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1、 周練卷(三) (時間:90分鐘　滿分:120分) 【選題明細表】 知識點、方法 題號 函數(shù)單調性 1,4,5,9,13,16 函數(shù)最值 7,10,17 函數(shù)奇偶性 3,6,11,14,15 函數(shù)性質綜合 2,8,12,18,19,20 一、選擇題(每小題5分,共60分) 1.函數(shù)g(x)=在[1,2]上為減函數(shù),則a的取值范圍為(　C　) (A)(-∞,0) (B)[0,+∞) (C)(0,+∞) (D)(-∞,0] 解析:因為y=在[1,2]上是減函數(shù), 所以要使g(x)=在[1,2]上是減函數(shù), 則有a>0.故選C. 2.f(x)=(m-1)x2

2、+2mx+3為偶函數(shù),則f(x)在區(qū)間(2,5)上是(　A　) (A)減函數(shù) (B)增函數(shù) (C)有增有減 (D)增減性不確定 解析:f(x)=(m-1)x2+2mx+3為偶函數(shù), 所以m=0, 所以f(x)=-x2+3,開口向下,f(x)在區(qū)間(2,5)上是減函數(shù).故選A. 3.函數(shù)f(x)=ax2+bx-2是定義在[1+a,2]上的偶函數(shù),則f(x)在區(qū)間[1,2]上是(　B　) (A)增函數(shù) (B)減函數(shù) (C)先增后減函數(shù) (D)先減后增函數(shù) 解析:因為函數(shù)f(x)=ax2+bx-2是定義在[1+a,2]上的偶函數(shù), 所以1+a+2=0,解得a=

3、-3, 由f(x)=f(-x)得,b=0, 即f(x)=-3x2-2. 其圖象是開口向下,對稱軸是y軸的拋物線, 則f(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù).故選B. 4.若函數(shù)y=x2+(2a-1)x+1在區(qū)間(-∞,2]上是減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是(　B　) (A)[-,+∞) (B)(-∞,-] (C)[ ,+∞) (D)(-∞,] 解析:因為函數(shù)y=x2+(2a-1)x+1的圖象是方向朝上,以直線x=為對稱軸的拋物線, 又因為函數(shù)在區(qū)間(-∞,2]上是減函數(shù), 故2≤, 解得a≤-,故選B. 5.函數(shù)f(x)=x|x-2|的增區(qū)間是(　C　) (A)(-∞,1]

4、 (B)[2,+∞) (C)(-∞,1],[2,+∞) (D)(-∞,+∞) 解析:f(x)=x|x-2|= 作出f(x)簡圖如圖, 由圖象可知f(x)的增區(qū)間是(-∞,1],[2,+∞). 6.設f(x)是R上的任意函數(shù),則下列敘述正確的是(　D　) (A)f(x)f(-x)是奇函數(shù) (B)f(x)|f(-x)|是奇函數(shù) (C)f(x)-f(-x)是偶函數(shù) (D)f(x)+f(-x)是偶函數(shù) 解析:若f(x)是R上的任意函數(shù),則f(x)f(-x)是偶函數(shù),f(x)-f(-x)是奇函數(shù),f(x)+f(-x)是偶函數(shù),B項無法確定.選D. 7.若函數(shù)y=

5、x2-6x-7,則它在[-2,4]上的最大值、最小值分別是 (　C　) (A)9,-15 (B)12,-15 (C)9,-16 (D)9,-12 解析:函數(shù)的對稱軸為x=3, 所以當x=3時,函數(shù)取得最小值為-16, 當x=-2時,函數(shù)取得最大值為9,故選C. 8.若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),在(-∞,0]上是減函數(shù),且f(2)=0,則使得f(x)<0的x的取值范圍是(　B　) (A)(-∞,2) (B)(-2,2) (C)(2,+∞) (D)(-∞,-2)∪(2,+∞) 解析:由題意知f(-2)=f(2)=0,f(x)的示意圖如圖所示.當x∈(-2,0]

6、時,f(x)

7、B,因為f(x)在(-∞,0]上是增函數(shù),-1>-, 所以f(-1)>f(-),所以B不正確; 對于C,f(2)=f(-2), 因為f(x)在(-∞,0]上是增函數(shù),-2<-, 所以f(2)=f(-2)

8、-x)=-f(x). 所以f(x)=-x2-4x-5=-(x+2)2-1(-4≤x≤-1). 當x=-2時,取最大值-1. 11.已知函數(shù)y=f(x)在R上為奇函數(shù),且當x≥0時,f(x)=x2-2x,則當x<0時,f(x)的解析式是(　A　) (A)f(x)=-x(x+2) (B)f(x)=x(x-2) (C)f(x)=-x(x-2) (D)f(x)=x(x+2) 解析:任取x<0,則-x>0, 因為x≥0時,f(x)=x2-2x, 所以f(-x)=x2+2x, ① 又函數(shù)y=f(x)在R上為奇函數(shù), 所以f(-x)=-f(x), ② 由①②得x<0時,f(x

9、)=-x(x+2).故選A. 12.定義在R上的奇函數(shù)f(x),滿足f()=0,且在(0,+∞)上單調遞減,則xf(x)>0的解集為(　B　) (A){x|x<-或x>} (B){x|0} 解析:函數(shù)為奇函數(shù), 因為f()=0, 所以f(-)=0,不等式xf(x)>0化為或結合函數(shù)圖象可知的解集為0

10、單位得到, 畫出函數(shù)的圖象,如圖, 結合圖象可知該函數(shù)的遞減區(qū)間為(-∞,-1)和(-1,+∞). 答案:(-∞,-1)和(-1,+∞) 14.已知函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù),且f(-1)=2,那么f(0)+ f(1)=　　　　. 解析:因為函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù). 所以f(-x)=-f(x), f(1)=-f(-1)=-2,f(-0)=-f(0), 即f(0)=0, 所以f(0)+f(1)=-2. 答案:-2 15.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x),當x>0時,f(x)=x2+|x|-1,那么x<0時,f(x)=　　　　. 解析:由題意,當x>0時,f(

11、x)=x2+|x|-1=x2+x-1, 當x<0時,-x>0, 所以f(-x)=(-x)2+(-x)-1=x2-x-1, 又因為f(-x)=-f(x),所以-f(x)=x2-x-1, 即f(x)=-x2+x+1. 答案:-x2+x+1 16.若定義在R上的二次函數(shù)f(x)=ax2-4ax+b在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),且f(m)≥f(0),則實數(shù)m的取值范圍是　　　　. 解析:由于f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),所以f(2)>f(0),解得a<0.又因f(x)圖象的對稱軸為x=-=2.所以x在[0,2]上的值域與在[2,4]上的值域相同,所以滿足f(m)≥f(0)的m的取值范

12、圍是0≤m≤4. 答案:[0,4] 三、解答題(共40分) 17.(本小題滿分8分) 已知函數(shù)f(x)=x2-2x-3,若x∈[t,t+2],求函數(shù)f(x)的最值. 解:因為對稱軸為x=1, ①當1≥t+2即t≤-1時, f(x)max=f(t)=t2-2t-3, f(x)min=f(t+2)=t2+2t-3. ②當≤11時,

13、 f(x)max=f(t+2)=t2+2t-3, f(x)min=f(t)=t2-2t-3. 設函數(shù)最大值為g(t),最小值為(t)時,則有 g(t)= (t)= 18.(本小題滿分10分) 已知y=f(x)是奇函數(shù),它在(0,+∞)上是增函數(shù),且f(x)<0,試問F(x)=在(-∞,0)上是增函數(shù)還是減函數(shù)?證明你的結論. 解:F(x)在(-∞,0)上是減函數(shù). 證明如下:任取x1,x2∈(-∞,0),且x1-x2>0. 因為y=f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),且f(x)<0,所以f(-x2)

14、x2)=-f(x2),f(-x1)=-f(x1), ② 由①②得f(x2)>f(x1)>0.于是F(x1)-F(x2)=>0,即F(x1)>F(x2),所以F(x)=在(-∞,0)上是減函數(shù). 19.(本小題滿分10分) 已知函數(shù)f(x)的定義域為D={x|x∈R且x≠0},且滿足對于任意的x1,x2∈D都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2). (1)求f(1)及f(-1)的值; (2)判斷f(x)的奇偶性并證明. 解:(1)令x1=x2=1,得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0,令x1=x2=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1)=0,所以f(-1)=0

15、. (2)f(x)是偶函數(shù).令x1=x,x2=-1,得f(-x)=f(x)+f(-1),即f(-x)= f(x),故對任意的x≠0都有f(-x)=f(x).所以f(x)是偶函數(shù). 20.(本小題滿分12分) 已知函數(shù)f(x)=,若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且f(1)=3,f(2)=5. (1)求函數(shù)f(x)的解析式; (2)若g(x)=3f(x)+,試證明函數(shù)g(x)在(0,1)上是減函數(shù); (3)若不等式g(x)≤m在[,]上恒成立,求m的取值范圍. (1)解:因為f(x)=是奇函數(shù), 所以f(-x)=-f(x). 所以=-. 即=-. 所以-bx+c=-(bx+c).

16、 所以c=-c. 所以c=0. 所以f(x)=. 因為f(1)=3,f(2)=5, 所以=3,=5. 所以a=,b=.所以f(x)=. (2)證明:g(x)=3f(x)+==7(x+). 設x1,x2∈(0,1)且x10. 所以g(x2)-g(x1)<0,g(x2)