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1、一類生物種群模型及其穩(wěn)定性 摘 要：本文討論一類種群發(fā)展方程，建立了年齡依賴種群系統(tǒng)的連續(xù)模型，半離散模型和離散化模型，并由特征值簡要討論了它們的穩(wěn)定性。 關(guān)鍵詞：種群模型，半離散，穩(wěn)定性，特征值 引 言： 在自然界中生存的各種生物種群的發(fā)展受到各種影響，本文就年齡結(jié)構(gòu)變化對(duì)單一生物種群的發(fā)展影響進(jìn)行分析建模，結(jié)合[1]文，為討論方便，我們假設(shè)在一穩(wěn)定狀態(tài)環(huán)境中生物的生存條件僅受年齡結(jié)構(gòu)變化限制，由此得出以下幾種模型。 1、線性種群發(fā)展方程 線性種群發(fā)展方程是分析、預(yù)測和定量控制的基礎(chǔ)。在一穩(wěn)定的狀態(tài)環(huán)境中， 用r表示年齡，t表示時(shí)間，r, t皆為連續(xù)變化量，用表示t時(shí)刻

2、年齡小于r的種群總數(shù)。顯然且當(dāng)時(shí)， ，即對(duì)于固定的t為r的單調(diào)增函數(shù)，稱為種群函數(shù)。表示t時(shí)刻種群函數(shù)，m記為種群所能達(dá)到的最高年齡，則有的定義，易知=。當(dāng)r, t都連續(xù)變化時(shí)，是r, t 的連續(xù)函數(shù)，假設(shè)的一階偏導(dǎo)數(shù)，都是一元連續(xù)函數(shù)。設(shè)=，稱為種群按年齡分布函數(shù)簡稱種群密度函數(shù)，由的單調(diào)性知且。 設(shè)為充分小的年齡空間，>0時(shí)，則t時(shí)刻年齡在r和+r之間的種群 總數(shù)為，另外有=，== t時(shí)刻年齡在和（>）之間的種群總數(shù)為 設(shè)t時(shí)刻年齡在內(nèi)平均單位時(shí)間內(nèi)消亡總數(shù)為，為同一時(shí)刻年齡在內(nèi)活著的種群數(shù)。 定義 (1.2

3、) 稱為相對(duì)消亡率函數(shù)，對(duì)于充分小的及，由t到, 年齡在中消亡總數(shù)為 即 = 設(shè)為充分小的時(shí)間區(qū)間，t時(shí)刻在之間的種群總數(shù)為，過了時(shí)間到達(dá)時(shí)，在此期間消亡數(shù)為，而在此期間沒消亡的種群到了時(shí)變成了年齡在中的種群，其總數(shù)為，用表示年齡在中的種群在時(shí)間內(nèi)增長或消亡的種群總數(shù)，規(guī)定增生為正，消亡為負(fù)，稱為t時(shí)刻r歲種群的增消率，由于r和t具有相同的量綱，所以，于是有下式成立 (1.3) 變化為 等式兩邊同除以得到 由于，令得到 (1.4) 這就是所求種群連續(xù)發(fā)展方程，這是一階線性偏微分方程。 取可得

4、初始條件，可由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)給出。 設(shè)邊界條件為，若設(shè)為t時(shí)刻消亡與增殖數(shù)之比，稱為更新率 為種群增殖成活率，則在t時(shí)刻在內(nèi)消亡數(shù)為 所以有 (1.5) 由此可得 (1.6) 這即為種群發(fā)展方程的連續(xù)模型，這是一階線性偏微分方程系統(tǒng)。 2、半離散種群發(fā)展方程 當(dāng)t連續(xù)r離散時(shí)的種群發(fā)展方程稱為半離散模型。下面用半離散逼近法求 半離散模型。給定區(qū)間的一個(gè)分劃 ，記，， 用表示t年代滿 歲但不滿歲的種群總數(shù)，則

5、 (2.1) 由于 這里，從而 (2.2) 其中, 對(duì)（1）中第一個(gè)方程兩邊從 到 積分得 = 即 由（2）有 這里, 舍掉高階項(xiàng)有 (2.3) 當(dāng)取年齡間隔為1，即時(shí) ，為 (2.4) 即 對(duì)初始條件做離散化處理 記 則有 (

6、2.5) 對(duì)于外界條件 有 對(duì)右端應(yīng)用積分中值定理有 所以有 即有 (2.6) 因此我們有半離散模型: (2.7) 引進(jìn)向量和矩陣記號(hào)有 X　　G　　X A B 則（2.7）即半離散模型可表示為 (2.8) 這是一階線性常微分方程組。 下面考慮半離散模型（2.8）在定常情況下的穩(wěn)定性。（定常情形指消亡率、 成活率、增消率都不隨時(shí)間變化）。在一個(gè)相對(duì)安定

7、的環(huán)境下，方程（2.8）可變?yōu)椋? (2.9) 其中 A=B 稱為種群的增生率. A、B都是m-1階常數(shù)方陣，容易得出A+的特征多項(xiàng)式 = (2.10) 對(duì)于 的增生率 稱為種群臨界增生率 由（2.10）易推得 = 由文[2]的方法可證明下述結(jié)論 引理2.1: 0是A+的代數(shù)單特征值 引理2.2:當(dāng)時(shí),A+有且只有一個(gè)正特征值,且此特征值的代數(shù)重?cái)?shù)為1 引理2.3當(dāng) 時(shí)，A+ 的每個(gè)特征值都有負(fù)實(shí)部；且A+ 的每個(gè)非零特征值也

8、具有負(fù)實(shí)部。 從引理2.1、引理2.2、引理2.3易得 定理2.1：對(duì)于系統(tǒng)（2.9），如果 ， 那么系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；如果 ，那么系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，即對(duì)任意初始值，系統(tǒng)（2.9）的解 隨時(shí)間t的增加指數(shù)衰減到零的；如果 ，那么系統(tǒng) 穩(wěn)定。上述結(jié)果與文[3]中連續(xù)型方程的穩(wěn)定性一致。 3、離散種群發(fā)展方程 為便于數(shù)值計(jì)算以利于統(tǒng)計(jì)分析，在定量計(jì)算中，為了用計(jì)算機(jī)求解種群發(fā)展方程，必須把r和t同時(shí)離散化。離散后的r和t我們 取整數(shù)值以年度為單位，將連續(xù)種群方程變成一個(gè)差分方程組，這即為種群發(fā)展過程的離散模型。離散模型不但適合于計(jì)算機(jī)計(jì)算、模擬和數(shù)據(jù)處理，而且又與傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)方法相一致

9、。下面我們?cè)诎腚x散模型的基礎(chǔ)上建立離散模型。 對(duì)r離散，由半離散模型有，記為種群狀態(tài)向量。 再對(duì)t離散，單位取年，由(1.3)有 p（r+） 消去 ，令 ，上式兩邊對(duì)r 從i 到 積分，得到 (3.1) 對(duì)等式右邊第一項(xiàng)應(yīng)用積分中值定理，有 這里滿足 定義 為 t年代i歲按年齡消亡率，則（3.1）為 或 (3.2) 這里 對(duì)于初始條件p(r,0)=作離散化處理，記 , 有 (3.

10、3) 對(duì)于邊界條件，p(0,t)表示t時(shí)刻單位時(shí)間內(nèi)種群的新增生數(shù)，取，則p(0,t)就是 t-1 年到t年新增生種種群數(shù)，由 p(0,t)== 有 (3.4) （3.4）的實(shí)際意義是這樣的，表示t年代I歲種群的消亡數(shù)， 表示消亡后I歲種群的消亡數(shù)，表示消亡后I歲種群的增殖更新數(shù)，為成活率，則 表示t年代I歲種群的增生數(shù)。因此即 為t年代各年齡種群增生數(shù)。 如對(duì)于森林系統(tǒng)，表示t年i齡級(jí)林木采消率， 為t年代林木更新率即林木更新棵數(shù)與采消棵數(shù)之

11、比，表示成活率，即 。因此表示t年代i齡級(jí)林木采伐棵數(shù)，則表示t年代i 齡級(jí)林木更新增殖數(shù)，表示t年代i齡級(jí)林木增值成活數(shù)，表示t年代各齡級(jí)林木增植成活總棵數(shù)。 于是得到離散種群方程組（時(shí)間與林齡同步純林離散模型）： (3.5) …… （3.5）是一個(gè)以年度為時(shí)間間隔的查分方程組，引進(jìn)向量和矩陣符號(hào)： G(t)= H B 則（3.5）可表示成 這里H(t)稱為種群狀

12、態(tài)轉(zhuǎn)移陣，B(t)稱為種群消亡陣,G(t)稱為干擾向量，加上初始條件可得完整的種群發(fā)展離散模型 (3.6) （3.6）是一個(gè)離散的雙線性系統(tǒng)，是控制量，通過改變 來達(dá)到控制種群狀態(tài)的目的。 對(duì)于離散系統(tǒng)（3.6），由文[2][3]，可得到與半離散情形一致的穩(wěn)定性結(jié)果。 參考文獻(xiàn)： 1. 姜啟元. 數(shù)學(xué)建模 2. 宋 健. 于景元, 人口控制論. 1985 ,190-201 3. Wang Dingjiang , T

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14、r-verlay New Yor ,1983 A Class of Bio ---population Model and Its stability Abstract: In this paper , We study a class of poplution evlution equations, the continuous model and semi—discrete models and discrete models of the population systems with age-dependent isestablisbed . We also discussed its stability . Key words : population model; semi—discrete; stability; eigenvalue