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高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件北師大版理科: 第5章 數(shù)列 第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和學案 理 北師大版

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1、 高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 第二節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和 [考綱傳真] (教師用書獨具)1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系,并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應的問題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系. (對應學生用書第82頁) [基礎(chǔ)知識填充] 1.等差數(shù)列的有關(guān)概念 (1)定義:如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與前一項的差都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫作等差數(shù)列.用符號表示為an+1-an=d(n∈N+,d為常數(shù)). (2)等

2、差中項:如果在a與b中間插入一個數(shù)A,使a,A,b成等差數(shù)列,那么A叫作a與b的等差中項,即A=. 2.等差數(shù)列的有關(guān)公式 (1)通項公式:an=a1+(n-1)d,an=am+(n-m)d. (2)前n項和公式:Sn=na1+=. 3.等差數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項公式的推廣:an=am+(n-m)d(n,m∈N+). (2)若{an}為等差數(shù)列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),則ak+al=am+an. (3)若{an}是等差數(shù)列,公差為d,則{a2n}也是等差數(shù)列,公差為2d. (4)若{an},{bn}是等差數(shù)列,則{pan+qbn}也是等差數(shù)列. (5)若

3、{an}是等差數(shù)列,公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)是公差為md的等差數(shù)列. 4.等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系 Sn=n2+n. 5.等差數(shù)列的前n項和的最值 在等差數(shù)列{an}中,a1>0,d<0,則Sn存在最大值;若a1<0,d>0,則Sn存在最小值. [知識拓展] {an}為等差數(shù)列,Sn是{an}前n項和 (1)若an=m,am=n,則am+n=0, (2)若Sm=n,Sn=m,則Sm+n=-(m+n), (3)若Sm=Sk(m≠k),則Sm+k=0. [基本能力自測] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“

4、×”) (1)若一個數(shù)列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù),則這個數(shù)列是等差數(shù)列.(  ) (2)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N+,都有2an+1=an+an+2.(  ) (3)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的.(  ) (4)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù).(  ) (5)等差數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項為0的二次函數(shù).(  ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)× 2.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S3=6,a3=0,則公差d等于(  ) A.-1 

5、       B.1 C.2 D.-2 D [依題意得S3=3a2=6,即a2=2,故d=a3-a2=-2,故選D.] 3.在等差數(shù)列{an}中,若a2=4,a4=2,則a6等于(  ) A.-1 B.0 C.1 D.6 B [由等差數(shù)列的性質(zhì),得a6=2a4-a2=2×2-4=0,選B.] 4.(20xx·全國卷Ⅱ)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,若a1+a3+a5=3,則S5=(  ) A.5 B.7 C.9 D.11 A [a1+a3+a5=3a3=3?a3=1,S5==5a3=5.] 5.(教材改編)在等差數(shù)列{an}中,若a3+a4+a5

6、+a6+a7=450,則a2+a8=________. 180 [由等差數(shù)列的性質(zhì),得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450,∴a5=90,∴a2+a8=2a5=180.] (對應學生用書第82頁) 等差數(shù)列的基本運算  (1)(20xx·全國卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若a4+a5=24,S6=48,則{an}的公差為(  ) A.1          B.2 C.4 D.8 (2)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,a12=-8,S9=-9,則S16=__________. 【導學號:79140171】 (1)C (2)-7

7、2 [(1)設(shè){an}的公差為d,則 由 得解得d=4. 故選C. (2)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d, 由已知,得解得 所以S16=16×3+×(-1)=-72.] [規(guī)律方法] 解決等差數(shù)列運算問題的思想方法 (1)方程思想:等差數(shù)列的基本量為首項a1和公差d,通常利用已知條件及通項公式或前n項和公式列方程(組)求解,等差數(shù)列中包含a1,d,n,an,Sn五個量,可“知三求二”. (2)整體思想:當所給條件只有一個時,可將已知和所求都用a1,d表示,尋求兩者間的聯(lián)系,整體代換即可求解. (3)利用性質(zhì):運用等差數(shù)列性質(zhì)可以化繁為簡、優(yōu)化

8、解題過程. [跟蹤訓練] (1)(20xx·云南省二次統(tǒng)一檢測)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,S11=22,a4=-12,若am=30,則m=(  ) A.9 B.10 C.11 D.15 (2)《張邱建算經(jīng)》卷上第22題為:今有女善織,日益功疾(注:從第2天起每天比前一天多織相同量的布),第1天織5尺布,現(xiàn)在一月(按30天計),共織390尺布,則第2天織布的尺數(shù)為(  ) A. B. C. D. (1)B (2)A [(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,依題意解得 ∴am=a1+(m-1)d=7m-40=30,∴m=10. (2)由條件知該女子每天織布的尺數(shù)

9、構(gòu)成一個等差數(shù)列{an},且a1=5,S30=390,設(shè)公差為d,則30×5+×d=390,解得d=,則a2=a1+d=,故選A.] 等差數(shù)列的判定與證明  (20xx·全國卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.已知S2=2,S3=-6. (1)求{an}的通項公式; (2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數(shù)列. [解] (1)設(shè){an}的公比為q.由題設(shè)可得 解得q=-2,a1=-2. 故{an}的通項公式為an=(-2)n. (2)由(1)可得 Sn==-+(-1)n. 由于Sn+2+Sn+1=-+(-1)n

10、=2=2Sn, 故Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列. 規(guī)律方法] 等差數(shù)列的四種判斷方法 (1)定義法:an+1-an=d(d是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.可用來判定與證明. (2)等差中項法:2an+1=an+an+2(n∈N+)?{an}是等差數(shù)列.可用來判定與證明. (3)通項公式:an=pn+q(p,q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列. (4)前n項和公式:Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列. [跟蹤訓練] (1)在數(shù)列{an}中,若a1=1,a2=,=+(n∈N+),則該數(shù)列的通項為(  ) A.a(chǎn)n= B.a(chǎn)n= C.a(chǎn)n= D.a(chǎn)n= (2)

11、已知數(shù)列{an}中,a1=,an=2-(n≥2,n∈N+),數(shù)列{bn}滿足bn=(n∈N+). ①求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列. ②求數(shù)列{an}中的通項公式an. (1)A [由已知式=+可得 -=-,知是首項為=1,公差為-=2-1=1的等差數(shù)列,所以=n,即an=.] (2)①證明:因為an=2-(n≥2,n∈N+), bn=. 所以n≥2時,bn-bn-1=- =-=-=1. 又b1==-, 所以數(shù)列{bn}是以-為首項,1為公差的等差數(shù)列. ②由(1)知,bn=n-, 則an=1+=1+. 等差數(shù)列的性質(zhì)及最值  (1)(20xx·

12、東北三省三校二聯(lián))等差數(shù)列{an}中,a1+a3+a5=39,a5+a7+a9=27,則數(shù)列{an}的前9項的和S9等于(  ) A.66 B.99 C.144 D.297 (2)在等差數(shù)列{an}中,已知a1=10,前n項和為Sn,若S9=S12,則Sn取得最大值時,n=________,Sn的最大值為________. 【導學號:79140172】 (1)B (2)10或11 55 [(1)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)知a1+a3+a5=3a3=39,可得a3=13.由a5+a7+a9=3a7=27,可得a7=9,故S9===99,故選B. (2)法一:因為a1=10,S9=S12,

13、 所以9×10+d=12×10+d, 所以d=-1. 所以an=-n+11. 所以a11=0,即當n≤10時,an>0, 當n≥12時,an<0, 所以當n=10或11時,Sn取得最大值,且最大值為S10=S11=10×10+×(-1)=55. 法二:同法一求得d=-1. 所以Sn=10n+·(-1)=-n2+n =-+. 因為n∈N+,所以當n=10或11時,Sn有最大值,且最大值為S10=S11=55. 法三:同法一求得d=-1. 又由S9=S12得a10+a11+a12=0. 所以3a11=0,即a11=0. 所

14、以當n=10或11時,Sn有最大值. 且最大值為S10=S11=55.] [規(guī)律方法] 1.等差數(shù)列的性質(zhì) (1)項的性質(zhì):在等差數(shù)列{an}中,am-an=(m-n)d?=d(m≠n),其幾何意義是點(n,an),(m,am)所在直線的斜率等于等差數(shù)列的公差. (2)和的性質(zhì):在等差數(shù)列{an}中,Sn為其前n項和,則 ①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1). ②S2n-1=(2n-1)an. 2.求等差數(shù)列前n項和Sn最值的兩種方法 (1)函數(shù)法:利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)表達式Sn=an2+bn,通過配方或借助圖像求二次函數(shù)最值的方法求解. (2)鄰項變

15、號法. ①當a1>0,d<0時,滿足的項數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm. ②當a1<0,d>0時,滿足的項數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm. 易錯警示:易忽視n∈N+. [跟蹤訓練] (1)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,若=,則=(  ) A.1 B.-1 C.2 D. (2)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,S10=16,S100-S90=24,則S100=________. (1)A (2)200 [===×=1. (2)依題意,S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90依次成等差數(shù)列,設(shè)該等差數(shù)列的公差為d.又S10=16,S100-S90=24,因此S100-S90=24=16+(10-1)d=16+9d,解得d=,因此S100=10S10+d=10×16+×=200.]

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