《全國(guó)通用版高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 3.2 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算 3.2.2 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算學(xué)案 新人教A版選修22》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《全國(guó)通用版高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 3.2 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算 3.2.2 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算學(xué)案 新人教A版選修22（14頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 3.2.2　復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法和除法運(yùn)算.2.理解復(fù)數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和乘法對(duì)加法的分配律.3.理解共軛復(fù)數(shù)的概念． 知識(shí)點(diǎn)一　復(fù)數(shù)的乘法及其運(yùn)算律 思考　怎樣進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算？ 答案　兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似于兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，只要把已得結(jié)果中的i2換成－1，并且把實(shí)部與虛部分別合并即可． 梳理　(1)復(fù)數(shù)的乘法法則 設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積 (a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. (2)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律 對(duì)于任意z1，z2，z3∈C，有 交換律 z1z2＝z2z1

2、 結(jié)合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 乘法對(duì)加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 知識(shí)點(diǎn)二　共軛復(fù)數(shù) 當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)，z的共軛復(fù)數(shù)用表示．即z＝a＋bi，則＝a－bi. 知識(shí)點(diǎn)三　復(fù)數(shù)的除法法則 思考　類比根式除法的分母有理化，比如＝，你能寫出復(fù)數(shù)的除法法則嗎？ 答案　設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)， 則＝＝＋i. 1．復(fù)數(shù)加減乘除的混合運(yùn)算法則是先乘除，再加減．(　√　) 2．兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的和與積是實(shí)數(shù)．(　√　) 3．若z1，z2∈C，且z＋z＝0，則z1＝z2＝

3、0.(　×　) 類型一　復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 例1　計(jì)算： (1)(1＋i)； (2)； (3). 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則 題點(diǎn)　乘除法的運(yùn)算法則 解　(1)(1＋i) ＝(1＋i) ＝(1＋i) ＝＋i ＝－＋i. (2)＝ ＝＝＝＋i. (3)＝ ＝＝ ＝＝＝1－i. 反思與感悟　(1)按照復(fù)數(shù)的乘法法則，三個(gè)或三個(gè)以上的復(fù)數(shù)相乘可按從左到右的順序運(yùn)算或利用結(jié)合律運(yùn)算，混合運(yùn)算和實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序一致，在計(jì)算時(shí)，若符合乘法公式，則可直接運(yùn)用公式計(jì)算． (2)根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則，通過分子、分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，使“分母實(shí)數(shù)化”，這個(gè)過

4、程與“分母有理化”類似． 跟蹤訓(xùn)練1　計(jì)算： (1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)； (2)＋； (3). 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則 題點(diǎn)　乘除法的運(yùn)算法則 解　(1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i) ＝(24＋8i－6i＋2)－(28＋21i－4i＋3) ＝(26＋2i)－(31＋17i)＝－5－15i. (2)＋ ＝＋＝i－i＝0. (3)＝ ＝＝ ＝＝＝－1＋i. 類型二　i的運(yùn)算性質(zhì) 例2　計(jì)算：(1)＋2 016； (2)i＋i2＋…＋i2 017. 考點(diǎn)　虛數(shù)單位i及其性質(zhì) 題點(diǎn)　虛數(shù)單位i的運(yùn)算性質(zhì) 解　(1

5、)原式＝＋1 008 ＝i(1＋i)＋(－i)1 008 ＝i＋i2＋(－1)1 008·i1 008 ＝i－1＋i4×252 ＝i－1＋1 ＝i. (2)方法一　原式＝＝ ＝＝ ＝＝＝i. 方法二　因?yàn)閕n＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝in(1＋i＋i2＋i3)＝0(n∈N*)， 所以原式＝(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＋i2 017 ＝i2 017＝(i4)504·i＝1504·i＝i. 反思與感悟　(1)等差、等比數(shù)列的求和公式在復(fù)數(shù)集C

6、中仍適用，i的周期性要記熟，即in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)． (2)記住以下結(jié)果，可提高運(yùn)算速度 ①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i； ②＝－i，＝i； ③＝－i. 跟蹤訓(xùn)練2　(1)2 017＝________. 考點(diǎn)　虛數(shù)單位i及其性質(zhì) 題點(diǎn)　虛數(shù)單位i的運(yùn)算性質(zhì) 答案　i 解析　2 017＝2 017＝2 017 ＝i2 017＝(i4)504·i＝1504·i＝i. (2)化簡(jiǎn)i＋2i2＋3i3＋…＋100i100. 考點(diǎn)　虛數(shù)單位i及其性質(zhì) 題點(diǎn)　虛數(shù)單位i的運(yùn)算性質(zhì) 解　設(shè)S＝i＋2i2＋3i3＋…＋10

7、0i100，① 所以iS＝i2＋2i3＋…＋99i100＋100i101，② ①－②得 (1－i)S＝i＋i2＋i3＋…＋i100－100i101 ＝－100i101＝0－100i＝－100i. 所以S＝＝＝ ＝50－50i. 所以i＋2i2＋3i3＋…＋100i100＝50－50i. 類型三　共軛復(fù)數(shù)及其應(yīng)用 例3　把復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)記作，已知(1＋2i)＝4＋3i，求z. 考點(diǎn)　共軛復(fù)數(shù)的定義與應(yīng)用 題點(diǎn)　利用定義求共軛復(fù)數(shù) 解　設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則＝a－bi， 由已知得(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i， 由復(fù)數(shù)相

8、等的定義知，得a＝2，b＝1， 所以z＝2＋i. 引申探究　 例3條件改為(z＋2)＝4＋3i，求z. 解　設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)．則＝x－yi， 由題意知，(x－yi)(x＋yi＋2)＝4＋3i. 得 解得或 所以z＝－i或z＝－i. 反思與感悟　當(dāng)已知條件出現(xiàn)復(fù)數(shù)等式時(shí)，常設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題求解． 跟蹤訓(xùn)練3　已知復(fù)數(shù)z滿足|z|＝1，且(3＋4i)z是純虛數(shù)，求z的共軛復(fù)數(shù). 考點(diǎn)　共軛復(fù)數(shù)的定義與應(yīng)用 題點(diǎn)　利用定義求共軛復(fù)數(shù) 解　設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則|z|＝＝1， 即a2＋b2＝1.① 因?yàn)?3＋4

9、i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i是純虛數(shù)，所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0.② 由①②聯(lián)立，解得或 所以＝－i或＝－＋i. 1．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足iz＝1，其中i為虛數(shù)單位，則z等于(　　) A．－i B．i C．－1 D．1 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則 題點(diǎn)　利用乘除法求復(fù)數(shù)中的未知數(shù) 答案　A 解析　z＝＝－i. 2．若z＝4＋3i(i為虛數(shù)單位)，則等于(　　) A．1 B．－1 C.＋i D.－i 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則 題點(diǎn)　乘除法的運(yùn)算法則 答案　D 解析　z＝4＋3i，|z|＝5，＝－i.

10、3．已知＝1＋i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z等于(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　復(fù)數(shù)的混合運(yùn)算 答案　D 解析　因?yàn)椋?＋i， 所以z＝＝＝＝－1－i. 4．設(shè)i是虛數(shù)單位，是復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，若z＝，則＝________. 考點(diǎn)　共軛復(fù)數(shù)的定義與應(yīng)用 題點(diǎn)　利用定義求共軛復(fù)數(shù) 答案　－1＋i 解析　z＝＝＝－1－i， 所以＝－1＋i. 5．已知復(fù)數(shù)z滿足：z·＋2zi＝8＋6i，求復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部的和． 考點(diǎn)　共軛復(fù)數(shù)的定義與應(yīng)用 題點(diǎn)　與共軛復(fù)數(shù)有關(guān)系的綜合問題 解　設(shè)z＝

11、a＋bi(a，b∈R)， 則z·＝a2＋b2， ∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i， 即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i， ∴解得 ∴a＋b＝4， ∴復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部的和是4. 1．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 (1)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法類似于多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及乘法對(duì)加法的分配律． (2)在進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算時(shí)，通常先將除法寫成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)后可得，類似于以前學(xué)習(xí)的分母有理化． 2．共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)可以用來解決一些復(fù)數(shù)問題． 3．復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化思想． 復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問題

12、的基本思想方法，其橋梁是設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件轉(zhuǎn)化. 一、選擇題 1．i為虛數(shù)單位，＋＋＋等于(　　) A．0 B．2i C．－2i D．4i 考點(diǎn)　虛數(shù)單位i及其性質(zhì) 題點(diǎn)　虛數(shù)單位i的運(yùn)算性質(zhì) 答案　A 解析　＝－i，＝i，＝－i，＝i， ∴＋＋＋＝0. 2．復(fù)數(shù)(1＋i)2(2＋3i)的值為(　　) A．6－4i B．－6－4i C．6＋4i D．－6＋4i 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則 題點(diǎn)　乘除法的運(yùn)算法則 答案　D 解析　(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i. 3．已知復(fù)數(shù)z滿足

13、(z－1)i＝1＋i，則z等于(　　) A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則 題點(diǎn)　利用乘除法求復(fù)數(shù)中的未知數(shù) 答案　C 解析　由(z－1)i＝1＋i，兩邊同乘以－i，則有z－1＝1－i，所以z＝2－i. 4．已知復(fù)數(shù)z1＝3－bi，z2＝1－2i，若是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)b等于(　　) A．6 B．－6 C．0 D. 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則 題點(diǎn)　利用乘除法求復(fù)數(shù)中的未知數(shù) 答案　A 解析　∵＝＝ ＝是實(shí)數(shù)， ∴6－b＝0，∴實(shí)數(shù)b的值為6，故選A. 5．已知i為虛數(shù)單位，圖中復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)A表示復(fù)數(shù)z，則

14、表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)是(　　) A．M B．N C．P D．Q 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則 題點(diǎn)　運(yùn)算結(jié)果與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系 答案　D 解析　由圖可知z＝3＋i， 所以復(fù)數(shù)＝＝＝＝2－i表示的點(diǎn)是Q(2，－1)．故選D. 6．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足＝i，則|z|等于(　　) A．1 B. C. D．2 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則 題點(diǎn)　利用乘除法求復(fù)數(shù)中的未知數(shù) 答案　A 解析　由＝i， 得z＝＝＝＝i， |z|＝|i|＝1. 7．若z＋＝6，z·＝10，則z等于(　　) A．1±3i B．3±i C．3＋i D．3－i

15、 考點(diǎn)　共軛復(fù)數(shù)的定義與應(yīng)用 題點(diǎn)　與共軛復(fù)數(shù)有關(guān)的綜合問題 答案　B 解析　設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)， 則＝a－bi， 所以解得則z＝3±i. 8．計(jì)算＋的值是(　　) A．0 B．1 C．2i D．i 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　復(fù)數(shù)的混合運(yùn)算 答案　C 解析　原式＝＋ ＝＋ ＝＋i＝＋i ＝＋i＝2i. 二、填空題 9．已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位，若(1＋i)(1－bi)＝a，則的值為________． 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則 題點(diǎn)　利用乘除法求復(fù)數(shù)中的未知數(shù) 答案　2 解析　因?yàn)?1＋i)(1－bi)＝1＋

16、b＋(1－b)i＝a， 又a，b∈R，所以1＋b＝a且1－b＝0， 得a＝2，b＝1，所以＝2. 10．若復(fù)數(shù)z滿足(3－4i)z＝4＋3i(i是虛數(shù)單位)，則|z|＝________. 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則 題點(diǎn)　利用乘除法求復(fù)數(shù)中的未知數(shù) 答案　1 解析　因?yàn)?3－4i)z＝4＋3i， 所以z＝＝＝＝i. 則|z|＝1. 11．定義一種運(yùn)算：＝ad－bc.則復(fù)數(shù) 的共軛復(fù)數(shù)是________． 考點(diǎn)　共軛復(fù)數(shù)的定義與應(yīng)用 題點(diǎn)　利用定義求共軛復(fù)數(shù) 答案?。?－3i 解析?。?i(1＋i)＋2＝－1＋3i， ∴其共軛復(fù)數(shù)為－1－3i. 三、解答題 1

17、2．已知z，ω為復(fù)數(shù)，(1＋3i)z為純虛數(shù)，ω＝，且|ω|＝5，求ω. 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則 題點(diǎn)　乘除法的綜合應(yīng)用 解　設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)， 則(1＋3i)z＝a－3b＋(3a＋b)i. 由題意得a－3b＝0,3a≠－b. 因?yàn)閨ω|＝＝5， 所以|z|＝＝5， 將a＝3b代入，解得a＝15，b＝5或a＝－15，b＝－5， 故ω＝±＝±(7－i)． 13．已知復(fù)數(shù)z＝1＋i. (1)設(shè)ω＝z2＋3－4，求ω； (2)若＝1－i，求實(shí)數(shù)a，b的值． 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　與混合運(yùn)算有關(guān)的未知數(shù)求解 解　(1)因?yàn)?/p>

18、z＝1＋i， 所以ω＝z2＋3－4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i. (2)因?yàn)閦＝1＋i， 所以＝＝1－i， 即＝1－i， 所以(a＋b)＋(a＋2)i＝(1－i)i＝1＋i， 所以解得 四、探究與拓展 14．投擲兩顆骰子，得到其向上的點(diǎn)數(shù)分別為m和n，則復(fù)數(shù)(m＋ni)(n－mi)為實(shí)數(shù)的概率為________． 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則 題點(diǎn)　乘除法的綜合應(yīng)用 答案　 解析　易知(m＋ni)(n－mi)＝mn－m2i＋n2i＋mn＝2mn＋(n2－m2)i. 若復(fù)數(shù)(m＋ni)(n－mi)為實(shí)數(shù)， 則m2＝n2，即(m，n)共有(1,1)，(2,2

19、)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，6種情況， 所以所求概率為＝. 15．設(shè)z是虛數(shù)，ω＝z＋是實(shí)數(shù)，且－1<ω<2. (1)求|z|的值及z的實(shí)部的取值范圍； (2)設(shè)μ＝，求證：μ為純虛數(shù)． 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　與四則運(yùn)算有關(guān)的問題 (1)解　因?yàn)閦是虛數(shù)， 所以可設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)， 則ω＝z＋＝(x＋yi)＋＝x＋yi＋＝＋i. 因?yàn)棣厥菍?shí)數(shù)，且y≠0， 所以y－＝0， 即x2＋y2＝1. 所以|z|＝1，此時(shí)ω＝2x. 又－1<ω<2，所以－1<2x<2. 所以－<x<1， 即z的實(shí)部的取值范圍是. (2)證明　μ＝＝ ＝ ＝. 又x2＋y2＝1，所以μ＝－i. 因?yàn)閥≠0，所以μ為純虛數(shù)． 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375