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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 學(xué)案32　數(shù)列的綜合應(yīng)用 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.通過(guò)構(gòu)造等差、等比數(shù)列模型，運(yùn)用數(shù)列的公式、性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.2.對(duì)數(shù)列與其他知識(shí)綜合性的考查也高于考試說(shuō)明的要求，另外還要注重?cái)?shù)列在生產(chǎn)、生活中的應(yīng)用． 自主梳理 1．?dāng)?shù)列的綜合應(yīng)用 數(shù)列的綜合應(yīng)用一是指綜合運(yùn)用數(shù)列的各種知識(shí)和方法求解問(wèn)題，二是數(shù)列與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容相聯(lián)系的綜合問(wèn)題．解決此類問(wèn)題應(yīng)注意數(shù)學(xué)思想及方法的運(yùn)用與體會(huì)． (1)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，解數(shù)列題要注意運(yùn)用方程與函數(shù)的思想與方法． (2)轉(zhuǎn)化與化歸思想是解數(shù)

2、列有關(guān)問(wèn)題的基本思想方法，復(fù)雜的數(shù)列問(wèn)題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列或常見(jiàn)的特殊數(shù)列問(wèn)題． (3)由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解決數(shù)列問(wèn)題的重要思想．已知數(shù)列的前若干項(xiàng)求通項(xiàng)，由有限的特殊事例推測(cè)出一般性的結(jié)論，都是利用此法實(shí)現(xiàn)的． (4)分類討論思想在數(shù)列問(wèn)題中常會(huì)遇到，如等比數(shù)列中，經(jīng)常要對(duì)公比進(jìn)行討論；由Sn求an時(shí)，要對(duì)______________進(jìn)行分類討論． 2．?dāng)?shù)列的實(shí)際應(yīng)用 數(shù)列的應(yīng)用問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的一個(gè)重要內(nèi)容，解答應(yīng)用問(wèn)題的核心是建立數(shù)學(xué)模型． (1)建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，應(yīng)明確是等差數(shù)列模型、等比數(shù)列模型，還是遞推數(shù)列模型，是求an還是求Sn. (2)分

3、期付款中的有關(guān)規(guī)定 ①在分期付款中，每月的利息均按復(fù)利計(jì)算； ②在分期付款中規(guī)定每期所付款額相同； ③在分期付款時(shí)，商品售價(jià)和每期所付款額在貸款全部付清前會(huì)隨時(shí)間的推移而不斷增值； ④各期付款連同在最后一次付款時(shí)所生的利息之和，等于商品售價(jià)及從購(gòu)買時(shí)到最后一次付款的利息之和． 自我檢測(cè) 1．(原創(chuàng)題)若Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且S8－S3＝10，則S11的值為 (　　) A．12 B．18 C．22 D．44 2．(20xx汕頭模擬)在等比數(shù)列{an}中，an>an＋1，且a7a11＝6，a4＋a14＝5，則等于 (　　

4、) A. B. C．－ D．－ 3．若{an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，把{an}的每一項(xiàng)都減去2后，得到一個(gè)新數(shù)列{bn}，設(shè){bn}的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)于任意的n∈N*，下列結(jié)論正確的是 (　　) A．bn＋1＝3bn，且Sn＝(3n－1) B．bn＋1＝3bn－2，且Sn＝(3n－1) C．bn＋1＝3bn＋4，且Sn＝(3n－1)－2n D．bn＋1＝3bn－4，且Sn＝(3n－1)－2n 4．“嫦娥奔月，舉國(guó)歡慶”，據(jù)科學(xué)計(jì)算，運(yùn)載“神六”的“長(zhǎng)征二號(hào)”系列火箭，在點(diǎn)火第一秒鐘通過(guò)的路程為2 km，以后每秒鐘通過(guò)

5、的路程都增加2 km，在達(dá)到離地面240 km的高度時(shí)，火箭與飛船分離，則這一過(guò)程需要的時(shí)間大約是 (　　) A．10秒鐘 B．13秒鐘 C．15秒鐘 D．20秒鐘 5．(20xx臺(tái)州月考)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an＝，則數(shù)列{an}的最大項(xiàng)為 (　　) A．第7項(xiàng) B．第8項(xiàng) C．第7項(xiàng)或第8項(xiàng) D．不存在 6．(20xx南京模擬)設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是正項(xiàng)等比數(shù)列，Sn，Tn分別為數(shù)列{lg an}與{lg bn}的前n項(xiàng)和，且＝，則logb5a5＝________.

6、探究點(diǎn)一　等差、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題 例1　設(shè){an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4構(gòu)成等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)； (2)令bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 變式遷移1　假設(shè)a1，a2，a3，a4是一個(gè)等差數(shù)列，且滿足04；③b4>32；④b2b4＝256.其中正確命題的個(gè)數(shù)是 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4

7、 探究點(diǎn)二　數(shù)列與方程、函數(shù)、不等式的綜合問(wèn)題 例2　(20xx溫州月考)已知函數(shù)f(x)＝，數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝f，n∈N*， (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)令Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1，求Tn； (3)令bn＝ (n≥2)，b1＝3，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，若Sn<對(duì)一切n∈N*成立，求最小正整數(shù)m. 變式遷移2　已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{an}滿足：a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中項(xiàng)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若bn＝anlogan，Sn＝b1＋b2＋

8、…＋bn，對(duì)任意正整數(shù)n，Sn＋(n＋m)an＋1<0恒成立，試求m的取值范圍． 探究點(diǎn)三　數(shù)列在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用 例3　(20xx福州模擬)有一個(gè)下崗職工，1月份向銀行貸款10 000元，作為啟動(dòng)資金開(kāi)店，每月月底獲得的利潤(rùn)是該月月初投入資金的20%，每月月底需繳納所得稅為該月月利潤(rùn)的10%，每月的生活費(fèi)為300元，余款作為資金全部投入下個(gè)月的經(jīng)營(yíng)，如此繼續(xù)，問(wèn)到這年年底這個(gè)職工有多少資金？若貸款年利息為25%，問(wèn)這個(gè)職工還清銀行貸款后純收入多少元？ 變式遷移3　假設(shè)某市20xx年新建住房400萬(wàn)平方米，其中有250萬(wàn)平方米是中低價(jià)房，預(yù)計(jì)在今后的若干年

9、內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一年增長(zhǎng)8%.另外，每年新建住房中，中低價(jià)房的面積均比上一年增加50萬(wàn)平方米．那么，到哪一年底， (1)該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積(以20xx年為累計(jì)的第一年)將首次不少于4 750萬(wàn)平方米？ (2)當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%？(參考數(shù)據(jù)：1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59) 1．?dāng)?shù)列實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題：(1)數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題已成為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的一個(gè)重要內(nèi)容，解答數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的核心是建立數(shù)學(xué)模型，有關(guān)平均增長(zhǎng)率、利率(復(fù)利)以及等值增減等實(shí)際問(wèn)題，需利用數(shù)列知識(shí)建立數(shù)學(xué)模

10、型．(2)在試題中常用的數(shù)學(xué)模型有①構(gòu)造等差、等比數(shù)列的模型，然 后再去應(yīng)用數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；②通過(guò)歸納得到結(jié)論，用數(shù)列知識(shí)求解． 2．解決數(shù)列綜合問(wèn)題應(yīng)體會(huì)以下思想及方法：(1)數(shù)列與函數(shù)方程相結(jié)合時(shí)主要考查函數(shù)的思想及函數(shù)的性質(zhì)(多為單調(diào)性)．(2)數(shù)列與不等式結(jié)合時(shí)需注意放縮．(3)數(shù)列與解析幾何結(jié)合時(shí)要注意遞推思想． (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．(20xx湖北)已知等比數(shù)列中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且a1，a3,2a2成等差數(shù)列，則的值為

11、 (　　) A．1＋ B．1－ C．3＋2 D．3－2 2．(20xx漳州模擬)數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，{bn}是等差數(shù)列，且a6＝b7，則有 (　　) A．a(chǎn)3＋a9≤b4＋b10 B．a(chǎn)3＋a9≥b4＋b10 C．a(chǎn)3＋a9≠b4＋b10 D．a(chǎn)3＋a9與b4＋b10的大小不確定 3．有限數(shù)列A：a1，a2，…，an，

12、Sn為其前n項(xiàng)和，定義為A的“凱森和”，若有99項(xiàng)的數(shù)列a1，a2，…，a99的“凱森和”為1 000，則有100項(xiàng)的數(shù)列1，a1，a2，…，a99的“凱森和”為 (　　) A．1 001 B．991 C．999 D．990 4．有一種細(xì)菌和一種病毒，每個(gè)細(xì)菌在每秒鐘末能在殺死一個(gè)病毒的同時(shí)將自身分裂為2個(gè)，現(xiàn)在有一個(gè)這樣的細(xì)菌和100個(gè)這樣的病毒，問(wèn)細(xì)菌將病毒全部殺死至少需要 (　　) A．6秒 B．7秒 C．8秒 D．9秒 5．已知數(shù)列{an

13、}，{bn}滿足a1＝1，且an，an＋1是函數(shù)f(x)＝x2－bnx＋2n的兩個(gè)零點(diǎn)，則b10等于 (　　) A．24 B．32 C．48 D．64 題號(hào) 1 2 3 4 5 答案 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．(20xx麗水月考)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝52n－2－4n－1，數(shù)列{an}的最大項(xiàng)為第x項(xiàng)，最小項(xiàng)為第y項(xiàng)，則x＋y＝________. 7．(20xx江蘇)函數(shù)y＝x2(x>0

14、)的圖象在點(diǎn)(ak，a)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak＋1，其中k∈N*，a1＝16，則a1＋a3＋a5＝________. 8．把正整數(shù)按一定的規(guī)則排成了如圖所示的三角形數(shù)表．設(shè)aij (i，j∈N*)是位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行、從左往右數(shù)第j個(gè)數(shù)，如a42＝8.若aij＝2 009，則i與j的和為_(kāi)_______． 1 2　4 3　5　7 6　8　10　12 9　11　13　15　17 14　16　18　20　22　24 …………………………………… 三、解答題(共38分) 9．(12分)(20xx湘潭模擬)已知點(diǎn)(1，)是函數(shù)f(x)＝ax(a>0，且

15、a≠1)的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為f(n)－c，數(shù)列{bn}(bn>0)的首項(xiàng)為c，且前n項(xiàng)和Sn滿足Sn－Sn－1＝＋(n≥2)． (1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Tn，問(wèn)滿足Tn>的最小正整數(shù)n是多少？ 10．(12分)沿海地區(qū)甲公司響應(yīng)國(guó)家開(kāi)發(fā)西部的號(hào)召，對(duì)西部地區(qū)乙企業(yè)進(jìn)行扶持性技術(shù)改造．乙企業(yè)的經(jīng)營(yíng)現(xiàn)狀是：每月收入為45萬(wàn)元，但因設(shè)備老化，從下月開(kāi)始需付設(shè)備維修費(fèi)，第一個(gè)月為3萬(wàn)元，以后每月遞增2萬(wàn)元．甲公司決定投資400萬(wàn)元扶持改造乙企業(yè)．據(jù)預(yù)測(cè)，改造后乙企業(yè)第一個(gè)月收入為16萬(wàn)元，在以后的4個(gè)月中，每月

16、收入都比上個(gè)月增長(zhǎng)50%，而后每個(gè)月收入都穩(wěn)定在第5個(gè)月的水平上．若設(shè)備改造時(shí)間可忽略不計(jì)，那么從下個(gè)月開(kāi)始至少經(jīng)過(guò)多少個(gè)月，改造后的乙企業(yè)的累計(jì)總收益多于仍按現(xiàn)狀生產(chǎn)所帶來(lái)的總收益？ 11．(14分)(20xx廣東執(zhí)信中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)f(y)且f(1)＝. (1)當(dāng)n∈N*時(shí)，求f(n)的表達(dá)式； (2)設(shè)an＝nf(n)，n∈N*，求證：a1＋a2＋a3＋…＋an<2； (3)設(shè)bn＝(9－n)，n∈N*，Sn為{bn}的前n項(xiàng)和，當(dāng)Sn最大時(shí)，求n的值． 答案 自主梳理 1．(4)n＝1或n≥2 自我檢測(cè) 1．

17、C　2.B　3.C　4.C　5.B 6. 課堂活動(dòng)區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　1.等差數(shù)列與等比數(shù)列相結(jié)合的綜合問(wèn)題是高考考查的重點(diǎn)，特別是等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式以及等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)問(wèn)題是歷年命題的熱點(diǎn)． 2．利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)注意公比q的取值．同時(shí)對(duì)兩種數(shù)列的性質(zhì)，要熟悉它們的推導(dǎo)過(guò)程，利用好性質(zhì)，可降低題目的思維難度，解題時(shí)有時(shí)還需利用條件聯(lián)立方程求解． 解　(1)由已知得 ，解得a2＝2. 設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由a2＝2， 可得a1＝，a3＝2q. 又S3＝7，可知＋2＋2q＝7， 即2q2－5q＋2＝0.解得q1＝2，q2＝. 由題意得q>

18、1，∴q＝2，∴a1＝1. 故數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an＝2n－1. (2)由(1)得a3n＋1＝23n， ∴bn＝ln a3n＋1＝ln 23n＝3nln 2. 又bn＋1－bn＝3ln 2，∴{bn}是等差數(shù)列， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝＝ln 2. 故Tn＝ln 2. 變式遷移1　D　[設(shè)a1，a2，a3，a4的公差為d，則a1＋2d＝4，又04，故(2)正確；a4＝a3＋d>5，所以b4＝2a4>32，故(3)正確；又a2＋a4＝2a3＝8，所以b2

19、b4＝2a2＋a4＝28＝256，故(4)正確．] 例2　解題導(dǎo)引　這是一道數(shù)列、函數(shù)、不等式的綜合題，利用函數(shù)關(guān)系式求通項(xiàng)an，觀察Tn特點(diǎn)，求出Tn.由an再求bn從而求Sn，最后利用不等式知識(shí)求出m. 解　(1)∵an＋1＝f＝＝＝an＋， ∴{an}是以為公差的等差數(shù)列． 又a1＝1，∴an＝n＋. (2)Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1 ＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2n(a2n－1－a2n＋1) ＝－(a2＋a4＋…＋a2n)＝－ ＝－(2n2＋3n)． (3)當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝＝ ＝， 又b1＝3＝， ∴

20、Sn＝b1＋b2＋…＋bn ＝ ＝＝， ∵Sn<對(duì)一切n∈N*成立． 即<， 又∵＝遞增， 且<.∴≥， 即m≥2 010.∴最小正整數(shù)m＝2 010. 變式遷移2　解　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q. 依題意，有2(a3＋2)＝a2＋a4， 代入a2＋a3＋a4＝28，得a3＝8. ∴a2＋a4＝20.∴ 解之，得或 又{an}單調(diào)遞增，∴　∴an＝2n. (2)bn＝2nlog2n＝－n2n， ∴－Sn＝12＋222＋323＋…＋n2n.① ∴－2Sn＝122＋223＋324＋…＋(n－1)2n＋n2n＋1.② ∴①－②，得Sn＝2＋22＋

21、23＋…＋2n－n2n＋1 ＝－n2n＋1＝2n＋1－n2n＋1－2. 由Sn＋(n＋m)an＋1<0， 即2n＋1－n2n＋1－2＋n2n＋1＋m2n＋1<0對(duì)任意正整數(shù)n恒成立， ∴m2n＋1<2－2n＋1對(duì)任意正整數(shù)n，m<－1恒成立． ∵－1>－1，∴m≤－1， 即m的取值范圍是(－∞，－1]． 例3　解　依題意，第1個(gè)月月余款為 a1＝10 000(1＋20%)－10 00020%10%－300 ＝11 500， 第2個(gè)月月底余款為a2＝a1(1＋20%)－a120%10%－300， 依此類推下去，設(shè)第n個(gè)月月底的余款為an元， 第n＋1個(gè)月月底的余款為an＋

22、1元，則an＋1＝an(1＋20%)－an20%10%－300＝1.18an－300. 下面構(gòu)造一等比數(shù)列． 設(shè)＝1.18，則an＋1＋x＝1.18an＋1.18x， ∴an＋1＝1.18an＋0.18x. ∴0.18x＝－300. ∴x＝－，即＝1.18. ∴數(shù)列{an－}是一個(gè)等比數(shù)列，公比為1.18，首項(xiàng)a1－＝11 500－＝. ∴an－＝1.18n－1， ∴a12－＝1.1811， ∴a12＝＋1.1811≈62 396.6(元)， 即到年底該職工共有資金62 396.6元． 純收入有a12－10 000(1＋25%) ＝62 396.6－12 500＝49

23、896.6(元)． 變式遷移3　解　(1)設(shè)中低價(jià)房的面積形成的數(shù)列為{an}， 由題意可知{an}是等差數(shù)列，其中a1＝250，d＝50， 則an＝250＋(n－1)50＝50n＋200， Sn＝250n＋50＝25n2＋225n， 令25n2＋225n≥4 750， 即n2＋9n－190≥0，而n是正整數(shù)，∴n≥10. ∴到2020年底，該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積將首次不少于4 750萬(wàn)平方米． (2)設(shè)新建住房面積形成數(shù)列{bn}， 由題意可知{bn}是等比數(shù)列，其中b1＝400，q＝1.08， 則bn＝400(1.08)n－1. 由題意可知an>0.85bn，

24、 即50n＋200>400(1.08)n－10.85. 當(dāng)n＝5時(shí)，a5<0.85b5， 當(dāng)n＝6時(shí)，a6>0.85b6， ∴滿足上述不等式的最小正整數(shù)n為6. ∴到底，當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%. 課后練習(xí)區(qū) 1．C　2.B　3.B　4.B　5.D 6．3　7.21　8.107 9．解　(1)∵f(1)＝a＝，∴f(x)＝x.…………………………………………………(1分) a1＝f(1)－c＝－c， a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－， a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－； 又?jǐn)?shù)列{an}成等比數(shù)列，a1＝＝＝

25、－＝－c， ∴c＝1；……………………………………………………………………………………(2分) 公比q＝＝，an＝－n－1＝－2n，n∈N*；………………………………(3分) ∵Sn－Sn－1＝ ＝＋(n>2)，……………………………………………………………………(4分) 又bn>0，>0，∴－＝1. 數(shù)列{}構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列， ＝1＋(n－1)1＝n，Sn＝n2. 當(dāng)n≥2，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1； 又當(dāng)n＝1時(shí)，也適合上式， ∴bn＝2n－1，n∈N*.……………………………………………………………………(6分) (2)

26、Tn＝＋＋＋…＋ ＝＋＋＋…＋ ＝＋＋＋…＋ ＝＝.……………………………………………(10分) 由Tn＝>，得n>， ∴滿足Tn>的最小正整數(shù)為112.…………………………………………………(12分) 10．解　設(shè)乙企業(yè)仍按現(xiàn)狀生產(chǎn)至第n個(gè)月所帶來(lái)的總收益為An(萬(wàn)元)，技術(shù)改造后生產(chǎn)至第n個(gè)月所帶來(lái)的總收益為Bn(萬(wàn)元)．依題意得 An＝45n－[3＋5＋…＋(2n＋1)] ＝43n－n2，………………………………………………………………………………(4分) 當(dāng)n≥5時(shí)，Bn＝＋ 164(n－5)－400＝81n－594，…………………………………………………………(8

27、分) ∴當(dāng)n≥5時(shí)，Bn－An＝n2＋38n－594， 令n2＋38n－594>0，即(n＋19)2>955，解得n≥12， ∴至少經(jīng)過(guò)12個(gè)月，改造后的乙企業(yè)的累計(jì)總收益多于仍按現(xiàn)狀生產(chǎn)所帶來(lái)的總收益．……………………………………………………………………………………………(12分) 11．解　(1)令x＝n，y＝1， 得到f(n＋1)＝f(n)f(1)＝f(n)，……………………………………………………………(2分) ∴{f(n)}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， 即f(n)＝()n.………………………………………………………………………………(5分) (2)記Sn＝a1＋a2＋

28、a3＋…＋an， ∵an＝nf(n)＝n()n，……………………………………………………………………(6分) ∴Sn＝＋2()2＋3()3＋…＋n()n， Sn＝()2＋2()3＋3()4＋…＋(n－1)()n＋n()n＋1， 兩式相減得Sn＝＋()2＋…＋()n－n()n＋1， 整理得Sn＝2－()n－1－n()n<2.…………………………………………………………(9分) (3)∵f(n)＝()n，而bn＝(9－n) ＝(9－n)＝.…………………………………………………………………(11分) 當(dāng)n≤8時(shí)，bn>0； 當(dāng)n＝9時(shí)，bn＝0； 當(dāng)n>9時(shí)，bn<0， ∴n＝8或9時(shí)，Sn取到最大值．……………………………………………………(14分)