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1、 高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 第五節(jié)　橢　圓 [考綱傳真]　1.了解橢圓的實際背景，了解橢圓在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質(zhì)．3.了解橢圓的簡單應用．(文)3.理解數(shù)形結(jié)合思想．4.理解數(shù)形結(jié)合思想．(文)4.了解橢圓的簡單應用． 1．橢圓的定義 (1)我們把平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的集合叫作橢圓．這兩定點F1，F(xiàn)2叫作橢圓的焦點，兩個焦點F1，F(xiàn)2間的距離叫作橢圓的焦距． (2)集合P＝{M||MF1|＋

2、|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0. ①當2a>|F1F2|時，M點的軌跡為橢圓； ②當2a＝|F1F2|時，M點的軌跡為線段F1F2； ③當2a<|F1F2|時，M點的軌跡不存在． 2．橢圓的標準方程和幾何性質(zhì) 標準方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 圖形 性 質(zhì) 范圍 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 對稱性 對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點 頂點 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，

3、B2(b,0) 離心率 e＝，且e∈(0,1) a，b，c的關(guān)系 c2＝a2－b2 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓．(　　) (2)橢圓上一點P與兩焦點F1，F(xiàn)2構(gòu)成△PF1F2的周長為2a＋2c(其中a為橢圓的長半軸長，c為橢圓的半焦距)．(　　) (3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓．(　　) (4)橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．(　　) [答案]　(1)　(2)√　(3)　(4)√ 2．(教材改編)已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1,0)，離心率

4、等于，則C的方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 D　[橢圓的焦點在x軸上，c＝1. 又離心率為＝，故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3， 故橢圓的方程為＋＝1.] 3．(20xx廣東高考)已知橢圓＋＝1(m>0)的左焦點為F1(－4,0)，則m＝(　　) A．2　　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．9 B　[由左焦點為F1(－4,0)知c＝4.又a＝5，∴25－m2＝16，解得m＝3或－3.又m>0，故m＝3.] 4．(20xx全國卷Ⅰ)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為(　　) A.

5、B． C. D． B　[如圖，|OB|為橢圓中心到l的距離，則|OA||OF|＝|AF||OB|，即bc＝a，所以e＝＝.] 5．橢圓＋＝1的左焦點為F，直線x＝m與橢圓相交于點A，B，當△FAB的周長最大時，△FAB的面積是__________． 3　[直線x＝m過右焦點(1,0)時，△FAB的周長最大，由橢圓定義知，其周長為4a＝8，即a＝2， 此時，|AB|＝2＝＝3， ∴S△FAB＝23＝3.] 橢圓的定義與標準方程 　(1)如圖851所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點，M是圓周上一動點，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM

6、交于點P，則點P的軌跡是(　　) 圖851 A．橢圓　　 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓 (2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2＋＝1(0|OF|. ∴P點的軌跡是以O(shè)，F(xiàn)為焦點的橢圓． (2)不妨設(shè)點A在第一象限，設(shè)半焦距為c， 則F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)． ∵

7、AF2⊥x軸，則A(c，b2)(其中c2＝1－b2,0|F1F2|這一條件． (2)當涉及到焦點三角形有關(guān)的計算或證明時，常利用勾股定理、正(余)弦定理、橢圓定義，但一定要注意|PF1|＋|PF2|與|PF1||PF2|的整體代換． 2．求橢圓

8、標準方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過程是先定位，再定量，即首先確定焦點所在的位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組，若焦點位置不確定，可把橢圓方程設(shè)為Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)的形式． [變式訓練1]　(1)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且⊥. 若△PF1F2的面積為9，則b＝__________. (2)已知F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個焦點，過F2且垂直于x軸的直線交C于A，B兩點，且|AB|＝3，則C的方程為__________. 【導學號：57962394】 (1)3　(2)＋＝1　[(1

9、)由定義，|PF1|＋|PF2|＝2a，且⊥， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2， ∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2， ∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，∴|PF1||PF2|＝2b2. ∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝2b2＝9，因此b＝3. (2)依題意，設(shè)橢圓C：＋＝1(a>b>0)． 過點F2(1,0)且垂直于x軸的直線被曲線C截得弦長|AB|＝3， ∴點A必在橢圓上， ∴＋＝1. ① 又由c＝1，得1＋b2＝a2. ② 由①②聯(lián)立，得b2＝3，a2＝4. 故所求橢圓C的方程為＋＝1.]

10、 橢圓的幾何性質(zhì) 　(20xx全國卷Ⅲ)已知O為坐標原點，F(xiàn)是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點，A，B分別為C的左、右頂點．P為C上一點，且PF⊥x軸．過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E.若直線BM經(jīng)過OE的中點，則C的離心率為(　　) A.　　 　B.　　 　C.　　 　D. A　[法一：設(shè)點M(－c，y0)，OE的中點為N，則直線AM的斜率k＝，從而直線AM的方程為y＝(x＋a)，令x＝0，得點E的縱坐標yE＝. 同理，OE的中點N的縱坐標yN＝. ∵2yN＝y(tǒng)E，∴＝，即2a－2c＝a＋c， ∴e＝＝. 法二：如圖，設(shè)OE的中點為N，由題意知 |AF|

11、＝a－c，|BF|＝a＋c，|OF|＝c，|OA|＝|OB|＝a. ∵PF∥y軸， ∴＝＝，＝＝. 又＝，即＝， ∴a＝3c，故e＝＝.] [規(guī)律方法]　1.與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題要結(jié)合圖形進行分析． 2．求橢圓離心率的主要方法有：(1)直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解．(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解． [變式訓練2]　(20xx福建高考)已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點為F，短軸的一個端點為M，直線l：3x－4y＝0交橢圓E于A，B兩點．若|AF|＋|BF|＝4，點M到直線l的

12、距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是(　　) A. B． C. D． A　[根據(jù)橢圓的對稱性及橢圓的定義可得A，B兩點到橢圓左、右焦點的距離為4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d＝≥，所以1≤b<2，所以e＝＝＝.因為1≤b<2，所以0b>0)的半焦距為c，原點O到經(jīng)過兩點(c,0)，(0，b)的直線的距離為. 圖852 (1)求橢圓E的離心率； (2)如圖852，AB是圓M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過A，B兩點，求

13、橢圓E的方程． [解]　(1)過點(c,0)，(0，b)的直線方程為bx＋cy－bc＝0，則原點O到該直線的距離d＝＝， 3分 由d＝c，得a＝2b＝2 ，解得離心率＝. 5分 (2)由(1)知，橢圓E的方程為x2＋4y2＝4b2.① 依題意，圓心M(－2,1)是線段AB的中點，且|AB|＝. 易知，AB與x軸不垂直，設(shè)其方程為y＝k(x＋2)＋1， 代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0. 8分 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝－，x1x2＝. 由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k＝. 從而x1x2＝8－2b2

14、. 10分 于是|AB|＝|x1－x2| ＝＝. 由|AB|＝，得＝，解得b2＝3. 故橢圓E的方程為＋＝1. 12分 角度2　由位置關(guān)系研究直線的性質(zhì) 　(20xx全國卷Ⅱ)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，點(2，)在C上． (1)求C的方程； (2)直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M.證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值． [解]　(1)由題意有＝，＋＝1， 解得a2＝8，b2＝4. 3分 所以C的方程為＋＝1. 5分 (2)證明：設(shè)直線l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y

15、2)，M(xM，yM). 7分 將y＝kx＋b代入＋＝1，得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0. 9分 故xM＝＝，yM＝kxM＋b＝. 于是直線OM的斜率kOM＝＝－， 即kOMk＝－. 所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值. 12分 [規(guī)律方法]　1.解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程解決相關(guān)問題．涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決，往往會更簡單． 2．設(shè)直線與橢圓的交點坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝＝(k為直線斜率)． [思想與方法] 1．

16、橢圓的定義揭示了橢圓的本質(zhì)屬性，正確理解、掌握定義是關(guān)鍵，應注意定義中的常數(shù)大于|F1F2|，避免了動點軌跡是線段或不存在的情況． 2．求橢圓方程的方法，除了直接根據(jù)定義外，常用待定系數(shù)法．當橢圓的焦點位置不明確而無法確定其標準方程時，設(shè)方程為＋＝1(m>0，n>0，且m≠n)可以避免討論和煩瑣的計算，也可以設(shè)為Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且A≠B)，這種形式在解題中更簡便． 3．討論橢圓的幾何性質(zhì)時，離心率問題是重點，常用方法： (1)求得a，c的值，直接代入公式e＝求得； (2)列出關(guān)于a，b，c的齊次方程(或不等式)，然后根據(jù)b2＝a2－c2，消去b，轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解． [易錯與防范] 1．判斷兩種標準方程的方法是比較標準形式中x2與y2的分母大?。? 2．注意橢圓的范圍，在設(shè)橢圓＋＝1(a>b>0)上點的坐標為P(x，y)時，則|x|≤a，這往往在求與點P有關(guān)的最值問題中用到，也是容易被忽視而導致求最值錯誤的原因． 3．橢圓上任意一點M到焦點F的最大距離為a＋c，最小距離為a－c.