《中考（數(shù)學(xué)）分類三 二次函數(shù)與面積有關(guān)的問題（含答案）-歷年真題常考、重難點(diǎn)題型講練》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《中考（數(shù)學(xué)）分類三 二次函數(shù)與面積有關(guān)的問題（含答案）-歷年真題?？?、重難點(diǎn)題型講練（14頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、數(shù)學(xué)專題 精心整理 類型三二次函數(shù)與圖形面積問題 【典例1】已知直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象過兩點(diǎn)，交軸于另一點(diǎn)，，且對(duì)于該二次函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，總有． （1）求二次函數(shù)的表達(dá)式； （2）若直線，求證：當(dāng)時(shí)，； （3）為線段上不與端點(diǎn)重合的點(diǎn)，直線過點(diǎn)且交直線于點(diǎn)，求與面積之和的最小值． 【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）的最小值為． 【解析】 【分析】 （1）先根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征由一次函數(shù)的表達(dá)式求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)BC=4，得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法可求二次函數(shù)的表達(dá)式； （2）利用反證法證明即可； （3）先求出q的值，

2、利用，得出，設(shè)，然后用含t的式子表示出的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可． 【詳解】 解：（1）對(duì)于， 當(dāng)時(shí)，，所以； 當(dāng)時(shí)，，，所以， 又因?yàn)椋曰颍? 若拋物線過，則當(dāng)時(shí)，隨的增大而減少，不符合題意，舍去． 若拋物線過，則當(dāng)時(shí)，必有隨的增大而增大，符合題意． 故可設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為， 依題意，二次函數(shù)的圖象過，兩點(diǎn)， 所以，解得 所求二次函數(shù)的表達(dá)式為． （2）當(dāng)時(shí)，直線與直線不重合， 假設(shè)和不平行，則和必相交，設(shè)交點(diǎn)為， 由得， 解得，與已知矛盾，所以與不相交， 所以． （3）如圖， 因?yàn)橹本€過，所以， 又因?yàn)橹本€，所以，即， 所以，，

3、所以，所以， 設(shè)，則， ， 所以， 所以 所以當(dāng)時(shí)，的最小值為． 【點(diǎn)睛】 本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、三角形面積等基礎(chǔ)知識(shí)，注意函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想及分類與整合思想的運(yùn)用． 【典例2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且，點(diǎn)是第三象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)． （1）求此拋物線的表達(dá)式； （2）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)； （3）連接，求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)． 【答案】（1）；（2）（，）；（3）面積的最大值是8；點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）． 【解析】 【分析】 （1）由二次函數(shù)的性質(zhì)，求

4、出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后得到點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，再求出解析式即可； （2）由，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，代入解析式，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)； （3）先求出直線AC的解析式，過點(diǎn)P作PD∥y軸，交AC于點(diǎn)D，則，設(shè)點(diǎn)P為（，），則點(diǎn)D為（，），求出PD的長度，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到面積的最大值，再求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可． 【詳解】 解：（1）在拋物線中， 令，則， ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，）， ∴OC=2， ∵， ∴，， ∴點(diǎn)A為（，0），點(diǎn)B為（，0）， 則把點(diǎn)A、B代入解析式，得 ，解得：， ∴； （2）由題意，∵，點(diǎn)C為（0，）， ∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為， 令，則， 解得：，， ∴

5、點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）； （3）設(shè)直線AC的解析式為，則 把點(diǎn)A、C代入，得 ，解得：， ∴直線AC的解析式為； 過點(diǎn)P作PD∥y軸，交AC于點(diǎn)D，如圖： 設(shè)點(diǎn)P 為（，），則點(diǎn)D為（，）， ∴， ∵OA=4， ∴， ∴， ∴當(dāng)時(shí)，取最大值8； ∴， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）． 【點(diǎn)睛】 本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題，注意利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行解題． 【典例3】如圖，已知拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C． （1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo); （2）過點(diǎn)A作AP∥CB交拋物線于

6、點(diǎn)P，求四邊形ACBP的面積; （3）在軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，過M作MG軸于點(diǎn)G，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似．若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說明理由． 【解析】解：（1）令，得 解得 令，得 ∴ A B C （2）∵OA=OB=OC= ∴BAC=ACO=BCO= ∵AP∥CB， ∴PAB= 過點(diǎn)P作PE軸于E，則APE為等腰直角三角形 令OE=，則PE= ∴P ∵點(diǎn)P在拋物線上 ∴ G M C B y P A 解得，（不合題意，舍去） ∴PE=

7、 ∴四邊形ACBP的面積=AB?OC+AB?PE= (3)． 假設(shè)存在 ∵PAB=BAC = ∴PAAC ∵M(jìn)G軸于點(diǎn)G， ∴MGA=PAC = 在Rt△AOC中，OA=OC= ∴AC= 在Rt△PAE中，AE=PE= ∴AP= 設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則M ①點(diǎn)M在軸左側(cè)時(shí)，則 (ⅰ) 當(dāng)AMG PCA時(shí)，有= ∵AG=，MG=即 解得（舍去） （舍去）(ⅱ) 當(dāng)MAG PCA時(shí)有= 即 解得：（舍去） ∴M G M C B y P A ② 點(diǎn)M在軸右側(cè)時(shí)，則 (ⅰ) 當(dāng)AMG PCA時(shí)有= ∵AG=，

8、MG= ∴ 解得（舍去） ∴M (ⅱ) 當(dāng)MAGPCA時(shí)有= 即 解得：（舍去） ∴M ∴存在點(diǎn)M，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似 M點(diǎn)的坐標(biāo)為，，…………………………………13分 【典例4】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，拋物線經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D． （1）求b,c的值； （2）點(diǎn)E是直角三角形ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)A、B除外)，過點(diǎn)E作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)F，當(dāng)線段EF的長度最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)； （3）在（2）的

9、條件下：①求以點(diǎn)Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ為頂點(diǎn)的四邊形的面積；②在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形? 若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由. 【解析】解：（1）由已知得：A（-1，0） B（4，5）…………………1分 ∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）B(4,5) ∴…………………………………………………2分 解得：b=-2 c=-3…………………………………………………3分 （2）如２６題圖：∵直線AB經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0） B(4,5) ∴直線AB的解析式為：y=x+1……………………………………4分 ∵二次函數(shù) ∴設(shè)

10、點(diǎn)E(t， t+1),則F（t，）………………………5分 ∴EF= ………………………………………6分 　　= ∴當(dāng)時(shí)，EF的最大值= ∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，）………………………………7分 （3）①如２６題圖：順次連接點(diǎn)E、B、F、D得四邊形ＥＢＦＤ． 可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)（，）,點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-4） S　=　S　+　S = = 　………………………………………………10分 ②如備用圖：ⅰ)過點(diǎn)E作a⊥EF交拋物線于點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)P(m,) 則有： 解得:, ∴,　 ⅱ）過點(diǎn)F作b⊥EF交拋物線于，設(shè)（n，）

11、則有： 　　解得： ，（與點(diǎn)F重合，舍去） ∴ 綜上所述：所有點(diǎn)P的坐標(biāo)：，（. 能使△EFP組成以EF為直角邊的直角三角形． 【典例5】如圖,已知二次函數(shù)的圖象與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)為C（1，－2）. （1）求此函數(shù)的關(guān)系式； （2）作點(diǎn)C關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)D，順次連接A、C、B、D.若在拋物線上存在點(diǎn)E，使直線PE將四邊形ABCD分成面積相等的兩個(gè)四邊形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)； （3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點(diǎn)F，使得△PEF是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)及△PEF的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由. 【解析】（1）∵的頂點(diǎn)為C（1，－2）

12、， ∴，． （2）設(shè)直線PE對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為 由題意，四邊形ACBD是菱形. 故直線PE必過菱形ACBD的對(duì)稱中心M． 由P(0，－1)，M（1，0），得．從而， 設(shè)E(，)，代入，得． 解之得，，根據(jù)題意，得點(diǎn)E(3，2) （3） 假設(shè)存在這樣的點(diǎn)F，可設(shè)F(，)． 過點(diǎn)F作FG⊥軸，垂足為點(diǎn)G. 在Rt△POM和Rt△FGP中，∵∠OMP+∠OPM=90，∠FPG+∠OPM=90， ∴∠OMP=∠FPG，又∠POM=∠PGF，∴△POM∽△FGP. ∴．又OM=1，OP=1，∴GP=GF，即． 解得，，根據(jù)題意，得F(1，－2)．

13、 故點(diǎn)F(1，－2)即為所求． ． 【典例6】如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為Q，且與軸交于點(diǎn)C，與軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），點(diǎn)P是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)C沿拋物線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與A不重合），過點(diǎn)P作PD∥軸，交AC于點(diǎn)D． (1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)△ADP是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (3)在問題(2)的結(jié)論下，若點(diǎn)E在軸上，點(diǎn)F在拋物線上，問是否存在以A、P、E、F為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由． 【解析】解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為Q（2，－1）∴設(shè) 將C（0，3）代入

14、上式，得 ∴， 即…（3分） （2）分兩種情況： ①當(dāng)點(diǎn)P1為直角頂點(diǎn)時(shí),點(diǎn)P1與點(diǎn)B重合(如圖) 令=0, 得 解之得, ∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊, ∴B(1,0), A(3,0)∴P1(1,0) （5分） ②解:當(dāng)點(diǎn)A為△APD2的直角頂點(diǎn)是(如圖) ∵OA=OC, ∠AOC=, ∴∠OAD2= 當(dāng)∠D2AP2=時(shí), ∠OAP2=, ∴AO平分∠D2AP2 又∵P2D2∥軸, ∴P2D2⊥AO, ∴P2、D2關(guān)于軸對(duì)稱 設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為 將A(3,0), C(0,3)代入上式得 , ∴∴……………（7分） ∵D2在上, P2在上, ∴設(shè)D2(,), P2(,)∴()+()=0 , ∴, (舍)∴當(dāng)=2時(shí), ==－1 ∴P2的坐標(biāo)為P2(2,－1)(即為拋物線頂點(diǎn)) ∴P點(diǎn)坐標(biāo)為P1(1,0), P2(2,－1) (3)解: 由題(2)知,當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1(1,0)時(shí),不能構(gòu)成平行四邊形當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P2(2,－1)(即頂點(diǎn)Q)時(shí), 平移直線AP(如圖)交軸于點(diǎn)E,交拋物線于點(diǎn)F. 當(dāng)AP=FE時(shí),四邊形PAFE是平行四邊形 ∵P(2,－1), ∴可令F(,1)∴ 解之得: , ∴F點(diǎn)有兩點(diǎn), 即F1(,1), F2(,1) 初中數(shù)學(xué)中考備課必備