以看出，多分辨率分析只是對低頻部分進行一步分解，而高頻部分則不 予考慮。分解的關系為。另外強調(diào)一點，這里只是以一個層分解進行說明，如果要進一步的分解，則可以把低頻部分分解成低頻部分和高頻部分，以下分解則類推可得[20]

27、。 在多分辨分析中，分解的最終目的是力求構造一個在頻率上高度逼近空間的正交小波基，這些頻率分辨率不同的正交小波基相當于帶寬各異的帶通濾波器。從上面的多分辨分析樹結構圖可以看出，多分辨率分析只對低頻空間進行進一步的分解，使得頻率的分辨率變得越來越高[14],[15]。 我們稱滿足下列條件的中的一列子空間及一個函數(shù)為一個正 交Multi-resolution Analysis(MRA)(多尺度/多分辨分析)： （1） （2） （3） （4） （5），且是的標準正交基，稱為此MRA的尺度函數(shù)/父函

28、數(shù)。 2.6 基于閾值的小波分析去噪方法 小波閾值去噪方法認為對于小波系數(shù)包含有信號的重要信息，其幅值較大，但數(shù)目較少，而噪聲對于的小波系數(shù)是一致分布的，個數(shù)較多，但幅值小?；谶@一思想，Donoho等人提出軟閾值和硬閾值去噪方法[22]，即在眾多小波系數(shù)中，把絕對值較小的系數(shù)置為零，而讓絕對值較大的系數(shù)保留或收縮，分別對應于硬閾值和軟閾值方法，得到估計小波系數(shù)（Estimated Wavelet Coefficients，簡記為EWC），然后利用估計小波系數(shù)直接進行信號重構，即可達到去噪的目的。 1995年，Donoho提出一種新的基于閥值處理思想的小波域去噪技術。它也是對信號

29、先求小波分析值。再對小波分析值進行去噪處理。最后反分析得到去噪后的信號。去噪處理中閾值的選取是基于近似極大極小化思想，以處理后的信號與原信號以最大概率逼近為約束條件。然后考慮采用軟閾值，并以此對小波分析系數(shù)做處理，能獲得較好的去噪效果，有效提高信噪比。 2.6.1 含噪聲信號的小波分析特性 運用小波分析進行信號消噪處理是小波分析的一個重要應用。一個含噪聲的一維信號的模型可以表示成如下形式： 式2.16 其中，為真實信號，為噪聲信號，是噪聲的系數(shù)，為含噪聲的信號。 本文以一個最簡單的噪聲模型加以說明，即認為為高斯白噪聲，

30、噪聲級（noise level）為1。在實際的工程應用中，有用信號通常是表現(xiàn)為低頻部分或是一些比較平穩(wěn)的信號，而噪聲通常表現(xiàn)為高頻的信號，所以消噪的過程可以按以下方法進行：首先對信號進行小波分解，則噪聲部分通常包含在里，因而，可以以閾值形式對小波系數(shù)進行處理，然后對信號進行重構即可以達到消噪的目的。對信號消噪的目的就是要抑制信號中的噪聲部分，從而在中恢復出真實信號。 一般來說，一維信號的消噪處理過程分為以下三個步驟進行： （1） 一維信號的小波分解。選擇一個小波并確定一個小波分解的層次，然 后對信號進行層小波分解。 （2） 小波分解高頻系數(shù)的閾值量化。從第一層到第層的每一層高頻

31、系數(shù)選 擇一個閾值進行軟閾值量化處理。 （3） 一維小波的重建。根據(jù)小波分解的第層的低頻系數(shù)和經(jīng)過量化處理后 的第一層到第層的高頻系數(shù)，進行一維信號的小波重構。 2.6.2 小波消噪閾值的選取規(guī)則 1. 通用閾值(Sqtwolog規(guī)則)[21] 設含噪信號在尺度1到（1<<）上通過小波分解得到小波系數(shù)的個數(shù)總和為，為二進尺度，附加噪聲信號的標準差是，則通用閾值為： 式2.17 該方法的依據(jù)為個具有獨立同分布的標準高斯變量中的最大值小于的概率隨著的增大而趨于1。若被測信號含有獨

32、立同分布的噪聲時，經(jīng)小波分析后，其噪聲部分的小波系數(shù)也是獨立同分布的。如果具有獨立同分布的噪聲經(jīng)小波分解后，它的系數(shù)序列長度很大，則可知：該小波系數(shù)中最大值小于的概率接近于1，即存在一個閾值，使得該序列所有的小波系數(shù)都小于它。小波系數(shù)隨著分解層次的加深，其長度也越來越短，根據(jù)的計算公式，可知該閾值也越來越小，因此在假定噪聲具有獨立同分布特性的情況下，可通過設置簡單的閾值來去除噪聲。 2. Stein無偏風險閾值（rigrsure規(guī)則）[22] 這是一種基于stein的無偏似然估計原理的自適應閾值選擇。對于一個給定的閾值，得到它的似然估計，再將非似然最小化，就得到所選的閾值。具體的選擇規(guī)則為

33、：設W為一向量，其元素為小波系數(shù)的平方并按照有大到小的順序排列，即，的含義同上。再設一風險向量，其元素為 以元素中的最小值作為風險值，有的下標變量求出對應的，則閾值為： 式2.18 3. 試探法的Stein無偏風險閾值（heursure規(guī)則）[23] 是前兩種閾值的綜合，是最優(yōu)預測變量閾值選擇。如果信噪比很小，SURE估計有很大的噪聲，適合采用這種固定的閾值。具體的閾值選擇規(guī)則為： 設 W 為n個小波系數(shù)的平方和，令： , 以及，則有

34、 ; 式2.19 4. 最大最小準則閾值(minmax規(guī)則)[24] 這種方法采用的也是固定閾值，產(chǎn)生一個最小均方誤差的極值，而不是誤差。這種極值原理在統(tǒng)計學上常備用來設計估計器。被去噪的信號可以被看作與未知回歸函數(shù)的估計式相似，這種極值估計器可以在一個給定的函數(shù)集中實現(xiàn)最大均方誤差最小化。具體的閾值選取規(guī)則為： ； 式2.20 在式中，作為小波系數(shù)的個數(shù)，為噪聲信號的標準差，表示尺度為1的小波系數(shù)，式中的的分子部分表示對分解出的第一級小波系數(shù)取絕對值后再取中值[15],[16]。 2.7 小波基的

35、選擇 對應于特定的含噪圖像，不同的小波基會產(chǎn)生不同的消噪效果，這是小波方法進行圖像消噪中的一個關鍵問題。 小波基的選擇涉及小波基的類型方面的問題。在同一幅圖像中，既有平滑的區(qū)域，又有突變的區(qū)域。在平滑區(qū)域中，一般采用高正則階、高消失矩的光滑小波基函數(shù)。因為選擇具有較高階消失矩的小波函數(shù)，能檢測圖像信號中更精細的奇異性，在重構時，圖像中的細節(jié)才能得以更多的恢復。在突變區(qū)域中，要采用緊支撐的小波基。Daubechies基是具有緊支集的光滑正交小波基，和沒有顯示的解析式。Daubechies小波的光滑性由其支集的長度來確定，通過合理選擇值的大小，既可以保證計算的復雜程度相對較小，又保證了圖像信號

36、分析中的空間局部化要求。Daubechies小波基函數(shù)兼顧了內(nèi)積計算快速，基函數(shù)的疊加快速，良好的空間局部化和良好的頻率局部化，保證了圖像信號展開和重構的低復雜度，保證了圖像信號中主要成分和模式的識別。借用Daubechies基和Mallat算法來進行圖像小波變換處理，是一種有效的方法。本論文采用db4作為小波基函數(shù)。 在進行仿真試驗進行驗證算法的有效性之前，先來討論一下圖像質(zhì)量的評價方法。目前常用的圖像質(zhì)量評價方法[23]主要有兩種，即主觀質(zhì)量評價和客觀質(zhì)量評價。 主觀評價方法就是讓觀察者對同一幅圖像按視覺效果的好壞進行打分，并對其進行加權平均。該方法勞動強度太大，且不能應用于圖像實時傳

37、輸?shù)膱龊稀? 客觀評價方法是用恢復圖像偏離原始圖像的誤差，來衡量圖像恢復的質(zhì)量，最常用的有均方誤差(MSE)、信噪比(SNR)、峰值均方誤差(PMSE)和峰值信噪比(PNSR)?？陀^評價方法只能從總體上反映原始圖像和恢復圖像的灰度差別。 均方誤差（MSE）定義為： 式2.21 由于此課題是連續(xù)信號，是二維曲線，所以采用均方誤差能對圖形去噪質(zhì)量進行定量的描述，但它卻不能反映人眼的真實感覺。 2.8 本章小結 本章先介紹了小波分析的基本理論，主要包括連續(xù)小波分析，小波分析和傅立葉分析的比較，常用小波的介紹，多分辨率分析的性質(zhì)。從以上的理論分析可以知道，基

38、于小波分析的去噪方法，對于非平穩(wěn)信號，要比傳統(tǒng)的濾波去噪方法的效果好，主要是由于傳統(tǒng)的濾波器都具有低通性，對需要分析在每個時刻含有不同頻率成分的非平穩(wěn)信號來說，很難進行匹配分析。而小波分析具有多分辨率，并且在時頻域都具有局部性，所以很適合分析非平穩(wěn)信號。在用小波分析去噪的關鍵是閾值的選取，如果閾值選取的太高，會使得信號失去太多細節(jié)，使信號失真，如果閾值選取的太低，又不能達到去噪的目的，在實際應用中通常要經(jīng)過試驗來選取適當閾值。 3 小波去噪的仿真 3.1小波消噪與MATLAB仿真方法 對含噪信號的消噪處理過程可以分為三個步驟[27]。第一步，選擇一個小波，確定小波分解的層次M，然后利用

39、離散小波變換對含噪信號進行M層小波分解。由于噪聲信號主要位于每層信號分解后的細節(jié)部分，因此對這些細節(jié)部分進行處理即可實現(xiàn)消噪。同一個信號用不同的小波基進行分解所得到的消噪效果是不同的，因此找到合適的小波基對于信號的消噪是很重要的。第二步，對第一層到第M層的每一層高頻系數(shù)進行閾值量化處理。閾值量化方法一般有強制去噪、默認閾值去噪和給定軟(或硬)閾值去噪三種方法。強制去噪方法是把小波分解結構中的高頻系數(shù)全部變?yōu)?，即把高頻部分全部濾除掉，然后再對信號進行重構處理。這種方法比較簡單，重構后的去噪信號也比較平滑，但容易丟失信號的有用成分。默認閾值去噪方法是首先產(chǎn)生信號的默認閾值，然后進行去噪處理。給定

40、軟(或硬)閾值去噪方法是在實際的去噪處理過程中，閾值往往可以通過經(jīng)驗公式獲得。第三步，根據(jù)小波分解的第M層的低頻系數(shù)和經(jīng)過量化處理后的第一層到第M層的高頻系數(shù)，進行信號的小波重構。 利用MATLAB軟件進行了小波消噪的仿真程序設計[24]。程序中采用db4小波對含噪信號進行二層小波分解，采用rigrsure、heursure、sqtwolog閾值量化對分解后的小波系數(shù)進行處理，重構信號之后即可得到消噪后的信號[29]，仿真程序見附錄Ⅰ： 3.2 仿真圖形及分析 本部分采用如圖3.1和圖3.2原始曲線和含有噪聲的曲線進行分析。從圖中可以看出，譜圖受到噪聲影響較大。 本實驗采用尺度為2的d

41、b小波，將信號進行分解，分別采用常用的rigrsure、heursure、sqtwolog閾值選擇方法進行濾噪處理，濾噪結果如圖3.3、3.4、3.5所示。 圖3.1原始光譜數(shù)據(jù) 圖3.1是的原始的吸收光譜的數(shù)據(jù)，是沒有受到干擾而產(chǎn)生噪聲的數(shù)據(jù)。在程序中是第二個圖。 圖3.2噪聲光譜數(shù)據(jù) 圖3.2是原始的光譜數(shù)據(jù)增加了噪聲之后的數(shù)據(jù)，由圖可以看出，噪聲對光譜數(shù)據(jù)的影響還是很大了，去除噪聲才能更好的對數(shù)據(jù)進行進一步的分析和處理。在程序中式第一個圖。 圖3.3‘rigrsure’規(guī)則閾值去噪后數(shù)據(jù) 圖3.4‘heursure’ 規(guī)則閾值去噪后數(shù)據(jù)

42、 圖3.5‘sqtwolog’規(guī)則閾值去噪結果后數(shù)據(jù) 圖3.3，3.4,3.5分別是rigrsure規(guī)則heursure規(guī)則sqtwolog規(guī)則閾值去噪的數(shù)據(jù)結果因為不同的閾值對去噪的結果又一定的影響，因此需要對他們進行比較。 表I為采用各閾值值選擇規(guī)則濾噪后的相對偏差SEM。SEM定義為： 式3.1 式中——濾噪后個點值，——標準譜圖各點值，——數(shù)據(jù)個數(shù)。 表I用尺度為2的db4小波去噪結果 方法 rigrsure heursure sqtwolog 相對偏差（SEM） 0.18501

43、 0.18501 0.18501 從表I和圖3.3、圖3.4、圖3.5可以看出rigrsure、heursure、sqtwolog三種規(guī)則的相對偏差（SEM）均相同，而且比較小，而heursure適用于信號比較小，SORE估計有很大的噪聲，通過仿真圖形主觀視覺上，heursure的峰值比其他兩個更接近于原始光譜圖，比較適用于本課題，所以確定為heursure作為本次課題的閾值去噪方法。 3.3 小波去噪的軟件實現(xiàn) 打開小波工具點擊加載文本數(shù)據(jù)進行加載并找出需要加載的含噪聲的光譜數(shù)據(jù) 讀出含噪吸光度光譜圖如圖3.6 圖3.6含噪吸光度光譜圖

44、 如上圖選好一個分解數(shù)據(jù)，采用Mallat算法對小波進行多層分解，分解層數(shù)選擇3層分解，并選用db小波對需要分解的數(shù)據(jù)進行處理，而db小波基N=1,2,3…10。選好小波去噪的各個參數(shù)后，然后在濾波中選取啟發(fā)式閾值，而此閾值就是軟閾值處理，點擊“濾波”按鈕，對需要的分解的數(shù)據(jù)進行小波去噪濾波。濾波結果如圖3.7。從圖形來看，去噪效果符合選定參數(shù)的去噪結果，基本實現(xiàn)了預期編織軟件的目的。 圖3.7給定光譜吸收度信號分解濾波重構圖 3.3.1 數(shù)據(jù)分析 通過光譜預處理軟件，得到光譜數(shù)據(jù)處理后和處理前的坐標數(shù)據(jù)，將這些數(shù)據(jù)通過MATLAB進行仿真，與原數(shù)據(jù)進行比較

45、如圖3.8所示，并進行相對偏差（SEM）進行計算得出最終數(shù)據(jù)，其結果如表II所示，得到的數(shù)據(jù)的相對偏差和在MATLAB中用heursure閾值去噪方法得到的相對偏差很接近，說明本課題實現(xiàn)的光譜預處理軟件比較準確的實現(xiàn)了光譜數(shù)據(jù)去噪的功能。 圖3.8 軟件去噪后得到的數(shù)據(jù) 從圖可以看出，圖形形狀基本和圖3.4相同，通過對數(shù)據(jù)進行相對偏差處理得到表I，雖然精度達不到MATLAB的精度，但是偏差不是很大，能實現(xiàn)去噪效果，保留了基本信息。 表II 相對偏差比較 方法 MATLAB仿真 軟件去噪 相對偏差（SEM） 0.18501 0.19322 3.4

46、 本章小結 本章簡單介紹了小波去噪的各個步驟以及分別用MATLAB和VC++軟件對給定數(shù)據(jù)進行仿真，通過MATLAB仿真，對不同的閾值處理方法進行了比較和分析，得出更適合本課題閾值去噪的方法（heursure閾值去噪），雖然從相對偏差計算結果看，并沒有什么大的區(qū)別，但是從heursure閾值去噪的仿真圖形來看，heursure的峰值比其他兩個更接近于原始光譜圖，而從各個閾值消噪方法的特點來看,heursure適用于信號比較小，SORE估計有很大的噪聲，比較適合本課題。heursure閾值消噪選取為下面VC軟件實現(xiàn)得出了一個比較合適的閾值去噪方法。再通過VC++軟件對光譜數(shù)據(jù)進行去噪。

47、驗證其閾值的選擇是否正確。 4 總結與展望 隨著人們對環(huán)境狀況的日益關注，大氣環(huán)境監(jiān)測技術越來越向自動化、實時在線監(jiān)測方向發(fā)展。圖像去噪在圖像處理中是一個很重要的預處理過程，它的主要目標是在減少圖像中的噪聲的同時，盡可能地保留圖像邊緣和紋理信息。只有選擇好的處理方法才能更好的進行圖像去噪，使去噪后的圖像邊緣和紋理信息保存的跟多，使信號的信息接近于理想化的原始純凈信號，這樣對分析信號、處理信號更加接近于真實值，這樣對環(huán)境的監(jiān)控測試更加準確，跟能準確及時的處理各種環(huán)境問題，更好的保護了我們生存的環(huán)境。而軟件則更實現(xiàn)了大氣環(huán)境監(jiān)測向自動化、實時在線監(jiān)測方向發(fā)展。通過軟件方便快捷

48、準確的對環(huán)境進行檢測，使人們的健康質(zhì)量更加有保證。 本課題就是基于這種大環(huán)境下而生成的，而小波分析也是一種比較成熟的圖像處理方法，通過對小波閾值去噪算法的不斷改進，會設計出更加完善，功能更加強大的軟件。相信在不久將來，隨著算法不斷改進，設計出的軟件功能也會更加完善，功能也越來越強大，而軟件的種類也會越來越多。對人們的生活質(zhì)量的提高會有很大幫助。 附錄I MATLAB仿真程序 figure; char xuzhiqiang.m,a,b,c; plot(a,b); axis([1000 1500 -0.2 1.4]); figure plot(a,

49、c) axis([1000 1500 -0.2 1.4]); [C,L]=wavedec(b,2,db4); q=0.05; p = C(126:492); V = length(p); I = (1:V); cVID = 1; cVN = sum(1./(1:V)); pID = p(max(find(p<=I/V*q/cVID))); pN = p(max(find(p<=I/V*q/cVN))); figure plot(C(126:493)) E1=wden(b,rigrsure,h,one,2,db4); E2=wden(b,heursure,h,one,

50、2,db4); E3=wden(b,sqtwolog,h,one,2,db4); E4=wdencmp(gbl,b,db4,2,0.05462,s,1) figure plot(E1); figure plot(E2); figure plot(E3); figure plot(E4); y1=0; y2=0; y10=0; y20=0; y11=0; y21=0; y12=0; y22=0; y13=0; y23=0; for i=1:479 y10=y10+(E1(i)-c(i))^2; end for i=1:479 y2

51、0=y20+c(i)^2; end SEM1=(y10/y20)^0.5; for i=1:479 y11=y11+(E2(i)-c(i))^2; end for i=1:479 y21=y21+c(i)^2; end SEM2=(y11/y21)^0.5; for i=1:479 y12=y12+(E3(i)-c(i))^2; end for i=1:479 y22=y22+c(i)^2; end SEM3=(y12/y22)^0.5; for i=1:479 y13=y13+(E4(i)-c(i))^2;

52、end for i=1:479 y23=y23+c(i)^2; end SEM4=(y13/y23)^0.5; disp(SEM1); 注：其中a、b、c是在通過測試二氧化硫在給定波長的光譜吸光度，a為給定的波長數(shù)組，b是含噪的光譜吸光度數(shù)組，c是純凈的光譜吸光度數(shù)組。是給定的數(shù)據(jù)。 參 考 文 獻 [1] 楊福生,小波分析的工程分析與應用[M].北京:科學出版社,1999:1-145 [2] 何風華.小波分析在信號消噪中的應用[J].兵工自動化, 2002,(06) [3] 李建平.小波分析信息傳輸基礎[M].北京:國防工業(yè)出版社.

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