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1、2.3 函數(shù)的奇偶性
(時間：45分鐘 滿分：100分)
一、選擇題(每小題7分，共35分)
1．(2010山東)設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝2x＋2x＋b(b為常數(shù))，則
f(－1)等于 ( )
A．3 B．1 C．－1 D．－3
2．(2010全國)設(shè)偶函數(shù)f(x)滿足f(x)＝2x－4(x≥0)，則{x|f(x－2)>0}等于 ( )
A．{x|x<－2或x>4} B．{x|x<0或x>4}
C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2}
3．已知
2、f(x) (x∈R)為奇函數(shù)，f(2)＝1，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，則f(3)等于 ( )
A. B．1 C. D．2
4．若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在(－∞，0]上是減函數(shù)，且f(2)＝0，則使得f(x)<0
的x的取值范圍是 ( )
A．(－∞，2) B．(－2,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(2，＋∞)
5． f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，且f(2)＝0，則方程f(x)＝0在區(qū)間(0,6)內(nèi)解
的個數(shù)至少是 ( )
A
3、．1 B．4 C．3 D．2
二、填空題(每小題6分，共24分)
6．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，則f(2)＝________.
7．(2010江蘇)設(shè)函數(shù)f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為________．
8．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋5)＝－f(x)＋2，且當(dāng)x∈(0,5)時，f(x)＝x，則f(2 011)
的值為________．
9．定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1，0]上是增函數(shù)，給出下列關(guān)于
f(x)的判斷：
①f(x)是周期函
4、數(shù)；
②f(x)關(guān)于直線x＝1對稱；
③f(x)在[0,1]上是增函數(shù)；
④f(x)在[1,2]上是減函數(shù)；
⑤f(2)＝f(0)．
其中正確的序號是________．
三、解答題(共41分)
10．(13分)已知f(x)是定義在[－1，1]上的奇函數(shù)，若a、b∈[－1,1]，a＋b≠0時，有
>0.判斷函數(shù)f(x)在[－1,1]上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論．
11.(14分)已知函數(shù)f(x)對一切x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求證：f(x)是奇函數(shù)；
(2)若f(－3)＝a，用a表示f(12)．
12．(14分)函數(shù)y＝f(x) (
5、x≠0)是奇函數(shù)，且當(dāng)x∈(0，＋∞)時是增函數(shù)，若f(1)＝0，求不等
式f <0的解集．
答案
1．D 2.B 3.C 4．B 5．B
6．0 7．－1 8．1 9．①②⑤
10．解 f(x)在[－1,1]上是增函數(shù)．
證明如下：
任取x1、x2∈[－1,1]，且x10，x1－x2<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)
6、是R，它關(guān)于原點(diǎn)對稱．
在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，令y＝－x，
得f(0)＝f(x)＋f(－x)，令x＝y(tǒng)＝0，
得f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0，
∴f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函數(shù)．
(2)解 由f(－3)＝a，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)及f(x)是奇函數(shù)，得f(12)＝2f(6)＝4f(3)＝
－4f(－3)＝－4a.
12．解 ∵y＝f(x)是奇函數(shù)，
∴f(－1)＝－f(1)＝0.
又∵y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，
∴y＝f(x)在(－∞，0)上是增函數(shù)，
若f <0＝f(1)，
7、
∴，即0
8、a>1 D．a(chǎn)>b>1
3．(2010天津)設(shè)a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，則 ( )
A．a(chǎn)
9、，共24分)
6．已知a＝ (a>0)，則loga＝________.
7．已知00，a≠1)．
(1)求f(x)的定義域；
(2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明；
(3)求使f(
10、x)>0的x的取值范圍．
12．(14分)若函數(shù)y＝lg(3－4x＋x2)的定義域?yàn)镸.當(dāng)x∈M時，求f(x)＝2x＋2－34x的最值
及相應(yīng)的x的值．
答案
1．D 2．D 3．D 4．C 5．C
6.3 7．m>n 8．(－∞，－1) 9．(－∞，－3]
10．解 (1)原式＝＝＝1.
(2)原式＝lg(2lg＋lg 5)＋
＝lg(lg 2＋lg 5)＋|lg－1|
＝lglg(25)＋1－lg＝1.
11．解 (1)∵f(x)＝loga，需有>0，
即(1＋x)(1－x)>0，即(x＋1)(x－1)<0，∴－1
11、域?yàn)?－1,1)．
(2)f(x)為奇函數(shù)，證明如下：
∵f(－x)＝loga＝loga－1
＝－loga＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)．
(3)loga>0 (a>0，a≠1)，
①當(dāng)00的x的取值范圍為(－1,0)．
②當(dāng)a>1時，可得>1，解得01時，f(x)>0的x的取值范圍為(0,1)．
綜上，使f(x)>0的x的取值范圍是：
a>1時，x∈(0,1)；00，解得x<1或x>3，∴M＝{x|x<1，或x>3}，
f(x)＝2x＋2－34x＝42x－3(2x)2.
令2x＝t，∵x<1或x>3，
∴t>8或08或08時，f(x)∈(－∞，－160)，
當(dāng)2x＝t＝，即x＝log2時，
f(x)max＝.
綜上可知：當(dāng)x＝log2時，f(x)取到最大值為，無最小值．
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【北師大版數(shù)學(xué)】步步高大一輪復(fù)習(xí)練習(xí)：2.3 函數(shù)的奇偶性
