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1、 正本清源——基于數(shù)學(xué)史的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué) 　 摘要：基于數(shù)學(xué)史開展高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)可介紹概念產(chǎn)生的背景及價值；利用數(shù)學(xué)史中概念產(chǎn)生的具體過程揭示概念的內(nèi)涵；通過數(shù)學(xué)史中的正、反兩方面的例子剖析概念的本質(zhì)；從歷史角度講解概念中蘊含的數(shù)學(xué)思想為切入點，采用問題策略和有指導(dǎo)的再創(chuàng)造策略，針對形成式概念、同化式概念實施教學(xué)，從而達到對數(shù)學(xué)概念的深層理解，進而“再創(chuàng)造”。 關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史；數(shù)學(xué)概念 一、問題的提出 1．一則案例的思考 【案例】單位圓定義法與終邊定義法定義任意角的三角函數(shù)的討論 在人教版《普通高中實驗教科書數(shù)學(xué)4必修（A版）》中，三角函數(shù)采用單位圓定義法。章建躍博

2、士在文為《為什么用單位圓上點的坐標(biāo)定義任意角的三角函數(shù)》指出它符合三角函數(shù)的發(fā)展歷史．三角函數(shù)發(fā)展史已經(jīng)表明，任意角的三角函數(shù)是因研究圓周運動的需要而產(chǎn)生的，數(shù)學(xué)史上，三角函數(shù)曾經(jīng)被稱為“圓函數(shù)”．所以，采用“單位圓定義法”能更真實地反映三角函數(shù)的發(fā)展進程． 思考：“單位圓定義法”與“終邊定義法”本質(zhì)上是一致的．正因為此，各種數(shù)學(xué)出版物中，兩種定義方法都有采用．教材編寫者采用了還原概念原貌的編寫方式，鮮活的歷史應(yīng)該會使處在應(yīng)試教育中的教師對數(shù)學(xué)、尤其對數(shù)學(xué)的教育的理解有所提升. 前蘇聯(lián)教育家斯托利亞爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)史能夠向人們提供“關(guān)于數(shù)學(xué)概念、方法、語言發(fā)展的歷史道路的重要信息”，以及“學(xué)校教

3、學(xué)中形成和發(fā)展這些概念的方法、語言的途徑”。數(shù)學(xué)發(fā)展史告訴我們，每一個重要的概念的形成和發(fā)展，都有著豐富的經(jīng)歷，都充滿著人類探索的情意成分和對真理不懈追求的精神，也就是說，“在形式化的數(shù)學(xué)概念這一‘冰冷的美麗’里面蘊含著人類探索的‘火熱的思考’，數(shù)學(xué)概念形成過程中蘊含著豐富的生活含義”?；跀?shù)學(xué)史進行探究式數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)應(yīng)該是一條可行且有效的途徑。 2．概念理解的歷史相似性的調(diào)查 【調(diào)查】用你自己的語言描述一下函數(shù)的概念（高二，124人） 類別 概念 頻數(shù) 歷史上數(shù)學(xué)家對函數(shù)的理解 A 變量的對應(yīng)關(guān)系 25 傅立葉（1822）；哈代（1908） B 集合的對應(yīng)關(guān)系 33

4、 坦納里（1904）；布爾巴基（1939） C 映射 10 戴德金（1887） D 解析式 15 伯努利（1696）；拉格朗日（1797） E 運算 8 格雷戈里(1667) F 變量的依賴關(guān)系 12 萊布尼茲（1714）；柯西（1821） G 圖像 12 歐拉（1748） H 其他（模糊或錯誤的定義） 9 結(jié)論：函數(shù)概念從產(chǎn)生到完善歷經(jīng)數(shù)世紀(jì)之久，可見函數(shù)思想之難。即使在教材和教學(xué)的影響下，也仍然有那么多的學(xué)生給出了不同于教材,卻類似于歷史上17世紀(jì)到20世紀(jì)上葉不同時期數(shù)學(xué)家的回答，這種函數(shù)概念理解中的歷史相似性還表明：概念歷史發(fā)展過程

5、中的認(rèn)識障礙也會成為今天課堂上學(xué)生的認(rèn)知障礙。弗賴登塔爾相信：“年輕的學(xué)習(xí)者重蹈人類的學(xué)習(xí)過程，盡管方式改變了?！比绻覀兡苌钊肓私鈹?shù)學(xué)史，明確概念如何獲得，獲得的過程中遇到什么樣的困難，是如何解決的，也就知道如何幫助學(xué)生獲得概念，這對設(shè)計概念教學(xué)，把握教學(xué)難點有指導(dǎo)作用。所以，對于概念的教學(xué)，我們可以根據(jù)數(shù)學(xué)史上這些讓數(shù)學(xué)家也曾困惑的問題出發(fā)，設(shè)計同樣的或類似的情境，讓學(xué)生具體感受數(shù)學(xué)知識活動的實質(zhì)，從根本上理解概念何以這樣規(guī)定，從而達到對數(shù)學(xué)概念的深層理解，進而“再創(chuàng)造”。 二、基于數(shù)學(xué)史的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的切入點 1．介紹概念產(chǎn)生的背景及價值 數(shù)學(xué)概念是人們通過實踐，從數(shù)學(xué)研究對象

6、的許多屬性中抽象出其本質(zhì)屬性，做高度概括而成的。數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生，是揭示數(shù)學(xué)概念發(fā)生的實際背景和基礎(chǔ)，它極大的影響著學(xué)生對概念的理解和運用。所以在中學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中應(yīng)注意數(shù)學(xué)情境的設(shè)計，利用數(shù)學(xué)概念的發(fā)生發(fā)展過程，有選擇的創(chuàng)設(shè)模擬情境，讓學(xué)生親歷知識的發(fā)現(xiàn)過程，在感性材料中，在歷史背景下揭示出概念的本質(zhì)，完善概念體系的建立，給出嚴(yán)格的形式化的定義。例如:在講授對數(shù)概念時有目的的介紹概念產(chǎn)生的背景可以使學(xué)生體會對數(shù)概念的在當(dāng)時的重要性及價值——天文學(xué)家兼數(shù)學(xué)家拉普拉斯稱贊這是一項“使天文學(xué)家壽命倍增”的發(fā)明。又如介紹坐標(biāo)系的概念，笛卡爾是在什么情境下發(fā)明坐標(biāo)系的概念的？笛卡爾一直在思考的問題是：幾

7、何圖形是直觀的，而代數(shù)方程則比較抽象，能不能用幾何圖形來表示方程呢？這里，關(guān)鍵是如何把組成幾何的圖形的點和滿足方程的每一組“數(shù)”掛上鉤。他就拼命琢磨：通過什么樣的辦法、才能把“點”和“數(shù)”聯(lián)系起來。坐標(biāo)系產(chǎn)生有什么意義？恩格斯高度評價笛卡爾的工作，他說：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點是笛卡爾的變數(shù)。有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學(xué)。” 2．利用數(shù)學(xué)史中概念產(chǎn)生的具體過程揭示概念的內(nèi)涵 數(shù)學(xué)概念的抽象性給數(shù)學(xué)帶來了許多困難。這些困難大體可歸納為兩類：一是數(shù)學(xué)概念抽象且枯燥，難以引起學(xué)生的興趣；二是數(shù)學(xué)概念深奧，適應(yīng)性廣，難以抓住其本質(zhì)。讓我們回到數(shù)學(xué)史中去，我們會看到許多抽象的數(shù)學(xué)概念

8、或者直接來自實踐的具體對象，或者以幾經(jīng)抽象的相對的具體的問題為依托，這些具體對象被認(rèn)知，相對具體的問題被識別，推進著概念的逐級抽象。歷史往往就是這樣顯示出概念內(nèi)涵的凝聚和形成。基于數(shù)學(xué)概念發(fā)展的歷史，有利于學(xué)生從整體上把握數(shù)學(xué)概念的發(fā)展脈絡(luò)，感受隱含在概念演變與修正過程中的豐富智慧，對數(shù)學(xué)概念形成完整、恰當(dāng)?shù)恼J(rèn)識，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，并在領(lǐng)略數(shù)學(xué)家們?yōu)楦拍畹娜罩脸墒焖冻龅钠D辛與努力，以及所經(jīng)受的困難與挫折的過程中體驗人性化的數(shù)學(xué)。例如，在講解函數(shù)概念可以講講函數(shù)發(fā)展的歷史，通過一次次的思想的飛躍，由幾何觀下的函數(shù)到代數(shù)觀下的函數(shù)到對應(yīng)關(guān)系下的函數(shù)概念，最后發(fā)展到現(xiàn)代函數(shù)概念——集合論下的函數(shù)，不

9、僅使學(xué)生的知識具有連續(xù)性，更可以看到概念的內(nèi)涵，使“函數(shù)”這個概念成為富有人性化的，而非枯燥無味的概念。 3．通過數(shù)學(xué)史中的正、反兩方面的例子剖析概念的本質(zhì) 教材敘述概念總是采用正面闡述的形式，而學(xué)生常常對一些概念的關(guān)鍵詞語缺乏深刻地認(rèn)識，對概念所要求的條件理解不全面。教育心理學(xué)家認(rèn)為：概念或規(guī)則的正例傳遞了最有利于概括的信息，反例則傳遞了最有利于辨別的信息。在教學(xué)過程中，我們不僅要運用正面的實例透徹的闡述知識，而且要運用恰當(dāng)?shù)姆蠢龔牧硪粋€角度讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，彌補正面教學(xué)不足，從而加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解。概念的發(fā)展史中比比皆是的正例和反例為教學(xué)提供了很好的素材。例如：歷史上真函

10、數(shù)與假函數(shù)的爭論可以為函數(shù)概念的講解提供很好的反例，它可以回答分段函數(shù)是不是函數(shù)的問題。狄利柯雷函數(shù)沒有圖像，它可以解釋為什么不用圖像作為函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)。又如在數(shù)學(xué)期望概念的學(xué)習(xí)中，設(shè)計一張史稱“點數(shù)問題”的學(xué)習(xí)單，列舉分別包括15世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家帕西沃里、卡蘭奇和17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費馬和帕斯卡的解法，并組織學(xué)生討論，將數(shù)學(xué)史無聲的運用到概念教學(xué)中，把握概念的本質(zhì)。 4.從歷史角度講解概念中蘊含的數(shù)學(xué)思想 蘇聯(lián)學(xué)者M.M.弗利德曼指出：“在學(xué)校課程中數(shù)學(xué)的思想和方法已當(dāng)占有中心地位，占有把教學(xué)大綱所有的，為數(shù)很多的概念，所有的題目和章節(jié)結(jié)成一個統(tǒng)一的學(xué)科的核心地位?！睌?shù)學(xué)概念和其他數(shù)學(xué)知識一樣，

11、是中學(xué)數(shù)學(xué)的表層知識，而數(shù)學(xué)思想、方法是數(shù)學(xué)的深層知識，深層知識是網(wǎng)絡(luò)，將數(shù)學(xué)知識編織在一起，形成結(jié)構(gòu)，息息相關(guān)；深層知識是根和莖，使表層知識這株大樹巍然挺立，并不斷分枝、分杈，枝繁葉茂。因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)的主要目標(biāo)之一是使學(xué)生通過概念的掌握和運用，最終理解和掌握數(shù)學(xué)思想和方法。只有當(dāng)學(xué)生在數(shù)學(xué)思想、方法的高度上掌握數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)知識時，才能較好的形成數(shù)學(xué)能力，受用終生。因此，學(xué)生通過數(shù)學(xué)史上概念發(fā)展可以由表層知識達到對深層知識的領(lǐng)悟，還可以促使學(xué)生深刻的理解數(shù)學(xué)思想方法，保證思維的連貫性，進而“再創(chuàng)造”。例如，函數(shù)概念的產(chǎn)生、發(fā)展、變化中蘊含著對應(yīng)思想；對數(shù)的產(chǎn)生過程蘊含著類比的思想等等。又

12、如為了有效地促進高中解析幾何的教學(xué)，我們可以通過分析笛卡兒創(chuàng)立解析幾何過程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，從而有效地實現(xiàn)課程目標(biāo)。而作為一個整體文化系統(tǒng)的笛卡兒解析幾何思想，其中每一個子系統(tǒng)之間是互相關(guān)聯(lián)的（見圖）。 笛卡爾數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵 （一個整體文化系統(tǒng)） 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu) 哲學(xué)表現(xiàn) 科學(xué)價值 認(rèn)識模式 歷史淵源 個性品質(zhì) 三、基于數(shù)學(xué)史的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的策略 1．問題策略 問題策略是指為了豐富學(xué)生在概念學(xué)習(xí)中的體驗，將數(shù)學(xué)史中數(shù)學(xué)概念的形成過程、形式化的數(shù)學(xué)概念以及一些相關(guān)的材料轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，形成問題情境，在問題的探究中“學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)、用

13、數(shù)學(xué)”，最終構(gòu)建概念的心理表征。正是有了形形色色的數(shù)學(xué)問題，才產(chǎn)生了豐富多彩的數(shù)學(xué)概念，因此，概念教學(xué)的起點應(yīng)是問題。真正的數(shù)學(xué)教育應(yīng)遵循數(shù)學(xué)發(fā)展?jié)u進系統(tǒng)化的過程，教學(xué)生像數(shù)學(xué)家那樣“再創(chuàng)造”的方法去學(xué)習(xí)?；跀?shù)學(xué)史的概念教學(xué)必須問題化。這可從兩方面著手：其一，把概念形成過程問題化。一個概念是如何引入的？必要性和重要性何在？這些問題往往也是區(qū)分概念的本質(zhì)特征和非本質(zhì)特征的關(guān)鍵所在。因此教學(xué)中應(yīng)盡可能把知識的發(fā)生過程轉(zhuǎn)化為一系列帶有探究性的問題，真正使有關(guān)材料成為學(xué)生思考的對象。其二，把形式化的數(shù)學(xué)材料轉(zhuǎn)化為蘊含概念本質(zhì)特征、貼近學(xué)生生活的、適合學(xué)生探究的問題。通過學(xué)生動手操作，把數(shù)學(xué)拉到學(xué)生的

14、身邊，使數(shù)學(xué)變得親切，把學(xué)生引向概念本質(zhì)。 2.有指導(dǎo)的再創(chuàng)造策略 有指導(dǎo)的再創(chuàng)造策略是指利用數(shù)學(xué)史料進行課堂設(shè)計讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的形成與應(yīng)用，自主的生成概念。再創(chuàng)造策略可以使學(xué)生更好的理解數(shù)學(xué)概念形成過程，體會蘊含在其中的思想方法，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡，增強學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望和信心。特別是對于抽象數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，要特別關(guān)注概念的形成的實際背景與形成過程，幫助學(xué)生克服機械記憶概念的學(xué)習(xí)方式。弗萊登塔爾說得好：“我們不應(yīng)該遵循發(fā)明者的足跡，而是經(jīng)過改良同時又更好的引導(dǎo)作用的歷史過程”，在教學(xué)過程中，學(xué)生應(yīng)當(dāng)有機會經(jīng)歷與數(shù)學(xué)事件的歷史發(fā)展相類似的探究過程，但此時并不是真正的去創(chuàng)造，而是在教師的

15、引導(dǎo)下獲得知識。學(xué)生沿著歷史發(fā)展的路徑，了解某部分的數(shù)學(xué)概念的來龍去脈，在此過程中他們的學(xué)習(xí)也包含了再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的意義。有指導(dǎo)的再創(chuàng)造策略的應(yīng)用要求教師的課堂設(shè)計應(yīng)當(dāng)具有一定的開放性，為學(xué)生提供“提出問題、探索問題”的空間，培養(yǎng)學(xué)生勤于思考的習(xí)慣、堅韌不拔的意志和勇于創(chuàng)新的精神。 四、基于數(shù)學(xué)史的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的實施 1．基于數(shù)學(xué)史的形成式概念教學(xué) 基于數(shù)學(xué)史的形成式概念教學(xué)可按照如下程序進行: 具體特例 觀察共性 抽象本質(zhì) 形成定義 概念應(yīng)用 強化概念 階段1教師給出一組概念的正例，以便供學(xué)生主動地進行觀察和分析，而這些例子可來源于數(shù)學(xué)史提

16、供的素材。 階段2學(xué)生處理資料，可以以小組討論的形式或通過個人的觀察，概括出這些具體特例表明數(shù)學(xué)關(guān)系的本質(zhì)屬性。在這一過程中，學(xué)生往往會根據(jù)具體特例逐步剔除非本質(zhì)的屬性，抓住本質(zhì)屬性，抽象、概括并提出一些假設(shè)，然后經(jīng)過比較、分析、驗證、并修正這些假設(shè)。 階段3教師和學(xué)生共同歸納，抽象、概括出該組特例的本質(zhì)屬性。同時，考慮適當(dāng)?shù)匾敫拍畎l(fā)展史，介紹歷史上人們對此概念的認(rèn)識過程，即人們是怎樣對生產(chǎn)實踐中出現(xiàn)的問題進行分析，是怎樣抓住問題的本質(zhì)屬性，并加以歸納、抽象、概括而提出各種假設(shè)，然后，又怎樣進行比較、分析修正這些假設(shè)，最后形成數(shù)學(xué)概念。 階段4教師給出概念的定義

17、，或者由學(xué)生自己根據(jù)討論或個人的觀察、分析下定義。針對學(xué)生對概念下定義有不完善的情況，教師根據(jù)情祝引入數(shù)學(xué)概念發(fā)展史，人們對概念下定義的各種不同認(rèn)識，并給予進行逐一進行分析、評判并加以修正。 階段5采用由學(xué)生舉出更多概念的正例，教師舉出反例讓學(xué)生判斷的方法，強化學(xué)生對概念的理解。 階段6概念的應(yīng)用，包括概念的直接應(yīng)用和討論概念的性質(zhì)，而討論概念的性質(zhì)就轉(zhuǎn)入了命題學(xué)習(xí)階段。 2. 基于數(shù)學(xué)史的同化式概念教學(xué) 基于數(shù)學(xué)史的同化式概念教學(xué)的可按照如下程序進行: 已學(xué)過的概念 定義概念 分析概念 概念應(yīng)用 強化概念 階段1教師呈現(xiàn)學(xué)生己學(xué)過的數(shù)學(xué)

18、概念，確定其與所要學(xué)習(xí)的概念之間可以是下位、上位或并列關(guān)系。 階段2教師給出概念的定義，適時地介紹數(shù)學(xué)概念發(fā)展史，呈現(xiàn)人類對此概念的認(rèn)識過程，這需要教師根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)情況或課堂氣氛靈活安排。 階段3教師引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)辨認(rèn)概念與已經(jīng)學(xué)過的有關(guān)概念相聯(lián)系，區(qū)分異同，剖析概念的結(jié)構(gòu)，揭示概念內(nèi)涵，明辨概念外延，充分利用原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)概念同化新概念。 階段4強化概念。采用由學(xué)生舉出更多概念的正例，教師舉出反例讓學(xué)生判斷的方法。 階段5概念的應(yīng)用，包括概念的直接應(yīng)用和討論概念的性質(zhì)，而討論概念的性質(zhì)就轉(zhuǎn)入了命題學(xué)習(xí)階段。 五、結(jié)束語 歷史是最好的啟發(fā)式！龐加

19、萊指出：“教育工作者的任務(wù)就是讓孩子的思維經(jīng)歷其祖先之所經(jīng)歷，迅速通過某些階段而不跳過任何階段。”波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》中指出：“只有理解人類如何獲得某些事實或概念的知識，我們才能對人類的孩子應(yīng)該如何獲得這樣的知識做出更好的判斷?！?因此，在概念的教學(xué)中，如果能借鑒歷史，無疑會改善我們的教學(xué)，幫助學(xué)生更好的理解概念，將間接經(jīng)驗內(nèi)化為自身的數(shù)學(xué)思維能力。 參考文獻： [1]汪曉勤，張小明.HPM研究的內(nèi)容與方法[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2006，1 [2]周友士.數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)新課程中的教學(xué)意義[J].數(shù)學(xué)通報，2005，2 [3]張維忠，汪曉勤.文化傳統(tǒng)與數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化[M].北京大學(xué)出版社 [4]陳惠勇.數(shù)學(xué)史觀下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)新模式[J].高等數(shù)學(xué)研究，2007，10 [5]李明振.數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教材的原則 方式和問題[J].數(shù)學(xué)通報，2006，6 6