《高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.1 函數(shù)的概念 2.1.1 函數(shù)的概念名師導(dǎo)航學(xué)案 蘇教版必修1》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.1 函數(shù)的概念 2.1.1 函數(shù)的概念名師導(dǎo)航學(xué)案 蘇教版必修1（8頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2.1 函數(shù)的概念和圖象 2.1.1 函數(shù)的概念 名師導(dǎo)航 知識(shí)梳理 1.函數(shù)的概念 設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)x，在集合B中都有__________的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A. 其中x叫__________，x的取值范圍A叫做函數(shù)y=f(x)的__________；與x的值相對(duì)應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}(B)叫做函數(shù)y=f(x)的__________. 函數(shù)符號(hào)y=f(x)表示“y是x的函數(shù)”，有時(shí)簡(jiǎn)記作函數(shù)_

2、_________. (1)函數(shù)實(shí)際上就是集合A到集合B的一個(gè)特殊對(duì)應(yīng)f:A→B，這里A,B為__________的數(shù)集. (2)A：定義域； {f(x)|x∈A}：值域,其中{f(x)|x∈A}__________B； f：對(duì)應(yīng)法則，x∈A，y∈B. (3)函數(shù)符號(hào)：y=f(x)y是x的函數(shù)，簡(jiǎn)記f(x). 2.已學(xué)函數(shù)的定義域和值域 (1)一次函數(shù)f(x)=ax+b(a≠0):定義域?yàn)開_________,值域?yàn)開_________; (2)反比例函數(shù)f(x)=(k≠0):定義域?yàn)開_________,值域?yàn)開_________; (3)二次函數(shù)f(x)=

3、ax2+bx+c(a≠0):定義域?yàn)開_________， 值域：當(dāng)a>0時(shí)，為__________；當(dāng)a<0時(shí)，為__________. 3.函數(shù)的值：關(guān)于函數(shù)值f(a) 例：f(x)=x2+3x+1,則f(2)= __________. 4.函數(shù)的三要素： 對(duì)應(yīng)法則f、定義域A和值域{f(x)|x∈A}. 只有當(dāng)這三要素__________時(shí)，兩個(gè)函數(shù)才能稱為同一函數(shù). 疑難突破 有關(guān)函數(shù)概念的理解 剖析：(1)如果一個(gè)函數(shù)需要幾條限制時(shí)，那么定義域?yàn)楦飨拗扑脁的范圍的交集. (2)求定義域的基本步驟為:根據(jù)所給函數(shù)按照基本要求列出

4、不等式組,解不等式組即可. (3)定義域是一個(gè)集合，要用集合作答.也可寫成區(qū)間的形式，定義域用區(qū)間表示有時(shí)顯得非常簡(jiǎn)捷. (4)隨著今后的學(xué)習(xí)，自變量x的取值范圍還可能受到一些新的限制，如對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)等. (5)兩個(gè)函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)定義域與對(duì)應(yīng)法則分別相同時(shí)，才是同一函數(shù). (6)注意：我們可以定義一個(gè)函數(shù)f：A→B，該函數(shù)的值域C并不一定等于集合B，但C一定是B的一個(gè)子集. (7)理解函數(shù)符號(hào)“y=f(x)”的含義.符號(hào)“y=f(x)”用語言通俗解釋為“y是x的函數(shù)”，它僅僅是抽象的、簡(jiǎn)潔的函數(shù)符號(hào)，每一部分都有其特定的含義. 問題探究 問題1 高中階段學(xué)習(xí)的函數(shù)的概念和初

5、中階段學(xué)習(xí)的函數(shù)的概念有什么異同？ 探究思路：初中階段的概念是這樣的：設(shè)在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x與y，如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么就說x是自變量，y是x的函數(shù). 將自變量x取值的集合叫做函數(shù)的定義域，和自變量x的值對(duì)應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域. 高中階段的概念是這樣的：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A.其中，x叫自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相

6、對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域. 兩種函數(shù)概念有以下的相同點(diǎn)： (1)兩種表示的定義域和值域完全相同； (2)對(duì)應(yīng)關(guān)系本質(zhì)上也是一樣的； (3)都是描述變量之間的依賴關(guān)系. 兩種函數(shù)概念有以下的不同點(diǎn)： (1)用集合的觀點(diǎn)說明變量； (2)用對(duì)應(yīng)關(guān)系表示變化過程； (3)表示法的不同：初中里的表示法比較單一，在高中更全面. 問題2 對(duì)于函數(shù)f(x)=x2+2x-3，試畫出它的圖象.你能根據(jù)它的圖象畫出下列各函數(shù)的圖象嗎？你從中能總結(jié)出什么結(jié)論？ (1)y=-f(x)；(2)y=f(-x)； (3)y=-f(-x)；(

7、4)y=f(|x|)； (5)y=|f(x)|；(6)y=f(x+1)； (7)y=f(x)+1. 探究思路：已知函數(shù)y=f(x)，求作其圖象有兩種思路. 思路一：列表描點(diǎn)法. 思路二：利用函數(shù)圖象的變換去畫圖，題(1)—(5)可通過對(duì)稱變換，(6)(7)可用平移變換.如下圖所示. 典題精講 例1 下列各題中的兩個(gè)函數(shù)表示同一個(gè)函數(shù)的是( ) A.f(x)=x，g(x)= B.f(n)=2n+1(n∈Z)，g(n)=2n-1(n∈Z) C.f(x)=x-2，g(t)=t-2

8、 D.f(x)=，g(x)=1+x 思路解析 兩個(gè)函數(shù)相同必須有相同的定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則.A中兩函數(shù)的值域不同；B中雖然定義域和值域都相同，但對(duì)應(yīng)法則不同；C中盡管表示自變量的兩個(gè)字母不同，但兩個(gè)函數(shù)的三個(gè)要素是一致的，因此它們是同一函數(shù)；D中兩函數(shù)的定義域不同. 答案:C 例2 求下列函數(shù)的定義域： (1)y=2+； (2)y=·； (3)y=(x-1)0+. 思路解析 給定函數(shù)時(shí)，要指明函數(shù)的定義域.對(duì)于用函數(shù)解析式表示的函數(shù)，如果沒有給出定義域，那么就認(rèn)為函數(shù)的定義域是指使函數(shù)有意義的自變量的取值集合.因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是同時(shí)使函數(shù)解析式各部分有意義

9、的x值的集合，所以應(yīng)取各部分的交集. 解答：(1)要使函數(shù)有意義，當(dāng)且僅當(dāng)x-2≠0，即x≠2，所以這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠2}. (2)要使函數(shù)有意義，當(dāng)且僅當(dāng)解得1≤x≤3，所以這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x∈R且1≤x≤3}. (3)要使函數(shù)有意義，當(dāng)且僅當(dāng)解得x>-1且x≠1，所以這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x>-1且x≠1}. 例3 求下列函數(shù)的值域： (1)y=x2-2x-1，x∈［0，3］； (2)y=+3； (3)y=； (4)y=|x-1|+|x-2|. 思路解析 求二次函數(shù)的值域一般要數(shù)形結(jié)合，先配方找出對(duì)稱軸，再考察給定區(qū)間與對(duì)稱軸的

10、關(guān)系，利用二次函數(shù)在對(duì)稱軸兩側(cè)的單調(diào)性，求出給定區(qū)間上的最大值和最小值，即可得到函數(shù)的值域.除數(shù)形結(jié)合之外，求函數(shù)的值域的方法還有逐步求解法、判別式法、分離常數(shù)法和利用有界性等.絕對(duì)值函數(shù)通常先化為分段函數(shù). 解答：(1)將原式變形，得y=(x-1)2-2，此函數(shù)的對(duì)稱軸為x=1，由于x∈［0，3］， ∴當(dāng)x=1時(shí)，y有最小值-2.根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性知，x=3比x=1的值要大，∴當(dāng)x=3時(shí)，y有最大值2. ∴這個(gè)函數(shù)的值域?yàn)椋?2，2］. (2)易知x≥2，∴≥0.∴y=+3≥3. ∴這個(gè)函數(shù)的值域?yàn)椋?，+∞］.(逐步求解法) (3)先分離常數(shù)，y==.

11、 ① 解法一：(逐步求解法)∵x2+1≥1，∴0＜≤1. ∴1＞1-≥-2.∴y∈［-2，1). 解法二：(判別式法)兩邊同乘以x2+1并移項(xiàng)，得(y-1)x2+y+2=0，又由①可知y≠1，∴Δ=-4(y-1)(y+2)≥0.∴y∈［-2，1). 解法三：(利用有界性)∵y≠1，易得x2=. 又∵x2≥0，∴≥0.∴y∈［-2，1). (4)原函數(shù)可化為y= 由下圖可知y∈［1，+∞). 例4 下圖是一個(gè)電子元件在處理數(shù)據(jù)時(shí)的流程圖： (1)試確定y與x的函數(shù)關(guān)系式； (2)求f(-3)、f(1)的值； (3)若f(x)=16，

12、求x的值； 思路解析 本題是一個(gè)分段函數(shù)問題，當(dāng)輸入值x≥1時(shí)，先將輸入值x加2再平方得輸出值y；當(dāng)輸入值x＜1時(shí)，則先將輸入值x平方再加2得輸出值y. 解答：(1)y= (2)f(-3)=(-3)2+2=11；f(1)=(1+2)2=9. (3)若x≥1，則(x+2)2=16，解得x=2或x=-6(舍). 若x＜1，則x2+2=16，解得x=(舍)或x=-. 綜上可得x=2或x=-. 例5 已知函數(shù)y=f(2x-1)的定義域?yàn)椋?1，1］，求函數(shù)y=f(x-2)的定義域. 思路解析 求函數(shù)y=f(x-2)的定義域，是求式子x-2中x的范圍.這里決不能將前后兩個(gè)x看成是相

13、等的量，但是2x-1與x-2都是對(duì)應(yīng)法則f的作用對(duì)象，因此，這兩個(gè)代數(shù)式的范圍是一致的. 解答：設(shè)t=2x-1， ∵-1≤x≤1， ∴-3≤2x-1≤1， 即函數(shù)y=f(t)的定義域?yàn)閠∈［-3，1］. 再設(shè)x-2=t，則-3≤x-2≤1， ∴-1≤x≤3. ∴函數(shù)y=f(x-2)的定義域?yàn)椋?1，3］. 知識(shí)導(dǎo)學(xué) 1.函數(shù)的三要素 構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域A，對(duì)應(yīng)法則f，值域B. 其中核心是對(duì)應(yīng)法則f，它是聯(lián)系x和y的紐帶，是對(duì)應(yīng)得以實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵，對(duì)應(yīng)法則可以由多種形式給出，可以是解析法，可以是列表法和圖象法，不管是哪種形式，都必須是確定的，且使集合A中的

14、每一個(gè)元素在B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng).當(dāng)一個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則確定之后，值域也就唯一的確定了，所以值域是定義域這個(gè)“原材料”通過對(duì)應(yīng)法則“加工”而成的“產(chǎn)品”.因此，要確定一個(gè)函數(shù)，只要定義域與對(duì)應(yīng)法則確定即可. 2.函數(shù)的圖象 所謂函數(shù)y=f(x)的圖象，就是將自變量的一個(gè)值x0作為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值f(x0)作為縱坐標(biāo)，就得到坐標(biāo)平面上的一個(gè)點(diǎn)(x0，f(x0)).當(dāng)自變量取遍函數(shù)定義域A中的每一個(gè)值時(shí)，就得到一系列這樣的點(diǎn).所有這些點(diǎn)組成的集合(點(diǎn)集)為{(x0，f(x0))|x∈A}，即{(x，y)|y=f(x)，x∈A}，所有這些點(diǎn)組成的圖形就是函數(shù)y=f(x)的

15、圖象. 函數(shù)的圖象是數(shù)形結(jié)合應(yīng)用的典范. 函數(shù)圖象是函數(shù)關(guān)系的一種表示方法，它能夠也必須把函數(shù)的三要素全面而直觀地反映出來，它是研究函數(shù)關(guān)系、性質(zhì)的重要工具. 函數(shù)圖象是函數(shù)部分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法的基礎(chǔ).函數(shù)圖象部分應(yīng)解決好畫圖、識(shí)圖、用圖這三個(gè)基本問題，即對(duì)函數(shù)的圖象有三點(diǎn)要求：(1)會(huì)畫各種簡(jiǎn)單函數(shù)的圖象；(2)能以函數(shù)的圖象識(shí)別相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)；(3)能用數(shù)形結(jié)合思想以圖輔助解題. 疑難導(dǎo)析 1.兩個(gè)函數(shù)相同的充要條件是它們的定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系分別相同，例如函數(shù)f(x)=｜x｜，與f(x)=x2是同一個(gè)函數(shù). 2.函數(shù)的核心是對(duì)應(yīng)關(guān)系.在函數(shù)符號(hào)y=f(

16、x)中，f是表示函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，等式y(tǒng)=f(x)表明，對(duì)于定義域中的任意x，在對(duì)應(yīng)關(guān)系f的作用下，可得到y(tǒng)，因此，f是使“對(duì)應(yīng)”得以實(shí)現(xiàn)的方法和途徑. 函數(shù)符號(hào)y=f(x)是“y是x的函數(shù)”這句話的數(shù)學(xué)表示，它不表示“y等于f與x的乘積”.f(x)可以是解析式，也可以是圖象或數(shù)表.符號(hào)f(a)與f(x)既有區(qū)別又有聯(lián)系.f(a)表示當(dāng)自變量x=a時(shí)函數(shù)f(x)的值，是一個(gè)常量；而f(x)是自變量x的函數(shù)，在一般情況下，它是一個(gè)變量.f(a)是f(x)的一個(gè)特殊值. 3.值域是全體函數(shù)值所組成的集合.在多數(shù)情況下，一旦定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系確定，函數(shù)的值域也就隨之確定. 問題導(dǎo)思

17、 關(guān)于函數(shù)的兩個(gè)定義實(shí)質(zhì)上是一致的.初中定義的出發(fā)點(diǎn)是運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，而高中定義卻是從集合、對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)出發(fā). 初中階段學(xué)習(xí)的函數(shù)的概念的優(yōu)點(diǎn)是直觀、生動(dòng). 高中階段學(xué)習(xí)的函數(shù)的概念的優(yōu)點(diǎn)：更具一般性.比如按初中的定義就很難判斷下面的表達(dá)式是不是函數(shù)： 現(xiàn)在用高中學(xué)的函數(shù)概念來判斷則是沒有問題的.事實(shí)上，在判斷兩個(gè)函數(shù)是不是同一個(gè)函數(shù)時(shí)，只要定義域和對(duì)應(yīng)法則相同，則必為同一函數(shù)，還有一點(diǎn)，如果三者中有一個(gè)不同，則必不是同一函數(shù). 根據(jù)這組函數(shù)圖象可得到如下結(jié)論： (1)函數(shù)y=-f(x)的圖象與y=f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱； (2)函數(shù)

18、y=f(-x)的圖象與y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱； (3)函數(shù)y=-f(-x)的圖象與y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)(0，0)對(duì)稱； (4)函數(shù)y=f(|x|)=即在y軸上及其右側(cè)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象相同，再將y軸右側(cè)的圖象作關(guān)于y軸的對(duì)稱圖象可得x＜0時(shí)的圖象； (5)函數(shù)y=|f(x)|= 即在x軸上及其上方的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象相同，再將x軸下方的圖象作關(guān)于x軸的對(duì)稱圖象可得f(x)＜0時(shí)的圖象； (6)函數(shù)y=f(x＋1)的圖象是將y=f(x)的圖象向左平移一個(gè)單位得到的； (7)函數(shù)y=f(x)＋1的圖象是將y=f(x)的圖象向上平移一個(gè)單位得到的.

19、 在函數(shù)圖象平移時(shí)，記住一個(gè)口訣：“平移變換，左加右減.”左是往左平移，指的是圖象往左平移幾個(gè)單位，則函數(shù)解析式的自變量要加幾個(gè)單位；右是往右平移，指的是圖象往右平移幾個(gè)單位，解析式的自變量要減去幾個(gè)單位. 典題導(dǎo)考 綠色通道 給定兩個(gè)函數(shù)，要判斷它們是否是同一函數(shù)，主要看兩個(gè)方面：一看定義域是否相同；二看對(duì)應(yīng)法則是否一致.只有當(dāng)兩函數(shù)的定義域相同且對(duì)應(yīng)法則完全一致時(shí)，兩函數(shù)才可稱為同一函數(shù).若判斷兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)，只要三者中有一者不同即可判斷不是同一個(gè)函數(shù). 典題變式 下列四對(duì)函數(shù)中表示同一函數(shù)的是( ) A.f(x)=x，g(x)=()2

20、 B.f(x)=x，g(x)= C.f(x)=x，g(x)= D.f(x)=，g(x)=x+2 答案:C 綠色通道 一般地，求函數(shù)的定義域就是求使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值的集合： (1)解析式是整式的函數(shù)，其定義域?yàn)镽； (2)解析式是分式的函數(shù)，其定義域?yàn)槭狗帜覆粸榱愕膶?shí)數(shù)的集合； (3)解析式是偶次根式的函數(shù)，其定義域是使被開方式為非負(fù)數(shù)的實(shí)數(shù)的集合； (4)如果解析式是由實(shí)際問題得出的，則其定義域不僅是要使實(shí)際問題有意義，還必須是使函數(shù)解析式有意義的實(shí)數(shù)的集合；

21、 (5)求函數(shù)的定義域的步驟通常是先根據(jù)題意列不等式(組)，后解不等式(組)，而后得出結(jié)論. 典題變式 已知函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)镕，g(x)=的定義域?yàn)镚，那么集合F、G的關(guān)系是( ) A.F=G B.FG C.GF D.F∪G=G 答案:C 綠色通道 求值域一定要注意定義域的限制，一定要在定義域的范圍內(nèi)求函數(shù)的值域.當(dāng)然，求值域一定要根據(jù)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系來確定.如果我們抓住了這些解決問題的關(guān)鍵，求這類問題就能得心應(yīng)手. 典題變式 1.函數(shù)y=的值域?yàn)開_____________.

22、 答案:［1，+∞) 2.求下列函數(shù)的值域: (1)y=； (2)y=2x-； (3)y=； (4)y=|x+1|+|x-2|. 答案:(1)［0,3］；(2){y|y≥}； (3)R；(4)［3,+∞）. 3.設(shè)A=［1,b］(b>0)，函數(shù)f(x)=(x-1)2+1，當(dāng)x∈A時(shí)，f(x)的值域也是A，試求b的值. 答案:b=3. 綠色通道 通過實(shí)例，了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)并能簡(jiǎn)單應(yīng)用是新課程標(biāo)準(zhǔn)的基本要求.對(duì)于分段函數(shù)來說，給定自變量求函數(shù)值時(shí)，應(yīng)根據(jù)自變量所在的范圍利用相應(yīng)的解析式直接求值；若給定函數(shù)值求自變量，應(yīng)根據(jù)函數(shù)每一段的解析式分別求解.但應(yīng)注意要檢驗(yàn)

23、該值是否在相應(yīng)自變量的取值范圍內(nèi). 典題變式 1.已知函數(shù)y=f(x)滿足f(0)=1，f(x)=xf(x-1)(x∈N*)，則f(4)的值為( ) A.4 B.12 C.24 D.32 答案:C 2.已知函數(shù)y=求f［f()］的值. 答案:f［f()］=. 綠色通道 本題是已知復(fù)合函數(shù)的定義域求另一個(gè)復(fù)合函數(shù)的定義域問題.解決這類問題的重要原則是：相同的對(duì)應(yīng)法則所作用對(duì)象的范圍是一致的.這里函數(shù)y=f(2x-1)的定義域?yàn)椋?1，1］是指自變量x的取值范圍，而不是指2x

24、-1這個(gè)式子的值的范圍.解決這類問題的關(guān)鍵是找出原函數(shù)y=f(t)的定義域. 這里的定義域［-1，1］是函數(shù)y=f(2x-1)中x的范圍，即x∈［-1，1］，而不是2x-1∈［-1，1］. 典題變式 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?，2］，則函數(shù)f(x+1)的定義域是( ) A.［-2，2］ B.［-1，1］ C.［0，2］ D.［1，3］ 答案:B 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375