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1、
高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料
2019.5
技法強化訓(xùn)練(一) 函數(shù)與方程思想
(對應(yīng)學(xué)生用書第159頁)
題組1 運用函數(shù)與方程思想解決數(shù)列、不等式等問題
1．已知{an}是等差數(shù)列，a1＝1，公差d≠0，Sn是其前n項和，若a1，a2，a5成等比數(shù)列，則S8的值為( )
A．16 B．32
C．64 D．62
C [由題意可知a＝a1a5，
即(1＋d)2＝1×(1＋4d)，解得d＝2，
∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
∴S8＝＝4×(
2、1＋15)＝64.]
2．若2x＋5y≤2－y＋5－x，則有( )
A．x＋y≥0 B．x＋y≤0
C．x－y≤0 D．x－y≥0
B [原不等式可化為2x－5－x≤2－y－5y，構(gòu)造函數(shù)y＝2x－5－x，其為R上的增函數(shù)，所以有x≤－y，即x＋y≤0.]
3．若關(guān)于x的方程x2＋2kx－1＝0的兩根x1，x2滿足－1≤x1＜0＜x2＜2，則k的取值范圍是( ) 【導(dǎo)學(xué)號：68334007】
A. B.
C. D.
B [構(gòu)造函數(shù)f(x)＝x2＋2kx－1，因為關(guān)于x的方程x2＋2kx－1＝0的兩根x1，x2滿足－1≤x1＜0＜x
3、2＜2，
所以即
所以－＜k≤0，所以k的取值范圍是.]
4．已知數(shù)列{an}滿足a1＝60，an＋1－an＝2n(n∈N*)，則的最小值為________．
[由an＋1－an＝2n，得
an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2＋60
＝n2－n＋60.
∴＝＝n＋－1.
令f(x)＝x＋－1，易知f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上單調(diào)遞增．
又n∈N*，當(dāng)n＝7時，＝7＋－1＝，
當(dāng)n＝8時，＝8＋－1＝.
又＜，故的最小值為.]
5．已知函數(shù)f(x)＝x
4、ln x＋a，g(x)＝x2＋ax，其中a≥0.
(1)若曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與曲線y＝g(x)也相切，求a的值；
(2)證明：x＞1時，f(x)＋＜g(x)恒成立．
【導(dǎo)學(xué)號：68334008】
[解] (1)由f(x)＝xln x＋a，得f(1)＝a，
f′(x)＝ln x＋1，所以f′(1)＝1. 1分
所以曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線為y＝x＋a－1.因為直線y＝x＋a－1與曲線y＝g(x)也相切，
所以兩方程聯(lián)立消元得x2＋ax＝a＋x－1，
即x2＋(a－1)x＋1－a＝0， 3分
所以Δ＝(a－1)2
5、－4××(1－a)＝0，得a2＝1.
因為a≥0，所以a＝1. 4分
(2)證明：x＞1時，f(x)＋＜g(x)恒成立，等價于x2＋ax－xln x－a－＞0恒成立．
令h(x)＝x2＋ax－xln x－a－，
則h(1)＝0且h′(x)＝x＋a－ln x－1. 6分
令φ(x)＝x－ln x－1，則φ(1)＝0且φ′(x)＝1－＝， 8分
所以x＞1時，φ′(x)＞0，φ(x)單調(diào)遞增，
所以φ(x)＞φ(1)＝0.
又因為a≥0，所以h′(x)＞0，h(x)單調(diào)遞增，所以h(x)＞h(1)＝0，
所以x＞1時，x2＋ax－xln
6、x－a－＞0恒成立， 11分
即x＞1時，f(x)＋＜g(x)恒成立. 12分
題組2 利用函數(shù)與方程思想解決幾何問題
6．設(shè)拋物線C：y2＝3px(p＞0)的焦點為F，點M在C上，|MF|＝5，若以MF為直徑的圓過點(0,2)，則C的方程為( )
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
C [由拋物線的定義可知MF＝xM＋＝5，∴xM＝5－，y＝15p－，故以MF為直徑的圓的方程為(x－xM)(x－xF)＋(y－yM)(y－yF)＝0，
即＋(2－yM)(2－0)＝0.
∴yM＝2＋－
7、＝2＋?yM＝4，p＝或.
∴C的方程為y2＝4x或y2＝16x.]
7．(20xx·寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)高三模擬考試)在直三棱柱A1B1C1ABC中，∠BAC＝，AB＝AC＝AA1＝1，已知G和E分別為A1B1和CC1的中點，D與F分別為線段AC和AB上的動點(不包括端點)，若GD⊥EF，則線段DF的長度的取值范圍為( )
【導(dǎo)學(xué)號：68334009】
A. B.
C. D.
A [建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，E，G，設(shè)F(x,0,0)，D(0，y,0)，則＝，＝，x，y∈(0,1)．
由于GD⊥EF，所以x＋2y－1＝0
8、，x＝1－2y∈(0,1)，解得0＜y＜.DF＝＝＝，當(dāng)且僅當(dāng)y＝時，線段DF長度的最小值是，當(dāng)y＝0時，線段DF的最大值是1，由于不包括端點，故y＝0不能取，所以線段DF的長度的取值范圍是，故選A.]
8．已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的離心率e＝，并且經(jīng)過定點P.
(1)求橢圓E的方程；
(2)問：是否存在直線y＝－x＋m，使直線與橢圓交于A，B兩點，且滿足·＝？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由. 【導(dǎo)學(xué)號：68334010】
[解] (1)由e＝＝且＋＝1，c2＝a2－b2，
解得a2＝4，b2＝1，
即橢圓E的方程為＋y2＝1. 4分
9、 (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由?x2＋4(m－x)2－4＝0?
5x2－8mx＋4m2－4＝0.(*)
所以x1＋x2＝，x1x2＝， 8分
y1y2＝(m－x1)(m－x2)＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＝m2－m2＋＝，由·＝得(x1，y1)·(x2，y2)＝，即x1x2＋y1y2＝，＋＝，
m＝±2.
又方程(*)要有兩個不等實根，所以Δ＝(－8m)2－4×5(4m2－4)＞0，解得－＜m＜，所以m＝±2. 12分
9．如圖1，直三棱柱ABCA′B′C′中，AC＝BC＝5，
10、AA′＝AB＝6，D，E分別為AB和BB′上的點，且＝＝λ.
圖1
(1)求證：當(dāng)λ＝1時，A′B⊥CE；
(2)當(dāng)λ為何值時，三棱錐A′CDE的體積最小，并求出最小體積．
[解] (1)證明：∵λ＝1，∴D，E分別為AB和BB′的中點. 1分
又AA′＝AB，且三棱柱ABCA′B′C′為直三棱柱，
∴平行四邊形ABB′A′為正方形，∴DE⊥A′B. 2分
∵AC＝BC，D為AB的中點，∴CD⊥AB. 3分
∵三棱柱ABCA′B′C′為直三棱柱，
∴CD⊥平面ABB′A′，∴CD⊥A′B， 4分
又CD∩DE＝D，∴A′B⊥平面CDE.
∵CE?平面CDE，∴A′B⊥CE. 6分
(2)設(shè)BE＝x，則AD＝x，DB＝6－x，B′E＝6－x.由已知可得C到平面A′DE的距離即為△ABC的邊AB所對應(yīng)的高h(yuǎn)＝＝4， 8分
∴VA′CDE＝VCA′DE＝(S四邊形ABB′A－S△AA′D－S△DBE－S△A′B′E)·h
＝·h
＝(x2－6x＋36)＝[(x－3)2＋27](0＜x＜6)， 14分
∴當(dāng)x＝3，即λ＝1時，VA′CDE有最小值18. 15分
浙江高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)教師用書：技法強化訓(xùn)練1 函數(shù)與方程思想 Word版含答案
