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1、 壓縮映射原理及其應(yīng)用 摘 要: 本文較詳細(xì)地論述了Banach空間中的壓縮映射原理，以及它在關(guān)于一些問題的解的存在唯一性定理證明中的廣泛應(yīng)用。 關(guān)鍵詞: 抽象函數(shù),不動點(diǎn),壓縮映射,抽象微分方程,隱函數(shù)存在性理 引 言: 壓縮映射原理的研究是算子方程Fx=x的求解問題，它不僅具有實(shí) 義，而且對泛函分析理論的發(fā)展起著重大作用。 我們首先介紹不動點(diǎn)和壓縮映射的定義以及壓縮映射原理，并在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步給出一個(gè)推廣的壓縮映射原理。壓縮映射原理不僅指出了算子方程x=Fx的解的存在性和唯一性，而且給出了近似求解的方法及誤差估計(jì)，因而是很有用的。微分方程初值問題的解的存在唯一性

2、定理及畢卡(Picard)逐次逼近法就是它的特例。在Banach空間中這一問題將更為普遍。數(shù)學(xué)分析中的隱函數(shù)存在定理也是壓縮映射原理的一個(gè)特例。 一、幾個(gè)定義及壓縮映射原理 定義1 設(shè)X，Y為巴拿赫空間，算子（一般地，F(xiàn)是非線性的）。如果存在有界線性算子使得關(guān)系式 對于滿足的是一致成立的，則稱算子F在點(diǎn)處是弗力許（Frchet）可微的，并記，稱為算子F在點(diǎn)處的弗力許導(dǎo)數(shù)。 為了給出關(guān)于算子的有限增量公式（相當(dāng)于中值定理），我們引入關(guān)于抽象函數(shù)的積分的概念。 設(shè)x(t)是由實(shí)數(shù)域到巴拿赫空間X的算子。這種算子通常稱為“抽象函數(shù)”?，F(xiàn)設(shè)x(t)的定義域是區(qū)間[a，b]。將[a

3、，b]分成n個(gè)小區(qū)間，分點(diǎn)為 記此分劃為，及在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作和式 (*) 定義2 如果對任意的分劃及的任意取法，當(dāng)時(shí)和式(*)都收斂（在X中范數(shù)意義下）于同一個(gè)元素，則抽象函數(shù)x(t)在[a，b]上黎蔓可積的，r稱為x(t)在[a，b]上的黎蔓積分，記為 性質(zhì)1 設(shè)抽象函數(shù)x(t)黎蔓可積，則抽象函數(shù)在[a，b]上弗力許可薇，且 (**) 定義3 設(shè)X為巴拿赫空間，F(xiàn)為由X到X的算子，且D(F)R(F)非空。如果x*∈X滿足 F(x*)=x* 則稱x*為算子F的不動點(diǎn)。換句話說，不動點(diǎn)x*是算子方程 x=F(x

4、) (1) 的解。 定義4 設(shè)集合，如果存在常數(shù)q∈(0，1)，使得對任意的均有不等式 ||F()-F()||≤q||-|| (2) 則稱F為集合Q上的壓縮算子，q稱為壓縮系數(shù)。 定理1(壓縮映射原理) 設(shè)算子F映巴拿赫空間X中的閉集Q為自己。且F為Q上的壓縮算子，壓縮系數(shù)為q，則算子F在Q內(nèi)存在唯一的不動點(diǎn)。若為Q中任意一點(diǎn)，作序列 （3） 則序列且。并有誤差估計(jì) (4) 證明：由于FQ故設(shè)利用算子F的壓縮性，可依次得到:

5、 （5） 現(xiàn)在估計(jì)。利用(5)式可得到 即 （6） 由此可知{}是柯西點(diǎn)列，由X的完備性知存在使得又因Q是閉集故 現(xiàn)在證明是算子F的不動點(diǎn)，由算子F在Q上的壓縮性知其在Q上連續(xù)。事實(shí)上，如果則由式(2)知F(于是在式(3)中令n。即得 再證的唯一性。設(shè)若另有一不動點(diǎn)則 由于q故上式只能在時(shí)成立于是x=至于估計(jì)式（4）的證明只需在式（6）中令p。證畢。 壓縮映射原理最常用的兩種特殊情形是Q=X及Q=--

6、--X中的閉球。對于后者，如下列推論所述 推論1設(shè)F為閉球上的壓縮算子，壓縮系數(shù)為q，R（F）且 （7） 則F在中有唯一不動點(diǎn)且序列（3）收斂于，收斂速度為式（4），初始近似可在中任取。 證明 ： 只要證F映為自己。如果x即則。 二、推廣的壓縮映射原理 設(shè)算子F映集合Q為自己。對任一自然數(shù)n，算子F的n次冪定義為:當(dāng)x時(shí)令如果已經(jīng)定義，則令 定理2 設(shè)算子F映閉集Q為自己且對某一自然數(shù)k算子為Q上的壓縮算子則F在Q中存在唯一的不動點(diǎn)逼近序列（3）收斂于初始近似為任意。 證明 ： 當(dāng)k=1時(shí)即為定理1?，F(xiàn)

7、設(shè)k。考察算子G=，根據(jù)定理1，G在Q上有唯一的不動點(diǎn)，因?yàn)樗阕覨與G在Q上可交換，故有 G（F（））=F（G（ 此即表明F（也是G的不動點(diǎn)。但G的不動點(diǎn)是唯一的，故F（即也是F的不動點(diǎn)。下證唯一。如果另有，滿足，則。但G的不動點(diǎn)是唯一的，故=。證畢。 三、壓縮映射原理的應(yīng)用 在微分方程，積分方程以及其它各類方程的理論中，解的存在性唯一性以及近似解的收斂性等都是很重要的問題。為了證明一個(gè)微分方程,積分方程或其它類型的方程存在解。我們可以將它變成求某一映射的不動點(diǎn)?，F(xiàn)在以大家熟悉的一階常微分方程 (8) 為例來說明這一點(diǎn)。求微分方程（8）滿足初始條件的解與求解積

8、分方程 等價(jià)。為了求解積分方程（9），我們可以根據(jù)f（x，y）所滿足解析條件適當(dāng)?shù)厝∫粋€(gè)度量空間，并在這個(gè)度量空間中作映射， 于是方程（9）的解就轉(zhuǎn)化為求使它滿足。也就是求出這樣的，它經(jīng)映射T作用后仍變?yōu)?，這種稱為映射T的不動點(diǎn)。因此求解方程（8）就變成求映射T的不動點(diǎn)。 考察微分方程 (10) 其中f(x，y)在整

9、個(gè)平面內(nèi)連續(xù)，此外還設(shè)f(x，y)關(guān)于y滿足李普希茨條件： 則通過點(diǎn)微分方程（10）有一條且只有一條積分曲線。 證明 ： 問題（10）等價(jià)于求解下面的積分方程 我們?nèi)∈褂帽硎驹趨^(qū)間上的連續(xù)函數(shù)組成的空間，在中定義算子(映射)F: 則 因，由壓縮映射原理，存在唯一的連續(xù)函數(shù)y(x)，使 由此可以看出，y(t)還是連續(xù)可微的，于是y=y(t)便是微分方程(10)通過的積分曲線。但只定義在上，重復(fù)利用壓縮映射原理，可以將它延拓到整個(gè)數(shù)軸上。 四、巴拿赫空間中的微分方程 對于微分方程初值問題的解的各種存在唯一定理，利用壓縮映射原理，可以給出一種很簡單的證明。下面我們在巴

10、拿赫空間中討論這一問題，這樣做具有普遍性，卻并不增加證明的復(fù)雜性。 設(shè)x(t)為從實(shí)數(shù)域到某一巴拿赫空間X的抽象函數(shù).我們要討論的是非線性微分方程 (11) 其中F(t,x)是關(guān)于兩個(gè)變元的非線性算子,實(shí)變量,而x是X的元素.F的值域也在X中.的意義與通常理解的相同: 現(xiàn)在假設(shè)F為已知,所謂微分方程(11)的初值問題是指求x(t),它滿足(11)及初始條件 (12) 其中。 定理3 設(shè)當(dāng)x為固定且時(shí)F(t，x)在上連續(xù)，而當(dāng)及時(shí)有 (13)

11、 (14) 則在[0，a]上初值問題(11)，(12)存在唯一解x(t)，且（當(dāng)時(shí)）。 證明： 所討論的問題等價(jià)于積分方程 (15) 事實(shí)上，設(shè)x(t)是初值問題(11)，(12)的解，則可將x(t)代入方程(15)，再從0到t積分，考慮到條件(12)，即得式（15），反之設(shè)x(t)滿足方程（15），注意到當(dāng)時(shí)抽象函數(shù)F(s，x(s))連續(xù)，這是因?yàn)? 又根據(jù)x(t)的連續(xù)及F(t，x)對t的連續(xù)性，當(dāng)且時(shí)上式右端的兩項(xiàng)均趨于零。根據(jù)式(**)即知 表明x(t)是問題(11)(12)的解。因此，初值問題(11)(12)等價(jià)于求方

12、程(15)的解。 記在[0，a]上連續(xù)，在X中取值的抽象函數(shù)x(t)的全體所構(gòu)成的巴拿赫空間為，其范數(shù)定義為 考察在中的閉球 則非線性算子 映為自己。這是因?yàn)? 其中用到了不等式(13)及a的定義。同時(shí)，是上的壓縮算子，這是因?yàn)橛蓷l件（14）知 其中q=al<1（由a之定義）。于是利用壓縮映射原理，方程（15）在球中存在唯一解x(t)。定理得證。 這一定理的不足之處是初值問題（11），（12）的解僅確定在[0，a]上而不是在[0，b]上。對于算子F(t，x)附加以較強(qiáng)條件時(shí)可以彌補(bǔ)這個(gè)缺陷。 定理4 設(shè)算子F(t,x)對每一固定的x,關(guān)于連續(xù)且滿足李普希茨

13、條件: 則初值問題(11)、（12）在[0,b]上存在唯一解. 我們給出兩種證明它們都很簡單而富有啟發(fā)性. 第一種證明 如上所述，可等價(jià)地討論積分方程（15）。 在巴拿赫空間中考察積分算子 我們有下列估計(jì) 由此又有 一般地，我們有 在[0，b]上取最大值，得到 由于當(dāng)時(shí)故對于充分大的n，是中的壓縮算子。于是定理得證. 第二種證明 在巴拿赫空間中引入另一種范數(shù) (顯然)。我們證明積分算子是這種范數(shù)下的壓縮算子。事

14、實(shí)上 乘以因子，再在[0，b]上取max，得到 故壓縮系數(shù)為。定理得證 五、一個(gè)特例----隱函數(shù)存在定理 定理5 設(shè)函數(shù)在帶狀域 ， 中處處連續(xù),且處處有關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù).如果還存在常數(shù)m和M,滿足 ， m

15、分中值定理，存在滿足 由于，所以令，則有0>[M]，國防工業(yè)出

16、版社，1986； [7]葉懷安，《泛函分析》[M]，安徽教育出版社，1984； [8]程其襄等，<〈實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)〉>[M]，高教出版社，1984； [9]張鳴歧，<〈應(yīng)用泛函分析引論〉>[M]，北京理工大學(xué)出版社，1989。 Abstract: This paper expound the fact compression of Banach shine upon principle ， and about store it in in detail。 Keywords: Abstract function; Do not move a bit; Compress and shine upon; Abstract differential equation; Having theorem of implicit function 10