《高中數(shù)學 第二章 推理與證明學業(yè)質量標準檢測 新人教A版選修22》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數(shù)學 第二章 推理與證明學業(yè)質量標準檢測 新人教A版選修22（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第二章　學業(yè)質量標準檢測 時間120分鐘，滿分150分． 一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中只有一個是符合題目要求的) 1．(2018運城期中)下列表述正確的是(　D　) ①歸納推理是由特殊到一般的推理； ②演繹推理是由一般到特殊的推理； ③類比推理是由特殊到一般的推理； ④分析法是一種間接證明法． A．①②③④　　　　　 B．②③④ C．①②④ D．①② [解析]　根據(jù)題意，依次分析4個命題： 對于①、歸納推理是由特殊到一般的推理，符合歸納推理的定義，正確； 對于②、演繹推理是由一般到特殊的推理，符合演繹推理的定義，正

2、確； 對于③、類比推理是由特殊到特殊的推理，錯誤； 對于④、分析法、綜合法是常見的直接證明法，④錯誤； 則正確的是①②． 故選D． 2．觀察數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特點，按此規(guī)律，則第100項為(　B　) A．10 B．14 C．13 D．100 [解析]　設n∈N*，則數(shù)字n共有n個， 所以≤100即n(n＋1)≤200， 又因為n∈N*，所以n＝13，到第13個13時共有＝91項，從第92項開始為14，故第100項為14． 3．欲證－<－成立，只需證(　C　) A．(－)2<(－)2 B．(－)2<(－)2 C．(＋)2<(＋)2

3、D．(－－)2<(－)2 [解析]　∵－<0，－<0， ∴原不等式只需證＋<＋， ∴只需證(＋)2<(＋)2，故選C． 4．(2017蚌埠期末)用反證法證明命題“若a2＋b2＝0(a，b∈R)，則a，b全為0”，其反設正確的是(　B　) A．a，b至少有一個為0 B．a，b至少有一個不為0 C．a，b全部為0 D．a，b中只有一個為0 [解析]　由于“a、b全為0(a、b∈R)”的否定為：“a、b至少有一個不為0”，故選B． 5．(2017全國Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績．老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看

4、丙的成績，給丁看甲的成績．看后甲對大家說：我還是不知道我的成績．根據(jù)以上信息，則(　D　) A．乙可以知道四人的成績 B．丁可以知道四人的成績 C．乙、丁可以知道對方的成績 D．乙、丁可以知道自己的成績 [解析]　由甲說：“我還是不知道我的成績”可推知甲看到乙、丙的成績?yōu)椤?個優(yōu)秀，1個良好”．乙看丙的成績，結合甲的說法，丙為“優(yōu)秀”時，乙為“良好”；丙為“良好”時，乙為“優(yōu)秀”，可得乙可以知道自己的成績．丁看甲的成績，結合甲的說法，甲為“優(yōu)秀”時，丁為“良好”；甲為“良好”時，丁為“優(yōu)秀”，可得丁可以知道自己的成績． 故選D． 6．(2016棗莊一模)用數(shù)學歸納法證明“1＋＋＋

5、…＋1)”時，由n＝k(k>1)不等式成立，推證n＝k＋1時，左邊應增加的項數(shù)是(　C　) A．2k－1 B．2k－1 C．2k D．2k＋1 [解析]　左邊的特點是分母逐漸增加1，末項為； 由n＝k時，末項為到n＝k＋1時末項為＝，∴應增加的項數(shù)為2k． 故選C． 7．觀察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，則可歸納出1＋＋＋…＋小于(　C　) A． B． C． D． [解析]　所猜測的分式的分母為n＋1，而分子3,5,7…恰好是第n＋1個正奇數(shù)，即2n＋1．故選C． 8．(2018廣東二模)已知“正三角形的內切圓與三邊相切，切點是各邊

6、的中點”，類比之可以猜想：正四面體的內切球與各面相切，切點是(　C　) A．各面內某邊的中點 B．各面內某條中線的中點 C．各面內某條高的三等分點 D．各面內某條角平分線的四等分點 [解析]　由平面中關于正三角形的內切圓的性質：“正三角形的內切圓切于三邊的中點”，根據(jù)平面上關于正三角形的內切圓的性質類比為空間中關于內切球的性質， 可以推斷在空間幾何中有：“正四面體的內切球切于四面體各正三角形的位置是各正三角形的中心”，即各面內某條高的三等分點． 故選C． 9．已知a＋b＋c＝0，則ab＋bc＋ca的值(　D　) A．大于0 B．小于0 C．不小于0 D．不大于0 [解

7、析]　解法1：∵a＋b＋c＝0， ∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0， ∴ab＋ac＋bc＝－≤0． 解法2：令c＝0，若b＝0，則ab＋bc＋ac＝0，否則a、b異號，∴ab＋bc＋ac＝ab＜0，排除A、B、C，選D． 10．已知a，b，c，d∈R，則P＝ac＋bd，Q＝ 的大小關系為(　D　) A．P≥Q B．P>Q C．Q>P D．Q≥P [解析]　Q2＝(a2＋b2)(c2＋d2) ＝a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2 ＝(ac＋bd)2＋(ad－bc)2≥(ac＋bd)2＝P2， 又∵Q≥0，∴Q≥P． 11．(2016浙江文，5)已知a

8、，b>0，且a≠1，b≠1，若logab>1，則(　D　) A．(a－1)(b－1)<0 B．(a－1)(a－b)>0 C．(b－1)(b－a)<0 D．(b－1)(b－a)>0 [解析]　根據(jù)題意，logab>1?logab－logaa>0?loga>0?或，即或． 當時，0a>1，∴b－1>0，b－a>0．∴(b－1)(b－a)>0，故選D． 12．已知函數(shù)f(x)滿足f(0)＝0，導函數(shù)f ′(x)的圖象如圖所示，則f(x)的圖象與x軸圍成的封閉圖形的面積為(　B　) A． B． C．2 D． [解析]　由f

9、′(x)的圖象知，f ′(x)＝2x＋2， 設f(x)＝x2＋2x＋c，由f(0)＝0知，c＝0，∴f(x)＝x2＋2x， 由x2＋2x＝0得x＝0或－2． 故所求面積S＝－－2(x2＋2x)dx＝＝． 二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上) 13．(2018大武口區(qū)校級一模)甲、乙、丙、丁四人分別從一個裝有編號為1,2,3,4的四個完全相同的小球的袋中依次取出一個小球．現(xiàn)知道：①甲取出的小球編號為偶數(shù)；②乙取出的小球編號比甲大；③乙、丙取出的小球編號差的絕對值比甲大．則丁取出的小球編號是3． [解析]　由①②可知，甲取出的小球編號為2，乙取

10、出的小球編號可能是3或4．又|1－4|＝3＞2，|1－3|＝2， 所以由③可知，乙取出的小球編號是4，丙取出的小球編號是1， 故丁取出的小球編號是3． 故答案為3． 14．(2018晉城二模)設an＝n(n＋1)，利用 n(n＋1)＝求出數(shù)列{an}的前n項和Sn＝，設bn＝n(n＋1)(n＋2)，類比這種方法可以求得數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝． [解析]　bn＝n(n＋1)(n＋2) ＝， 可得數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝[1234－0＋2345－1234＋3456－2345＋n(n＋1)(n＋2)(n＋3)－(n－1)n(n＋1)(n＋2)]＝， 故答案為． 15．(2

11、018沈陽一模)在推導等差數(shù)列前n項和的過程中，我們使用了倒序相加的方法，類比可求得sin21＋sin22＋…＋sin289＝44．5． [解析]　設S＝sin21＋sin22＋…＋sin289， 則S＝sin289＋sin288＋…＋sin21， 兩式倒序相加，得： 2S＝(sin21＋sin289)＋(sin22＋sin288)＋…＋(sin289＋sin21) ＝(sin21＋cos21)＋(sin22＋cos22)＋…＋(sin289＋cos289) ＝89， ∞S＝44．5． 故答案為44．5． 16．(2018靜安區(qū)一模)類似平面直角坐標系，我們把平面內兩條相交但

12、不垂直的數(shù)軸構成的坐標系(兩條數(shù)軸的原點重合于O點且單位長度相同)稱為斜坐標系，在斜坐標系xOy中，若＝xe1＋ye2(其中e1、e2分別為斜坐標系的x軸，y軸正方向上的單位向量，x，y∈R)，則點P的坐標為(x，y)，若在斜坐標系xOy中，∠xOy＝60，點M的坐標為(1,2)，則點M到原點O的距離為． [解析]　由題意可得＝e1＋2e2， 平方可得2＝e＋4e＋4e1e2 ＝1＋4＋411＝7， 可得||＝， 故答案為． 三、解答題(本大題共6個大題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 17．(本題滿分10分)(2016泉州高二檢測)已知a>0，b>0用分析法

13、證明：≥． [證明]　因為a>0，b>0， 要證≥， 只要證，(a＋b)2≥4ab，只要證(a＋b)2－4ab≥0， 即證a2－2ab＋b2≥0， 而a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0恒成立， 故≥成立． 18．(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)滿足下列條件： (1)f()＝1，(2)f(xy)＝f(x)＋f(y)，)(3)f(x)的值域為[－1,1]．試證明：不在f(x)的定義域內． [證明]　假設在f(x)的定義域內，因為f(xy)＝f(x)＋f(y)，所以f()＝f()＝f()＋f()＝2． 又f(x)的值域為[－1,1]，2?[－1,1]， 所以不在函數(shù)f(x)

14、的定義域內． 19．(本題滿分12分)我們知道，在△ABC中，若c2＝a2＋b2，則△ABC是直角三角形．現(xiàn)在請你研究：若cn＝an＋bn(n＞2)，問△ABC為何種三角形？為什么？ [解析]　銳角三角形　∵cn＝an＋bn (n＞2)，∴c＞a, c＞b，由c是△ABC的最大邊，所以要證△ABC是銳角三角形，只需證角C為銳角，即證cosC＞0． ∵cosC＝， ∴要證cosC＞0，只要證a2＋b2＞c2，① 注意到條件：an＋bn＝cn， 于是將①等價變形為：(a2＋b2)cn－2＞cn．② ∵c＞a，c＞b，n＞2，∴cn－2＞an－2，cn－2＞bn－2， 即cn－2－a

15、n－2＞0，cn－2－bn－2＞0， 從而(a2＋b2)cn－2－cn＝(a2＋b2)cn－2－an－bn ＝a2(cn－2－an－2)＋b2(cn－2－bn－2)＞0， 這說明②式成立，從而①式也成立． 故cosC＞0，C是銳角，△ABC為銳角三角形． 20．(本題滿分12分)某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)： ①sin213＋cos217－sin13cos17； ②sin215＋cos215－sin15cos15； ③sin218＋cos212－sin18cos12； ④sin2(－18)＋cos248－sin(－18)cos48； ⑤si

16、n2(－25)＋cos255－sin(－25)cos55． (1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)； (2)根據(jù)(1)的計算結果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結論． [解析]　(1)選擇②式，計算如下： sin215＋cos215－sin15cos15 ＝1－sin30＝1－＝． (2)推廣后的三角恒等式為 sin2α＋cos2(30－α)－sinαcos(30－α)＝． 證明如下： sin2α＋cos2(30－α)－sinαcos(30－α) ＝sin2α＋(cos30cosα＋sin30sinα)2－sinα(cos30cosα＋sin30sinα

17、) ＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α ＝sin2α＋cos2α＝． 21．(本題滿分12分)橢圓與雙曲線有許多優(yōu)美的對稱性質．對于橢圓＋＝1(a＞b＞0)有如下命題：AB是橢圓＋＝1(a＞b＞0)的不平行于對稱軸且不過原點的弦，M為AB的中點，則kOMkAB＝－為定值．那么對于雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)，則有命題：AB是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的不平行于對稱軸且不過原點的弦，M為AB的中點，猜想kOMkAB的值，并證明． [解析]　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，則有 kOM＝＝，kAB＝，

18、即kOMkAB＝＝． 將A、B坐標代入雙曲線方程－＝1中可得： －＝1① －＝1② ①－②得：＝， ∴＝，即kOMkAB＝． 22．(本題滿分14分)(2017馬鞍山高二檢測)已知數(shù)列{xn}滿足x1＝，xn＋1＝，n∈N* ．猜想數(shù)列{x2n}的單調性，并證明你的結論． [解析]　由x1＝及xn＋1＝，得x2＝，x4＝，x6＝， 由x2>x4>x6猜想：數(shù)列{x2n}是遞減數(shù)列． 下面用數(shù)學歸納法證明： (1)當n＝1時，已證命題成立． (2)假設當n＝k時命題成立，即x2k>x2k＋2，那么x2k＋2－x2k＋4＝－＝ ＝＝ >0， 即x2(k＋1)>x2(k＋1)＋2， 也就是說，當n＝k＋1時命題也成立．結合(1)和(2)知命題成立． 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375