《高中數(shù)學 第三講 柯西不等式與排序不等式 柯西不等式應(yīng)用例析素材 新人教A版選修45》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學 第三講 柯西不等式與排序不等式 柯西不等式應(yīng)用例析素材 新人教A版選修45（3頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
柯西不等式應(yīng)用例析
柯西不等式(＋＋…＋)≤(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b) (等號當且僅當==……=時成立)結(jié)構(gòu)簡單，在證明有些不等式時十分奏效．下面介紹幾例．
例1 已知a、b、c，求證：(＋＋)(＋＋)≥9．
證明：由柯西不等式得
(＋＋)(＋＋) = [＋＋][＋＋]≥(·＋·＋·)= (1＋1＋1)= 9．
例2 在△ABC中，設(shè)其各邊長為a、b、c，外接圓半徑，求證：(＋＋)(＋＋)≥．
證明：∵===，∴由柯西不等式得
(＋＋)(＋＋) = (＋＋)= (＋＋)=．
例3 已知a、b、cR+，a＋b＋c = 1，求證
2、：＋＋≤4．
證明：∵a＋b＋c = 1，∴由柯西不等式得
(＋＋)= (1·＋1·＋1·)≤(1＋1＋1)(13a＋1＋13b＋1＋13c＋1) = 3[13(a＋b＋c)＋3] = 48，
∵＋＋＞0，
∴ ＋＋≤= 4．
例4 設(shè)a、b、cR+，a＋b＋c = 1，求證：(a＋)＋(b＋)＋(c＋)≥．
證明：∵a＋b＋c = 1，∴由柯西不等式得
(a＋)＋(b＋)＋(c＋)
=(1＋1＋1)[(a＋)＋(b＋)＋(c＋)]
≥[1·(a＋)＋1·(b＋)＋1·(c＋)]
=[( a＋b＋c)＋(＋＋)
3、]
=[1＋( a＋b＋c)(＋＋)]
={[1＋()＋()＋()] [()＋()＋()]}
≥[1＋(·＋·＋·)]
=(1＋3)
=．
例5 設(shè)，，，…，為正數(shù)，求證：＋＋＋…＋＋≥＋＋＋…＋．
證明：由柯西不等式得
(＋＋＋…＋＋)(＋＋…＋＋)
≥(·＋·＋…＋·＋·)
= (＋＋＋…＋)，
∴＋＋＋…＋＋≥=＋＋＋…＋．
例6 已知，，，…，為兩兩不相等的正整數(shù)，求證：對任何正整數(shù)n，不等式＋＋…＋≥＋＋…＋成立．
證明：∵，，，…，是兩兩不相等的正整數(shù)，
∴＋＋…＋≥＋＋…＋，
由柯西不等式得
(＋＋…＋)(＋＋…＋)
≥(·＋·＋…＋·)
= (＋＋…＋)，
∴＋＋…＋≥≥=＋＋…＋．
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