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高中數(shù)學 章末綜合測評2 隨機變量及其分布 新人教A版選修23

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1、 章末綜合測評(二) 隨機變量及其分布 (時間120分鐘,滿分150分) 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的) 1.下列說法不正確的是(  ) A.某輛汽車一年中發(fā)生事故的次數(shù)是一個離散型隨機變量 B.正態(tài)分布隨機變量等于一個特定實數(shù)的概率為0 C.公式E(X)=np可以用來計算離散型隨機變量的均值 D.從一副撲克牌中隨機抽取5張,其中梅花的張數(shù)服從超幾何分布 C [公式E(X)=np并不適用于所有的離散型隨機變量的均值的計算,適用于二項分布的均值的計算.故選C.] 2.某一供電網(wǎng)絡,有n個用電單位,每個單

2、位在一天中使用電的機會是p,供電網(wǎng)絡中一天平均用電的單位個數(shù)是(  ) 【導學號:95032222】 A.np(1-p)     B.np C.n D.p(1-p) B [依題意知,用電單位X~B(n,p),所以E(X)=np.] 3.設隨機變量X的分布列為P(X=k)=m,k=1,2,3,則m的值為(  ) A. B. C. D. B [P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,由離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)知P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1,即++=1,解得m=.] 4.已知ξ的分布列為 ξ -1 0 1 2 P 則

3、ξ的均值為(  ) A.0 B.-1 C. D. D [E(ξ)=-1+0+1+2=.] 5.一道競賽題,A,B,C三人可解出的概率依次為,,,若三人獨立解答,則僅有1人解出的概率為(  ) 【導學號:95032223】 A. B. C. D.1 B [P=P(A)+P(B)+P(C)=++=.] 6.若隨機變量X服從正態(tài)分布,其正態(tài)曲線上的最高點的坐標是,則該隨機變量的方差等于(  ) A.10 B.100 C. D. C [由正態(tài)分布密度曲線上的最高點知=,即σ=, ∴D(X)=σ2=.] 7.已知ξ~B,η~B,且E(ξ)=15,則E(3η+6)

4、等于(  ) 【導學號:95032224】 A.30 B.16 C.36 D.10 C [因為ξ~B,所以E(ξ)=.又E(ξ)=15,則n=30,所以η~B.故E(η)=30=10. ∴E(3η+6)=3E(η)+6=36] 8.如果隨機變量X~N(4,1),則P(X≤2)等于(  ) (注:P(μ-2σ

5、正品和4件次品的產(chǎn)品進行檢測,不放回地依次摸出2件.在第一次摸到正品的條件下,第二次也摸到正品的概率是(  ) A. B. C. D. D [記“第一次摸到正品”為事件A,“第二次摸到正品”為事件B,則P(A)==,P(AB)==.故P(B|A)==.] 10.盒中有10只螺絲釘,其中有3只是壞的,現(xiàn)從盒中隨機地抽取4個,那么概率是的事件為(  ) 【導學號:95032225】 A.恰有1只是壞的 B.4只全是好的 C.恰有2只是好的 D.至多有2只是壞的 C [X=k表示取出的螺絲釘恰有k只為好的,則P(X=k)=(k=1,2,3,4). ∴P(X=1)=,P(X

6、=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,故表示恰好有2個是好的.] 11.已知隨機變量X的概率分布列如下表: X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P m 則P(X=10)=(  ) A. B. C. D. C [由離散型隨機變量分布列的性質(zhì)可知 +++…++m=1, ∴m=1- =1-2==.] 12.某商家進行促銷活動,促銷方案是:顧客每消費1 000元,便可以獲得獎券一張,每張獎券中獎的概率為,若中獎,則商家返還中獎顧客現(xiàn)金1 000元.小王購買一套價格為2 400元的西服,只能得到2張獎券,于

7、是小王補償50元給一同事購買一件價格為600元的便服,這樣小王就得到了3張獎券.設小王這次消費的實際支出為ξ(元),則E(ξ)等于(  ) 【導學號:95032226】 A.1 850元 B.1 720元 C.1 560元 D.1 480元 A [P(ξ=2 450)==, P(ξ=1 450)=C=, P(ξ=450)=C=, P(ξ=-550)=C=. E(ξ)=2 450+1 450+450+(-550)=1 850(元).] 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.將答案填在題中的橫線上) 13.有一道數(shù)學難題,在半小時內(nèi),甲能解決的概率是,乙能解決

8、的概率是,2人試圖獨立地在半小時內(nèi)解決它,則兩人都未解決的概率為________.  [都未解決的概率為==.] 14.同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣,當至少有一枚硬幣正面向上時,就說這次試驗成功,則在2次試驗中成功次數(shù)X的均值是________. 【導學號:95032227】  [法一(直接法):由題意可知每次試驗不成功的概率為,成功的概率為,在2次試驗中成功次數(shù)X的可能取值為0,1,2,則P(X=0)=,P(X=1)=C=,P(X=2)==. 所以在2次試驗中成功次數(shù)X的分布列為 X 0 1 2 P 則在2次試驗中成功次數(shù)X的均值為 E(X)=0+1+2=

9、. 法二(公式法):此試驗滿足二項分布,其中p=,所以在2次試驗中成功次數(shù)X的均值為E(X)=np=2=.] 15.據(jù)抽樣統(tǒng)計,在某市的公務員考試中,考生的綜合評分X服從正態(tài)分布N(60,102),考生共10 000人,若一考生的綜合評分為80分,則該考生的綜合成績在所有考生中的名次是第________名. 229 [依題意,P(60-2080)=(1-0.954 5)≈0.022 8,故成績高于80分的考生人數(shù)為10 0000.022 8=228(人). 所以該生的綜合成績在所有考生中的名次是第229名.] 16.甲罐中有5個紅球,2個白

10、球和3個黑球,乙罐中有4個紅球,3個白球和3個黑球.先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐,分別以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球,白球和黑球的事件;再從乙罐中隨機取出一球,以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件.則下列結(jié)論中正確的是________(寫出所有正確結(jié)論的編號). ①P(B)=; ②P(B|A1)=; ③事件B與事件A1相互獨立; ④A1,A2,A3是兩兩互斥的事件; ⑤P(B)的值不能確定,因為它與A1,A2,A3中究竟哪一個發(fā)生有關. 【導學號:95032228】 ②④ [從甲罐中取出一球放入乙罐,則A1,A2,A3中任意兩個事件不可能同時發(fā)生,即A1,A2,A3

11、兩兩互斥,故④正確,易知P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,則P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=,故②對③錯;∴P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=++=,故①⑤錯誤.綜上知,正確結(jié)論的序號為②④.] 三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17.(本小題滿分10分)甲、乙兩名跳高運動員一次試跳2米高度成功的概率分別是0.7、0.6,且每次試跳成功與否相互之間沒有影響,求: (1)甲試跳三次,第三次才成功的概率; (2)甲、乙兩人

12、在第一次試跳中至少有一人成功的概率. [解] 記“甲第i次試跳成功”為事件Ai,“乙第i次試跳成功”為事件Bi,依題意得P(Ai)=0.7,P(Bi)=0.6,且Ai,Bi(i=1,2,3)相互獨立. (1)“甲第三次試跳才成功”為事件A3,且三次試跳相互獨立,則P( A3)=P()P()P(A3)=0.30.30.7=0.063.所以甲第三次試跳才成功的概率為0.063. (2)設“甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功”為事件C. 法一 (直接法)因為C=A1+B1+A1B1,且A1,B1,A1B1彼此互斥, 所以P(C)=P(A1)+P(B1)+P(A1B1)=P(A1)P()

13、+P()P(B1)+P(A1)P(B1)=0.70.4+0.30.6+0.70.6=0.88. 法二 (間接法)P(C)=1-P()P()=1-0.30.4=0.88. 所以甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率為0.88. 18.(本小題滿分12分)甲,乙兩名工人加工同一種零件,兩人每天加工的零件數(shù)相同,所得次品數(shù)分別為X,Y,X和Y的分布列如下表.試對這兩名工人的技術水平進行比較. 【導學號:95032229】 X 0 1 2 P Y 0 1 2 P [解] 工人甲生產(chǎn)出次品數(shù)X的數(shù)學期望和方差分別為E(X)=0+1+2=0

14、.7, D(X)=(0-0.7)2+(1-0.7)2+(2-0.7)2=0.81. 工人乙生產(chǎn)出次品數(shù)Y的數(shù)學期望和方差分別為 E(Y)=0+1+2=0.7, D(Y)=(0-0.7)2+(1-0.7)2+(2-0.7)2=0.61. 由E(X)=E(Y)知,兩人生產(chǎn)出次品的平均數(shù)相同,技術水平相當,但D(X)>D(Y),可見乙的技術比較穩(wěn)定. 19.(本小題滿分12分)已知2件次品和3件正品混放在一起,現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分,每次隨機檢測一件產(chǎn)品,檢測后不放回,直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束. (1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率; (2)

15、已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元,設X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位:元),求X的分布列. [解] (1)記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A,P(A)==. (2)X的可能取值為200,300,400. P(X=200)==, P(X=300)==, P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1--=. 故X的分布列為 X 200 300 400 P 20.(本小題滿分12分)一盒中裝有9張各寫有一個數(shù)字的卡片,其中4張卡片上的數(shù)字是1,3張卡片上的數(shù)字是2,2張卡片上的數(shù)字是3.從盒

16、中任取3張卡片. (1)求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率; (2)X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù),求X的分布列與數(shù)學期望. (注:若三個數(shù)a,b,c滿足a≤b≤c,則稱b為這三個數(shù)的中位數(shù)) [解] (1)由古典概型的概率計算公式知所求概率為 P==. (2)X的所有可能值為1,2,3,且 P(X=1)==, P(X=2)==, P(X=3)==. 故X的分布列為 X 1 2 3 P 從而E(X)=1+2+3=. 21.(本小題滿分12分)現(xiàn)有6個節(jié)目準備參加比賽,其中4個舞蹈節(jié)目,2個語言類節(jié)目,如果不放回地依次抽取2個節(jié)目,求: (1

17、)第1次抽到舞蹈節(jié)目的概率; (2)第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的概率; (3)在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下,第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率. 【導學號:95032230】 [解] 設第1次抽到舞蹈節(jié)目為事件A,第2次抽到舞蹈節(jié)目為事件B,則第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目為事件AB. (1)從6個節(jié)目中不放回地依次抽取2個的事件數(shù)為n(Ω)=A=30, 根據(jù)分步計數(shù)原理n(A)=AA=20,于是P(A)===. (2)因為n(AB)=A=12,于是P(AB)===. (3)法一(公式法):由(1)(2)可得,在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下,第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率為 P(B|A)==

18、=. 法二:(直接法)因為n(AB)=12,n(A)=20, 所以P(B|A)===. 22.(本小題滿分12分)北京市政府為做好APEC會議接待服務工作,對可能遭受污染的某海產(chǎn)品在進入餐飲區(qū)前必須進行兩輪檢測,只有兩輪都合格才能進行銷售,否則不能銷售.已知該海產(chǎn)品第一輪檢測不合格的概率為 ,第二輪檢測不合格的概率為,兩輪檢測是否合格相互沒有影響. (1)求該海產(chǎn)品不能銷售的概率; (2)如果該海產(chǎn)品可以銷售,則每件產(chǎn)品可獲利40元;如果該海產(chǎn)品不能銷售,則每件產(chǎn)品虧損80元(即獲利-80元).已知一箱中有該海產(chǎn)品4件,記一箱該海產(chǎn)品獲利ξ元,求ξ的分布列,并求出均值E(ξ).

19、 【導學號:95032231】 [解] (1)設“該海產(chǎn)品不能銷售”為事件A, 則P(A)=1-=. 所以,該海產(chǎn)品不能銷售的概率為. (2)由已知,可知ξ的可能取值為-320,-200,-80,40,160. P(ξ=-320)==, P(ξ=-200)=C=, P(ξ=-80)=C=, P(ξ=40)=C=, P(ξ=160)==. 所以ξ的分布列為 ξ -320 -200 -80 40 160 P E(ξ)=-320-200-80+40+160=40. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375

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