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1、
高考數(shù)學精品復習資料
2019.5
第7講 解三角形的實際應用舉例
基礎鞏固題組
(建議用時:40分鐘)
一、選擇題
1.兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站北偏東40,燈塔B在觀察站南偏東60,則燈塔A在燈塔B的 ( ).
A.北偏東10 B.北偏西10
C.南偏東10 D.南偏西10
解析 燈塔A,B的相對位置如圖所示,由已知得∠ACB=80,∠CAB= ∠CBA=50,則α=60-50=10,即北偏西10.
答案 B
2.在某個位
2、置測得某山峰仰角為α,對著山峰在水平地面上前進900 m后測得仰角為2α,繼續(xù)在水平地面上前進300 m后,測得山峰的仰角為4α,則該山峰的高度為 ( ).
A.300 m B.450 m
C.300 m D.600 m
解析 如圖所示,易知,在△ADE中,∠DAE=2α,∠ADE=180-4α,
AD=300 m,由正弦定理,得
=,
解得cos 2α=,
則sin 2α=,sin 4α=,
所以在Rt△ABC中山峰的高度h=300sin 4α=300=450(m).
答案 B
3.要測量底部不能到達的東方明珠電視塔的高度,在黃浦江西岸選擇甲
3、、乙兩觀測點,在甲、乙兩點測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45,30,在水平面上測得電視塔與甲地連線及甲、乙兩地連線所成的角為120,甲、乙兩地相距500 m,則電視塔的高度是 ( ).
A.100 m B.400 m
C.200 m D.500 m
解析 由題意畫出示意圖,設塔高AB=h m,在Rt△ABC中,由已知得BC=h m,在Rt△ABD中,由已知得BD=h m,在△BCD中,由余弦定理BD2=BC2+CD2-2BCCDcos∠BCD,得3h2=h2+5002+h500,解得h=500(m).
答案 D
4.(20xx白鷺洲中學模擬)如圖所示,長為3.5 m
4、的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在離堤足C處1.4 m的地面上,另一端B在離堤足C處2.8 m的石堤上,石堤的傾斜角為α,則坡度值tan α等于 ( ).
A. B.
C. D.
解析 由題意,可得在△ABC中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且∠α+∠ACB=π.
由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos∠ACB,即3.52=1.42+2.82-21.42.8cos(π-α),解得cos α=,所以sin α=,所以 tan α==.
答案 A
5.(20xx長安一中模擬)如圖,兩座相距60 m的建筑物AB,C
5、D的高度分別為20 m,50 m,BD為水平面,則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為
( ).
A.30 B.45
C.60 D.75
解析 依題意可得AD=20 m,AC=30 m,又CD=50 m,所以在 △ACD中,由余弦定理,得cos∠CAD====,又0<∠CAD<180,所以∠CAD=45,所以從頂端A看建筑物CD的張角為45.
答案 B
二、填空題
6.在相距2千米的A,B兩點處測量目標點C,若∠CAB=75,∠C
6、BA=60,則A,C兩點之間的距離為________千米.
解析 由已知條件∠CAB=75,∠CBA=60,得∠ACB=45.結合正弦定理,得=,即=,解得AC=(千米).
答案
7.(20xx杭州一中測試)如圖,一艘船上午9:30在A處測得燈塔S在它的北偏東30處,之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行,上午10:00到達B處,此時又測得燈塔S在它的北偏東75處,且與它相距8 n mile.此船的航速是________ n mile/h.
解析 設航速為v n mile/h,
在△ABS中,AB=v,BS=8 n mile,∠BSA=45,由正弦定理,得=,∴v=32 n
7、mile/h.
答案 32
8.某登山隊在山腳A處測得山頂B的仰角為45,沿傾斜角為30的斜坡前進 1 000 m后到達D處,又測得山頂?shù)难鼋菫?0,則山的高度BC為________m.
解析 過點D作DE∥AC交BC于E,因為∠DAC=30,故∠ADE=150.于是∠ADB=360-150-60=150.又∠BAD=45-30=15,
故∠ABD=15,由正弦定理得AB=
==500(+)(m).
所以在Rt△ABC中,BC=ABsin 45=500(+1)(m).
答案 500(+1)
三、解答題
9.如圖所示,測量河對岸的塔高AB時,可以選與塔底B在同一水平面
8、內的兩個測點C與D,現(xiàn)測得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在點C測得塔頂A的仰角為θ,求塔高AB.
解 在△BCD中,∠CBD=π-α-β,
由正弦定理得=,
所以BC==,
在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=.
10.(20xx石家莊模擬)已知島A南偏西38方向,距島A 3海里的B處有一艘緝私艇.島A處的一艘走私船正以10海里/時的速度向島北偏西22方向行駛,問緝私艇朝何方向以多大速度行駛,恰好用0.5小時能截住該走私船?
解 如圖,設緝私艇在C處截住走私船,D為島A正南方向上一點,緝私艇的速度為每小時x海里,則BC=0.5 x,AC=5海里
9、,依題意,∠BAC=180-38-22=120,
由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120,
所以BC2=49,BC=0.5 x=7,解得x=14.
又由正弦定理得sin∠ABC===,
所以∠ABC=38,又∠BAD=38,所以BC∥AD,
故緝私艇以每小時14海里的速度向正北方向行駛,恰好用0.5小時截住該走私船.
能力提升題組
(建議用時:25分鐘)
一、選擇題
1.一個大型噴水池的中央有一個強力噴水柱,為了測量噴水柱噴出的水柱的高度,某人在噴水柱正西方向的點A測得水柱頂端的仰角為45,沿點A向北偏東30前進100 m到達點B,在B點測得水柱頂
10、端的仰角為30,則水柱的高度是 ( ).
A.50 m B.100 m
C.120 m D.150 m
解析 設水柱高度是h m,水柱底端為C,則在△ABC中,A=60,AC=h,AB=100,BC=h,根據(jù)余弦定理得,(h)2=h2+1002-2h100cos 60,即h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,即h=50,故水柱的高度是50 m.
答案 A
2.如圖,在湖面上高為10 m處測得天空中一朵云的仰角為30,測得湖中之影的俯角為45,
11、則云距湖面的高度為(精確到0.1 m) ( ).
A.2.7 m B.17.3 m
C.37.3 m D.373 m
解析 在△ACE中,
tan 30==.∴AE=(m).
在△AED中,tan 45==,
∴AE=(m),∴=,
∴CM==10(2+)≈37.3(m).
答案 C
二、填空題
3.如圖所示,福建省福清石竹山原有一條筆直的山路BC,現(xiàn)在又新架設了一條索道A
C.小明在山腳B處看索道AC,此時張角∠ABC=120;從B處攀登200米到達D處,回頭看索道AC,此時張角∠ADC=150;從D處再攀登300米
12、到達C處.則石竹山這條索道AC長為________米.
解析 在△ABD中,BD=200米,∠ABD=120.
因為∠ADB=30,所以∠DAB=30.
由正弦定理,得=,
所以=.
所以AD==200(米).
在△ADC中,DC=300米,∠ADC=150,
所以AC2=AD2+DC2-2ADDCcos∠ADC=(200)2+3002-2200300cos 150=390 000,所以AC=100(米).故石竹山這條索道AC長為100 米.
答案 100
三、解答題
4.(20xx武漢二模)如圖所示,一輛汽車從O點出發(fā)沿一條直線公路以50千米/時的速度勻速行駛(圖中的
13、箭頭方向為汽車行駛方向),汽車開動的同時,在距汽車出發(fā)點O點的距離為5千米、距離公路線的垂直距離為3千米的M點的地方有一個人騎摩托車出發(fā)想把一件東西送給汽車司機.問騎摩托車的人至少以多大的速度勻速行駛才能實現(xiàn)他的愿望,此時他駕駛摩托車行駛了多少千米?
解 作MI垂直公路所在直線于點I,則MI=3千米,
∵OM=5千米,∴OI=4千米,∴cos∠MOI=.設騎摩托車的人的速度為v千米/時,追上汽車的時間為t小時.
由余弦定理,得(vt)2=52+(50t)2-2550t,
即v2=-+2 500=252+900≥900,
∴當t=時,v取得最小值為30,
∴其行駛距離為vt==千米.
故騎摩托車的人至少以30千米/時的速度行駛才能實現(xiàn)他的愿望,此時他駕駛摩托車行駛了千米.