3、變力F(x)所做的功為 W＝F(x)dx.
[基礎(chǔ)自測]
1．思考辨析
(1)函數(shù)y＝f(x)，x∈[a，b ]與x軸圍成的圖形的面積S＝f(x)dx.( )
(2)若物體的運動速度v＝5－2t，則其在1≤t≤3內(nèi)的路程S＝(5－2t)dt.
( )
(3)曲線y＝x3與直線x＋y＝2，y＝0圍成的圖形面積為x3dx＋(2－x)dx.( )
(4)曲線y＝3－x2與直線y＝－1圍成的圖形面積為 (4－x2)dx.( )
[答案] (1) (2) (3)√ (4)√
2．曲線y＝x3與直線y＝x所圍成的圖形的面積等于( )
【導學號：31062099】
C
4、 [由題意知，由y＝x3及y＝x所圍成的圖形如圖所示．
顯然S＝2(x－x3)dx.]
3．一物體沿直線以v＝3t＋2(t單位：s，v單位：m/s)的速度運動，則該物體在3～6 s間的運動路程為( )
【導學號：31062100】
A．46 m B．46.5 m
C．87 m D．47 m
B [s＝(3t＋2)dt＝
＝(54＋12)－＝46.5(m)．]
4．一物體在力F(x)＝4x－1(單位：N)的作用下，沿著與力F(x)相同的方向，從x＝1處運動到x＝3處(單位：m)，則力F(x)所作的功為________J.
[解析] 由題意可知，力F(x)所作的
5、功
W＝F(x)dx＝(4x－1)dx＝(2x2－x)
＝14 J.
[答案] 14
[合 作 探 究攻 重 難]
利用定積分求平面圖形的面積問題
[探究問題]
觀察圖形，完成下列探究問題：
圖172
1．圖中陰影部分的面積能否用定積分[－(x－4)]dx表示？為什么？
提示：不能．由定積分的幾何意義可知，當x∈[0,8]時，被積函數(shù)y＝－(x－4)表示的圖形如圖所示：
2．若以x為積分變量，如何用定積分表示圖形中陰影部分的面積？
提示：S＝2dx＋[－(x－4)]dx.
3．能否以y為積分變量，用定積分表示圖形中陰影部分的面積？
提示：能．可表示為S＝
6、dy.
(1)已知函數(shù)y＝x2與y＝kx(k>0)的圖象所圍成的陰影部分(如圖173所示)的面積為，則k＝________.
圖173
(2)求由曲線y＝，y＝2－x，y＝－x所圍成的圖形的面積．
[解] (1)由解得 或
故陰影部分的面積為(kx－x2)dx ＝＝k3－k3＝k3＝，解得k＝2.
(2)畫出圖形，如圖所示．
解方程組
及
得交點坐標分別為(1,1)，(0,0)，(3，－1)，
所以S＝dx＋(2－x)－dx＝dx＋dx
＝＋
＝＋＋
＝＋6－9－2＋＝.
母題探究：1.(變條件)把本例(1)的條件變?yōu)椤叭鐖D174，已知點A，點P(x0，y
7、0)(x0＞0)在曲線y＝x2上，若陰影部分的面積與△OAP的面積相等”，則x0＝________.
圖174
[解] 由題意知
即x0＝x，
解得x0＝或x0＝－或x0＝0.
∵x0＞0，∴x0＝.
2．(變條件)把本例(1)的條件變?yōu)椤扒€y＝x2在點P(2,4)處的切線與曲線及x軸所圍成的圖形面積為S”，求S.
[解] ∵y′|x＝2＝4，故曲線在P點處的切線方程為y－4＝4(x－2)，即y＝4x－4，故所求面積S＝x2dx＋(x2－4x＋4)dx＝x3＋＝.
3．(變條件)把本例(2)的條件改為“求由曲線y2＝x，y＝2－x所圍成的圖形的面積．”
[解] 由得
8、或
∴陰影部分的面積
S＝ (2－y－y2)dy
＝
＝－＝.
[規(guī)律方法]
求曲邊梯形面積的一般步驟如下：
求變速直線運動的路程
有一動點P沿x軸運動，在時間t時的速度為v(t)＝8t－2t2(速度的正方向與x軸正方向一致)．求：
(1)P從原點出發(fā)，當t＝6時，求點P移動的路程和離開原點的位移；
(2)P從原點出發(fā)，經(jīng)過時間t后又返回原點時的t值.
【導學號：31062101】
[解] (1)由v(t)＝8t－2t2≥0得0≤t≤4，
即當0≤t≤4時，P點向x軸正方向運動，
當t＞4時，P點向x軸負方向運動．
故t＝6時，點P移動的路程
s
9、1＝(8t－2t2)dt－(8t－2t2)dt
＝－
＝.
當t＝6時，點P的位移為
(8t－2t2)dt＝＝0.
(2)依題意(8t－2t2)dt＝0，
即4t2－t3＝0，
解得t＝0或t＝6，
t＝0對應于P點剛開始從原點出發(fā)的情況，t＝6是從原點出發(fā)，又返回原點所用的時間．
[規(guī)律方法] 做變速直線運動的物體，從時刻t＝a到時刻t＝b(a＜b)所經(jīng)過的路程s和位移s′情況如下：
(1)若v(t)≥0，
則s＝v(t)dt；s′＝v(t)dt.即s＝s′.
(2)若v(t)≤0，
則s＝－v(t)dt；s′＝v(t)dt.即s＝－s′.
(3)若在區(qū)間
10、[a，c]上，v(t)≥0，在區(qū)間[c，b]上v(t)＜0，則s＝v(t)dt－v(t)dt，s′＝v(t)dt.所以求路程時要事先求得速度的正負區(qū)間.
[跟蹤訓練]
1．有一輛汽車以每小時36 km的速度沿平直的公路行駛，在B處需要減速停車．設汽車以2 m/s2的加速度剎車，問：從開始剎車到停車，汽車行駛了多遠？
[解] 設從開始剎車到停車，汽車經(jīng)過了t s.
v0＝36 km/h＝10 m/s，v(t)＝v0－at＝10－2t.
令v(t)＝0，解得t＝5.
所以從開始剎車到停車，汽車行駛的路程為s＝(10－2t)dt＝(10t－t2) ＝25(m)．
故從開始剎車到停車，
11、汽車行駛了25 m.
求變力做功
設有一個長為25 cm的彈簧，若加以100 N的力，則彈簧伸長到30 cm，求使彈簧由25 cm伸長到40 cm所做的功．
[解] 設x表示彈簧伸長的長度，f(x)表示加在彈簧上的力，則f(x)＝kx(其中常數(shù)k為比例系數(shù))．
因為當f(x)＝100時，x＝5，所以k＝20.
所以f(x)＝20x.
彈簧由25 cm伸長到40 cm時，彈簧伸長的長度x從0 cm變化到15 cm，故所做的功
W＝20xdx＝10x2＝2 250(Ncm)＝22.5(J)．
[規(guī)律方法] 求變力做功的方法步驟
(1)要明確變力的函數(shù)式F(x)，確定物體在
12、力的方向上的位移．
(2)利用變力做功的公式W＝F(x)dx計算．
(3)注意必須將力與位移的單位換算為牛頓與米，功的單位才為焦耳．
[跟蹤訓練]
2．一物體在力F(x)＝(單位：N)的作用下沿與力F相同的方向，從x＝0處運動到x＝4(單位：m)處，則力F(x)做的功為( )
A．10 J B．12 J
C．14 J D．16 J
B [W＝2dx＋(2x－2)dx＝2x＋(x2－2x) ＝4＋(16－8－4＋4)＝12(J)．]
[當 堂 達 標固 雙 基]
1．在下面所給圖形的面積S及相應表達式中，正確的有( )
S＝[f(x)－g(x)]dx
13、S＝(2－2x＋8)dx
① ?、?
③ ④
圖175
A．①③ B．②③
C．①④ D．③④
D [①錯誤，S＝[f(x)－g(x)]dx；
②錯誤，S＝2dx＋(2－2x＋8)dx；
③④正確．]
2．曲線y＝cos x與坐標軸所圍圖形的面積是( )
【導學號：31062102】
A．2 B．3
C． D．4
B [S＝
＝sin －sin 0－sin ＋sin ＝1－0＋1＋1＝3.]
3．一列車沿直線軌道前進，剎車后列車速度v(t)＝27－0.9t，則列車剎車后前進多少米才能停車( )
A．4
14、05 B．540
C．810 D．945
A [停車時v(t)＝0，由27－0.9t＝0，得t＝30，
∴s＝v(t)dt＝ (27－0.9t)dt＝(27t－0.45t2) ＝405.]
4．設a＞0，若曲線y＝與直線x＝a，y＝0所圍成封閉圖形的面積為a2，則a＝________.
[解析] 由已知得S＝＝a2，
所以a＝，所以a＝.
[答案]
5．一物體在變力F(x)＝(N)的作用下沿坐標平面內(nèi)x軸的正方向由x＝8 m處運動到x＝18 m處，求力F(x)在這一過程中所做的功．
[解] 由題意得力F(x)在這一過程中所做的功為F(x)在[8,18]上的定積分，從而
W＝F(x)dx＝－36x－1＝(－3618－1)－(－368－1)＝(－2)－＝(J)．
從而可得力F(x)在這一過程中所做的功為 J.
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 1.7 定積分的簡單應用 1.7.1 定積分在幾何中的應用 1.7.2 定積分在物理中的應用學案 新人教A版選修22
