《全國通用版高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 3.2 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算 3.2.1 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算及其幾何意義學(xué)案 新人教A版選修22》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《全國通用版高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 3.2 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算 3.2.1 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算及其幾何意義學(xué)案 新人教A版選修22（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 3．2.1　復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算及其幾何意義 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.熟練掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算法則.2.理解復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，能夠利用“數(shù)形結(jié)合”的思想解題． 知識點一　復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減法 思考　類比多項式的加減法運算，想一想復(fù)數(shù)如何進行加減法運算？ 答案　兩個復(fù)數(shù)相加(減)就是把實部與實部、虛部與虛部分別相加(減)，即(a＋bi)(c＋di)＝(ac)＋(bd)i. 梳理　(1)運算法則 設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意兩個復(fù)數(shù)，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i. (2)加法運算

2、律 對任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 知識點二　復(fù)數(shù)加減法的幾何意義 思考1　復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量一一對應(yīng)，你能從向量加法的幾何意義出發(fā)討論復(fù)數(shù)加法的幾何意義嗎？ 答案　如圖，設(shè)，分別與復(fù)數(shù)a＋bi，c＋di對應(yīng)， 則＝(a，b)，＝(c，d)， 由平面向量的坐標(biāo)運算，得＋＝(a＋c，b＋d)， 所以＋與復(fù)數(shù)(a＋c)＋(b＋d)i對應(yīng)，復(fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來進行． 思考2　怎樣作出與復(fù)數(shù)z1－z2對應(yīng)的向量？ 答案　z1－z2可以看作z1＋(－z2)．因為復(fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來進行．所以可

3、以按照平行四邊形法則或三角形法則作出與z1－z2對應(yīng)的向量(如圖)．圖中對應(yīng)復(fù)數(shù)z1，對應(yīng)復(fù)數(shù)z2，則對應(yīng)復(fù)數(shù)z1－z2. 梳理 復(fù)數(shù)加法的幾何意義 復(fù)數(shù)z1＋z2是以，為鄰邊的平行四邊形的對角線所對應(yīng)的復(fù)數(shù) 復(fù)數(shù)減法的幾何意義 復(fù)數(shù)z1－z2是從向量的終點指向向量的終點的向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù) 1．兩個虛數(shù)的和或差可能是實數(shù)．(　√　) 2．在進行復(fù)數(shù)的加法時，實部與實部相加得實部，虛部與虛部相加得虛部．(　√　) 3．復(fù)數(shù)的減法不滿足結(jié)合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立．(　　) 類型一　復(fù)數(shù)的加法、減法運算 例1　(1)若z

4、1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，復(fù)數(shù)z1＋z2所對應(yīng)的點在實軸上，則a＝________. (2)已知復(fù)數(shù)z滿足|z|i＋z＝1＋3i，則z＝________. 考點　復(fù)數(shù)的加減法運算法則 題點　復(fù)數(shù)加減法的綜合應(yīng)用 答案　(1)－1　(2)1＋i 解析　(1)z1＋z2＝(2＋i)＋(3＋ai)＝5＋(a＋1)i， 由題意得a＋1＝0，則a＝－1. (2)設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，則|z|＝， ∴|z|i＋z＝i＋x＋yi＝x＋(＋y)i ＝1＋3i， ∴解得 ∴z＝1＋i. 反思與感悟　(1)復(fù)數(shù)的加減運算就是實部與實部相加減，虛部與虛部相加減． (2)

5、當(dāng)一個等式中同時含有|z|與z時，一般用待定系數(shù)法，設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)． 跟蹤訓(xùn)練1　(1)若復(fù)數(shù)z滿足z＋i－3＝3－i，則z＝________. (2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝________(a，b∈R)． (3)已知復(fù)數(shù)z滿足|z|＋z＝1＋3i，則z＝________. 考點　復(fù)數(shù)的加減法運算法則 題點　復(fù)數(shù)加減法的運算法則 答案　(1)6－2i　(2)－a＋(4b－3)i　(3)－4＋3i 解析　(1)∵z＋i－3＝3－i，∴z＝6－2i. (2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i ＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i

6、. (3)設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，|z|＝， ∴|z|＋z＝(＋x)＋yi＝1＋3i， ∴解得 ∴z＝－4＋3i. 類型二　復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義 例2　(1)如圖所示，平行四邊形OABC的頂點O，A，C分別對應(yīng)的復(fù)數(shù)為0，3＋2i，－2＋4i.求： ①表示的復(fù)數(shù)； ②表示的復(fù)數(shù)； ③表示的復(fù)數(shù)． 考點　復(fù)數(shù)的加減法運算法則 題點　復(fù)數(shù)加減法與向量的對應(yīng) 解　∵A，C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為3＋2i，－2＋4i， 由復(fù)數(shù)的幾何意義，知與表示的復(fù)數(shù)分別為3＋2i，－2＋4i. ①因為＝－，所以表示的復(fù)數(shù)為－3－2i. ②因為＝－， 所以表示的復(fù)數(shù)為(3＋2i)－

7、(－2＋4i)＝5－2i. ③＝＋， 所以表示的復(fù)數(shù)為(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. (2)已知z1，z2∈C，|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|. 考點　復(fù)數(shù)加減法的幾何意義及應(yīng)用 題點　與加減法幾何意義有關(guān)的模的問題 解　根據(jù)復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，由|z1|＝|z2|知，以，為鄰邊的平行四邊形OACB是菱形． 如圖，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z2， ∴||＝||，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1＋z2，∴||＝. 在△AOC中，||＝||＝1，||＝， ∴∠AOC＝30.同理得∠BOC＝30， ∴△OAB為等邊三角形，則||＝1，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為

8、z1－z2，∴|z1－z2|＝1. 引申探究　 若將本例(2)中的條件“|z1＋z2|＝”改為“|z1－z2|＝1”，求|z1＋z2|. 解　如例2(2)圖，向量表示的復(fù)數(shù)為z1－z2， ∴||＝1，則△AOB為等邊三角形，∴∠AOC＝30， 則||＝，∴||＝，表示的復(fù)數(shù)為z1＋z2， ∴|z1＋z2|＝. 反思與感悟　(1)常用技巧 ①形轉(zhuǎn)化為數(shù)：利用幾何意義可以把幾何圖形的變換轉(zhuǎn)化成復(fù)數(shù)運算去處理； ②數(shù)轉(zhuǎn)化為形：對于一些復(fù)數(shù)運算也可以給予幾何解釋，使復(fù)數(shù)作為工具運用于幾何之中． (2)常見結(jié)論：在復(fù)平面內(nèi)，z1，z2對應(yīng)的點分別為A，B，z1＋z2對應(yīng)的點為C，O為

9、坐標(biāo)原點． ①四邊形OACB為平行四邊形； ②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，則四邊形OACB為矩形； ③若|z1|＝|z2|，則四邊形OACB為菱形； ④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，則四邊形OACB為正方形． 跟蹤訓(xùn)練2　(1)已知復(fù)平面內(nèi)的平面向量，表示的復(fù)數(shù)分別是－2＋i,3＋2i，則||＝________. (2)若z1＝2＋i，z2＝3＋ai，復(fù)數(shù)z2－z1所對應(yīng)的點在第四象限上，則實數(shù)a的取值范圍是__________． 考點　復(fù)數(shù)的加減法運算法則 題點　復(fù)數(shù)的加減法與向量的對應(yīng) 答案　(1)　(2)(－∞，1) 解析　(1)∵＝＋，

10、 ∴表示的復(fù)數(shù)為(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i， ∴||＝＝. (2)z2－z1＝1＋(a－1)i，由題意知a－1<0，即a<1. 1．設(shè)z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，則z1－z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考點　復(fù)數(shù)的加減法運算法則 題點　復(fù)數(shù)加減法與點的對應(yīng) 答案　D 解析　∵z1－z2＝5－7i， ∴z1－z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限． 2．已知復(fù)數(shù)z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是純虛數(shù)，那么實數(shù)a的值為(　　) A．1 B．2 C．

11、－2 D．－2或1 考點　復(fù)數(shù)的加減法運算法則 題點　復(fù)數(shù)加減法的運算法則 答案　C 解析　由z1＋z2＝a2－2＋a＋(a2－3a＋2)i是純虛數(shù)，得得a＝－2. 3．在復(fù)平面內(nèi)，O是原點，，，表示的復(fù)數(shù)分別為－2＋i，3＋2i,1＋5i，則表示的復(fù)數(shù)為(　　) A．2＋8i B．4－4i C．6－6i D．－4＋2i 考點　復(fù)數(shù)的加減法運算法則 題點　復(fù)數(shù)加減法與向量的對應(yīng) 答案　B 解析　＝－＝－(＋)＝4－4i. 4．設(shè)f(z)＝|z|，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，則f(z1－z2)等于(　　) A. B．5 C. D．5 考點　復(fù)

12、數(shù)的加減法運算法則 題點　復(fù)數(shù)加減法的綜合應(yīng)用 答案　D 解析　因為z1－z2＝5＋5i， 所以f(z1－z2)＝f(5＋5i)＝|5＋5i|＝5. 5．設(shè)平行四邊形ABCD在復(fù)平面內(nèi)，A為原點，B，D兩點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是3＋2i和2－4i，則點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是__________． 考點　復(fù)數(shù)加減法的幾何意義及應(yīng)用 題點　與加減法幾何意義有關(guān)的綜合應(yīng)用 答案　5－2i 解析　設(shè)AC與BD的交點為E，則E點坐標(biāo)為，設(shè)點C坐標(biāo)為(x，y)，則x＝5，y＝－2，故點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為5－2i. 1．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減法滿足交換律、結(jié)合律，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運算． 2．復(fù)數(shù)加法

13、的幾何意義就是向量加法的平行四邊形法則，復(fù)數(shù)減法的幾何意義就是向量減法的三角形法則. 一、選擇題 1．若復(fù)數(shù)z滿足z＋(3－4i)＝1，則z的虛部是(　　) A．－2 B．4 C．3 D．－4 考點　復(fù)數(shù)的加減法運算法則 題點　復(fù)數(shù)加減法的運算法則 答案　B 解析　∵z＋(3－4i)＝1， ∴z＝－2＋4i，故z的虛部是4. 2．實數(shù)x，y滿足z1＝y(tǒng)＋xi，z2＝y(tǒng)i－x，且z1－z2＝2，則xy的值是(　　) A．1 B．2 C．－2 D．－1 考點　復(fù)數(shù)的加減法運算法則 題點　復(fù)數(shù)加減法的綜合應(yīng)用 答案　A 解析　z1－z2＝(y＋x)

14、＋(x－y)i＝2， 即　∴x＝y(tǒng)＝1，則xy＝1. 3．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所對應(yīng)的點在實軸上，則a的值為(　　) A．3 B．2 C．1 D．－1 考點　復(fù)數(shù)加減法運算法則 題點　復(fù)數(shù)加減法與點的對應(yīng) 答案　D 解析　z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i ＝5＋(1＋a)i. ∵z1＋z2所對應(yīng)的點在實軸上， ∴1＋a＝0，∴a＝－1. 4．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足關(guān)系式z＋|z|＝2＋i，那么z等于(　　) A．－＋i B.－i C．－－i D.＋i 考點　復(fù)數(shù)的加減法運算法則 題點　復(fù)數(shù)加減法的運算

15、法則 答案　D 解析　設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)， 則z＋|z|＝(a＋)＋bi＝2＋i， 則　解得 ∴z＝＋i. 5．已知復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量如圖所示，則復(fù)數(shù)z＋1所對應(yīng)的向量正確的是(　　) 考點　復(fù)數(shù)的加減法運算法則 題點　復(fù)數(shù)加減法與向量的對應(yīng) 答案　A 解析　由圖知z＝－2＋i，則z＋1＝－1＋i，由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，A是正確的． 6．復(fù)數(shù)z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它們的和z1＋z2為實數(shù)，差z1－z2為純虛數(shù)，則a，b的值為(　　) A．a(chǎn)＝－3，b＝－4 B．a(chǎn)＝－3，b＝4 C．a(chǎn)＝3，b＝－4 D．a(chǎn)＝3，b＝4 考點　復(fù)

16、數(shù)的加減法運算法則 題點　復(fù)數(shù)加減法的綜合應(yīng)用 答案　A 解析　因為z1＋z2＝(a－3)＋(4＋b)i為實數(shù)， 所以4＋b＝0，b＝－4. 因為z1－z2＝(a＋4i)－(－3＋bi)＝(a＋3)＋(4－b)i為純虛數(shù)， 所以a＝－3且b≠4.故a＝－3，b＝－4. 7．在復(fù)平面內(nèi)點A，B，C所對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1＋3i，－i，2＋i，若＝，則點D表示的復(fù)數(shù)是(　　) A．1－3i B．－3－i C．3＋5i D．5＋3i 考點　復(fù)數(shù)加減法的幾何意義及應(yīng)用 題點　與加減法幾何意義有關(guān)的綜合應(yīng)用 答案　C 解析　∵點A，B，C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1＋3i，－i,2＋

17、i， ∴對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2＋2i.設(shè)D(x，y)， ∵＝，∴(x－1，y－3)＝(2,2)， ∴　解得 ∴點D表示的復(fù)數(shù)為3＋5i. 二、填空題 8．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i(x，y∈R)，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．設(shè)z＝z1－z2，且z＝13－2i，則z1＝________，z2＝________. 考點　復(fù)數(shù)的加減法運算法則 題點　復(fù)數(shù)加減法的綜合應(yīng)用 答案　5－9i　－8－7i 解析　∵z＝z1－z2＝(3x＋y－4y＋2x)＋(y－4x＋5x＋3y)i＝(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i， ∴解得 ∴z1＝5－9i，

18、z2＝－8－7i. 9．設(shè)z＝3－4i，則復(fù)數(shù)z－|z|＋(1－i)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點在第________象限． 考點　復(fù)數(shù)的加減法運算法則 題點　復(fù)數(shù)加減法與點的對應(yīng) 答案　三 解析　因為z＝3－4i，所以|z|＝5， 所以z－|z|＋(1－i)＝3－4i－5＋(1－i)＝－1－5i. 復(fù)數(shù)z＝－1－5i在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點Z(－1，－5)位于第三象限． 10．已知|z|＝4，且z＋2i是實數(shù)，則復(fù)數(shù)z＝________. 考點　復(fù)數(shù)的加減法運算法則 題點　復(fù)數(shù)加減法的綜合應(yīng)用 答案　2－2i 解析　因為z＋2i是實數(shù)，可設(shè)z＝a－2i(a∈R)， 由|z|＝4得a2

19、＋4＝16， 所以a2＝12，所以a＝2， 所以z＝2－2i. 11.如圖所示，在復(fù)平面內(nèi)的四個點O，A，B，C恰好構(gòu)成平行四邊形，其中O為原點，A，B，C所對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是zA＝4＋ai，zB＝6＋8i，zC＝a＋bi(a，b∈R)，則zA－zC＝________. 考點　復(fù)數(shù)的加減法運算法則 題點　復(fù)數(shù)加減法與向量的對應(yīng) 答案　2－4i 解析　因為＋＝， 所以4＋ai＋(a＋bi)＝6＋8i. 因為a，b∈R， 所以所以 所以zA＝4＋2i，zC＝2＋6i， 所以zA－zC＝(4＋2i)－(2＋6i)＝2－4i. 三、解答題 12．設(shè)m∈R，復(fù)數(shù)z1＝＋(m

20、－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虛數(shù)，求m的取值范圍． 考點　復(fù)數(shù)的加減法運算法則 題點　復(fù)數(shù)加減法的運算法則 解　因為z1＝＋(m－15)i， z2＝－2＋m(m－3)i， 所以z1＋z2＝＋[(m－15)＋m(m－3)]i ＝＋(m2－2m－15)i. 因為z1＋z2是虛數(shù)， 所以m2－2m－15≠0且m≠－2， 所以m≠5且m≠－3且m≠－2， 所以m的取值范圍是(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2,5)∪(5，＋∞)． 13．(1)若f(z)＝z＋1－i，z1＝3＋4i，z2＝－2＋i，求f(z1－z2)； (2)若z1＝2cos θ－i

21、，z2＝－＋2isin θ(0≤θ≤2π)，且z1＋z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，求θ的取值范圍． 考點　復(fù)數(shù)加減法的幾何意義及應(yīng)用 題點　與加減法幾何意義有關(guān)的綜合應(yīng)用 解　(1)z1－z2＝(3＋4i)－(－2＋i)＝5＋3i， f(z1－z2)＝f(5＋3i)＝(5＋3i)＋1－i＝6＋2i. (2)z1＋z2＝(2cos θ－)＋(2sin θ－1)i， 由題意得即 又θ∈[0,2π]，所以θ∈. 四、探究與拓展 14．復(fù)數(shù)z1＝1＋icos θ，z2＝sin θ－i，則|z1－z2|的最大值為(　　) A．3－2 B.－1 C．3＋2 D.＋1

22、考點　復(fù)數(shù)加減法的幾何意義及應(yīng)用 題點　與加減法幾何意義有關(guān)的模的問題 答案　D 解析　|z1－z2|＝|(1－sin θ)＋(cos θ＋1)i| ＝ ＝ ＝ . ∵max＝1， ∴|z1－z2|max＝＝＋1. 15．已知復(fù)平面內(nèi)平行四邊形ABCD，A點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2＋i，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1＋2i，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3－i，求： (1)點C，D對應(yīng)的復(fù)數(shù)； (2)平行四邊形ABCD的面積． 考點　復(fù)數(shù)加減法的幾何意義及應(yīng)用 題點　與加減法幾何意義有關(guān)的綜合應(yīng)用 解　(1)因為向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1＋2i，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3－i， 所以向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3－i)－(1

23、＋2i)＝2－3i. 又＝＋， 所以點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. 因為＝， 所以向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3－i， 即＝(3，－1)． 設(shè)D(x，y)，則＝(x－2，y－1)＝(3，－1)， 所以解得 所以點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為5. (2)因為＝||||cos B， 所以cos B＝＝＝. 所以sin B＝. 所以S＝||||sin B＝＝7， 所以平行四邊形ABCD的面積為7. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375