《中考（數(shù)學(xué)）分類八 二次函數(shù)與平行四邊形有關(guān)的問題（含答案）-歷年真題?？肌⒅仉y點題型講練》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《中考（數(shù)學(xué)）分類八 二次函數(shù)與平行四邊形有關(guān)的問題（含答案）-歷年真題常考、重難點題型講練（20頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、數(shù)學(xué)專題 精心整理 類型八二次函數(shù)與平行四邊形有關(guān)的問題 【典例1】已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C（0，﹣3），頂點D的坐標(biāo)為（1，﹣4）． （1）求拋物線的解析式． （2）在y軸上找一點E，使得△EAC為等腰三角形，請直接寫出點E的坐標(biāo)． （3）點P是x軸上的動點，點Q是拋物線上的動點，是否存在點P、Q，使得以點P、Q、B、D為頂點，BD為一邊的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P、Q坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 【答案】（1）yx2﹣2x﹣3；（2）滿足條件的點E的坐標(biāo)為（0，3）、（0，﹣3+）、（0，﹣

2、3﹣）、（0，﹣）；（3）存在，P（﹣1+2，0）、Q（1+2，4）或P（﹣1﹣2，0）、Q（1﹣2，4）． 【解析】 【分析】 （1）根據(jù)拋物線的頂點坐標(biāo)設(shè)出拋物線的解析式，再將點C坐標(biāo)代入求解，即可得出結(jié)論； （2）先求出點A，C坐標(biāo)，設(shè)出點E坐標(biāo)，表示出AE，CE，AC，再分三種情況建立方程求解即可； （3）利用平移先確定出點Q的縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式求出點Q的橫坐標(biāo)，即可得出結(jié)論． 【詳解】 解：（1）∵拋物線的頂點為（1，﹣4）， ∴設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣4， 將點C（0，﹣3）代入拋物線y＝a（x﹣1）2﹣4中，得a﹣4＝﹣3， ∴a＝1，

3、∴拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3； （2）由（1）知，拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3， 令y＝0，則x2﹣2x﹣3＝0， ∴x＝﹣1或x＝3， ∴B（3，0），A（﹣1，0）， 令x＝0，則y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∴AC＝， 設(shè)點E（0，m），則AE＝，CE＝|m+3|， ∵△ACE是等腰三角形， ∴①當(dāng)AC＝AE時，＝， ∴m＝3或m＝﹣3（點C的縱坐標(biāo)，舍去）， ∴E（3，0）， ②當(dāng)AC＝CE時，＝|m+3|， ∴m＝﹣3， ∴E（0，﹣3+）或（0，﹣3﹣）， ③當(dāng)AE＝CE時，＝|m+3|， ∴m＝﹣， ∴E（0

4、，﹣）， 即滿足條件的點E的坐標(biāo)為（0，3）、（0，﹣3+）、（0，﹣3﹣）、（0，﹣）； （3）如圖，存在，∵D（1，﹣4）， ∴將線段BD向上平移4個單位，再向右（或向左）平移適當(dāng)?shù)木嚯x，使點B的對應(yīng)點落在拋物線上，這樣便存在點Q，此時點D的對應(yīng)點就是點P， ∴點Q的縱坐標(biāo)為4， 設(shè)Q（t，4）， 將點Q的坐標(biāo)代入拋物線y＝x2﹣2x﹣3中得，t2﹣2t﹣3＝4， ∴t＝1+2或t＝1﹣2， ∴Q（1+2，4）或（1﹣2，4）， 分別過點D，Q作x軸的垂線，垂足分別為F，G， ∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸的右邊的交點B的坐標(biāo)為（3，0），且D（1，﹣4）， ∴FB

5、＝PG＝3﹣1＝2， ∴點P的橫坐標(biāo)為（1+2）﹣2＝﹣1+2或（1﹣2）﹣2＝﹣1﹣2， 即P（﹣1+2，0）、Q（1+2，4）或P（﹣1﹣2，0）、Q（1﹣2，4）． 【點睛】 此題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵． 【典例2】如圖，拋物線與直線交于兩點，其中點在軸上，點的坐標(biāo)為。點是軸右側(cè)的拋物線上一動點，過點作軸于點，交于點. （1）求拋物線的解析式； （2）若點的橫坐標(biāo)為，當(dāng)為何值時，以為頂點的四邊形是平行四邊形？請說明理由。 【解析】（1）∵直線經(jīng)過點,∴ ∵拋物線經(jīng)過點，

6、 ∴ ∴拋物線的解析式為 （2）∵點的橫坐標(biāo)為且在拋物線上 ∴ ∵∥，∴當(dāng)時，以為頂點的四邊形是平行四邊形 ① 當(dāng)時， ∴，解得： 即當(dāng)或時，四邊形是平行四邊形 ② 當(dāng)時， ，解得：（舍去） 即當(dāng)時，四邊形是平行四邊形 【典例3】已知拋物線與x軸交于點A，B兩點（A在B的左側(cè)）與y軸交于點C． （1）直接寫出點A，B，C的坐標(biāo)； （2）將拋物線經(jīng)過向下平移，使得到的拋物線與x軸交于B， 兩點（在B的右側(cè)），頂點D的對應(yīng)點，若，求的坐標(biāo)和拋物線的解析式； （3）在（2）的條件下，若點Q在x軸上，則在拋物線或上是否存在點P，使以為

7、頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由． 【答案】（1）A（-3，0），B（1，0），（0，3）；（2）B（3，0），y2=-x2+4x-3；（3）P的坐標(biāo)為（-2，3），（-1+，-3），（-1-，-3），（0，-3），（4，-3）． 【解析】 【分析】 （1）令y=0，即可求出A，B，令x=0，即可求出C的坐標(biāo)； （2）設(shè)B（t，0），根據(jù)由題意得y2由y1平移所得，可設(shè)y2的解析式為：y2=-（x-1）（x-t）=-x2+（1+t）x-t，求出D，判斷出△BDB是等腰直角三角形，可得yD=|BB|，即可得到關(guān)于t的方程，

8、解出t即可求出B的坐標(biāo)和y2的解析式； （3）分①若Q在B右邊，②若Q在B左邊：當(dāng)BQ為邊時和當(dāng)BQ為對角線時，這幾種情況討論即可． 【詳解】 解：（1）由題意得拋物線與x軸交于點A，B兩點（A在B的左側(cè)）與y軸交于點C， ∴當(dāng)y=0時， 即（x+3）（1-x）=0 解得x1=-3，x2=1， ∴A的坐標(biāo)為（-3，0），B的坐標(biāo)為（1，0）， 當(dāng)x=0時，y=-02-20+3=3， ∴C的坐標(biāo)為（0，3）， 綜上：A（-3，0），B（1，0），（0，3）； （2）設(shè)B（t，0）， 由題意得y2由y1平移所得， ∴a=-1， ∴可設(shè)y2的解析式為：y2=-（x-1）（

9、x-t）=-x2+（1+t）x-t， ∴D（，）， ∵B和B是對稱點，D在對稱軸上，∠BDB=90， ∴△BDB是等腰直角三角形， ∴yD=|BB|， ∴=（t-1）， 解得t=3， ∴B（3，0）， ∴y2=-x2+4x-3； （3）①若Q在B右邊，則P在x軸上方，且CP∥BQ， ∴yP=yC=3， 此時P不在兩條拋物線上，不符合題意舍去； ②若Q在B左邊， 當(dāng)BQ為邊時，則CP∥BQ， 此時yP=yC=3，P點在y1上， 將yP=3，代入y1得， 解得x1=0，x2=-2， ∴此時P的坐標(biāo)為（-2，3）； 當(dāng)BQ為對角線時，則BC∥QP， ∵yC-yB

10、=3， ∴yQ-yP=3， ∵Q在x軸上， ∴yP=-3， 將yP=-3代入y1得， 解得x1=-1+，x2=-1-， 將yP=-3代入y2得-x2+4x-3=-3， 解得x1=0，x2=4， ∴P的坐標(biāo)為：（-1+，-3），（-1-，-3），（0，-3），（4，-3）， 綜上：P的坐標(biāo)為：（-2，3），（-1+，-3），（-1-，-3），（0，-3），（4，-3）． 【點睛】 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合題意靈活運用知識點是解題關(guān)鍵． 【典例4】如圖，拋物線y=ax2+bx+3與x軸相交于點A（﹣1，0）、B（

11、3，0），與y軸相交于點C，點P為線段OB上的動點（不與O、B重合），過點P垂直于x軸的直線與拋物線及線段BC分別交于點E、F，點D在y軸正半軸上，OD=2，連接DE、OF． （1）求拋物線的解析式； （2）當(dāng)四邊形ODEF是平行四邊形時，求點P的坐標(biāo)； 【解析】解：（1）∵點A（﹣1，0）、B（3，0）在拋物線y=ax2+bx+3上， ∴， 解得a=﹣1，b=2， ∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+2x+3． （2）在拋物線解析式y(tǒng)=﹣x2+2x+3中，令x=0，得y=3，∴C（0，3）． 設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，將B（3，0），C（0，3）坐標(biāo)代入得： ，

12、解得k=﹣1，b=3， ∴y=﹣x+3． 設(shè)E點坐標(biāo)為（x，﹣x2+2x+3），則P（x，0），F(xiàn)（x，﹣x+3）， ∴EF=yE﹣yF=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x． ∵四邊形ODEF是平行四邊形， ∴EF=OD=2， ∴﹣x2+3x=2，即x2﹣3x+2=0， 解得x=1或x=2， ∴P點坐標(biāo)為（1，0）或（2，0）． 【典例5】如圖，拋物線與軸交于點C，與軸交于A、B兩點，，． （1）求點B的坐標(biāo)； （2）求拋物線的解析式及頂點坐標(biāo)； （3）設(shè)點E在軸上，點F在拋物線上，如果A、C、E、F構(gòu)成平行四邊形，請寫出點E的坐標(biāo)（不必書寫計算過程）． C

13、 A B O y x 【解析】解：（1）∵ ∴C (0,3) 又∵tan∠OCA= ∴A（1，0） 又∵S△ABC=6 ∴ ∴AB=4 ∴B（，0） （2）把A（1，0）、B（，0）代入得： ∴， ∴ ∵ ∴頂點坐標(biāo)（，） （3）①AC為平行四邊形的一邊時 E1析(，0) E2（，0） E3（，0） ②AC為平行四邊形的對角線時 E4（3，0） 【典例6】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+m

14、x+n經(jīng)過點A（3，0）、B（0，﹣3），點P是直線AB上的動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點M，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t． （1）分別求出直線AB和這條拋物線的解析式． （2）若點P在第四象限，連接AM、BM，當(dāng)線段PM最長時，求△ABM的面積． （3）是否存在這樣的點P，使得以點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 【解析】： （1）分別利用待定系數(shù)法求兩函數(shù)的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分別代入y=x2+mx+n與y=kx+b，得到關(guān)于m、n的兩個方程組，解方程組即可； （2）設(shè)點P的坐標(biāo)是（t，t﹣3），則

15、M（t，t2﹣2t﹣3），用P點的縱坐標(biāo)減去M的縱坐標(biāo)得到PM的長，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值得到 當(dāng)t=﹣=時，PM最長為=，再利用三角形的面積公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM計算即可； （3）由PM∥OB，根據(jù)平行四邊形的判定得到當(dāng)PM=OB時，點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，然后討論：當(dāng)P在第四象限：PM=OB=3，PM最長時只有，所以不可能；當(dāng)P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；當(dāng)P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分別解一元二次方程即可得到滿足條件的t的值． 【答案】

16、解：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得 解得，所以拋物線的解析式是y=x2﹣2x﹣3． 設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b， 把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得，解得， 所以直線AB的解析式是y=x﹣3； （2）設(shè)點P的坐標(biāo)是（t，t﹣3），則M（t，t2﹣2t﹣3）， 因為p在第四象限， 所以PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t， 當(dāng)t=﹣=時，二次函數(shù)的最大值，即PM最長值為=， 則S△ABM=S△BPM+S△APM==． （3）存在，理由如下： ∵PM∥OB， ∴當(dāng)PM=OB時，點P、M、B、O為頂點的四邊形為平

17、行四邊形， ①當(dāng)P在第四象限：PM=OB=3，PM最長時只有，所以不可能有PM=3． ②當(dāng)P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t1=，t2=（舍去），所以P點的橫坐標(biāo)是； ③當(dāng)P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得t1=（舍去），t2=，所以P點的橫坐標(biāo)是． 所以P點的橫坐標(biāo)是或． 【典例7】如圖，拋物線經(jīng)過三點. (1)求拋物線的解析式； (2)在拋物線的對稱軸上有一點P，使PA+PC的值最小，求點P的坐標(biāo)； (3)點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以A,C,M,N四點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點N的坐標(biāo)；

18、若不存在，請說明理由. x y A O C B 【解析】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為 ， x y A O C B P N M H 根據(jù)題意，得， 解得 ∴拋物線的解析式為： （2）由題意知，點A關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為點B,連接BC交拋物線的對稱軸于點P，則P點 即為所求. 設(shè)直線BC的解析式為， 由題意，得解得 ∴直線BC的解析式為 ∵拋物線的對稱軸是， ∴當(dāng)時， ∴點P的坐標(biāo)是.

19、 （3）存在 (i)當(dāng)存在的點N在x軸的下方時，如圖所示，∵四邊形ACNM是平行四邊形，∴CN∥x軸，∴點C與點N關(guān)于對稱軸x=2對稱，∵C點的坐標(biāo)為，∴點N的坐標(biāo)為 （II）當(dāng)存在的點在x軸上方時，如圖所示，作軸于點H，∵四邊形是平行四邊形，∴, ∴Rt△CAO ≌Rt△,∴. ∵點C的坐標(biāo)為,即N點的縱坐標(biāo)為， ∴即 解得 ∴點的坐標(biāo)為和. 綜上所述，滿足題目條件的點N共有三個， 分別為，， 【典例8】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣4，0），點M為拋物線的頂點，點B在y軸上

20、，且OA＝OB，直線AB與拋物線在第一象限交于點C（2，6），如圖①． （1）求拋物線的解析式； （2）直線AB的函數(shù)解析式為　 　，點M的坐標(biāo)為　 　，cos∠ABO＝　 　； 連接OC，若過點O的直線交線段AC于點P，將△AOC的面積分成1：2的兩部分，則點P的坐標(biāo)為　 ??； （3）在y軸上找一點Q，使得△AMQ的周長最?。唧w作法如圖②，作點A關(guān)于y軸的對稱點A，連接MA交y軸于點Q，連接AM、AQ，此時△AMQ的周長最?。埱蟪鳇cQ的坐標(biāo)； （4）在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點N，使以點A、O、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，

21、請說明理由． 【答案】【分析】（1）將點A、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式即可求解； （2）點A（﹣4，0），OB＝OA＝4，故點B（0，4），即可求出AB的表達(dá)式；OP將△AOC的面積分成1：2的兩部分，則AP＝AC或AC，即可求解； （3）△AMQ的周長＝AM+AQ+MQ＝AM+A′M最小，即可求解； （4）分AC是邊、AC是對角線兩種情況，分別求解即可． 【解答】解：（1）將點A、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，解得， 故直線AB的表達(dá)式為：y＝x2+2x； （2）點A（﹣4，0），OB＝OA＝4，故點B（0，4）， 由點A、B的坐標(biāo)得，直線AB的表達(dá)式為：y＝x+4； 則

22、∠ABO＝45，故cos∠ABO＝； 對于y＝x2+2x，函數(shù)的對稱軸為x＝﹣2，故點M（﹣2，﹣2）； OP將△AOC的面積分成1：2的兩部分，則AP＝AC或AC， 則，即，解得：yP＝2或4， 故點P（﹣2，2）或（0，4）； 故答案為：y＝x+4；（﹣2，﹣2）；；（﹣2，2）或（0，4）； （3）△AMQ的周長＝AM+AQ+MQ＝AM+A′M最小， 點A′（4，0）， 設(shè)直線A′M的表達(dá)式為：y＝kx+b，則，解得， 故直線A′M的表達(dá)式為：y＝x﹣， 令x＝0，則y＝﹣，故點Q（0，﹣）； （4）存在，理由： 設(shè)點N（m，n），而點A、C、O的坐標(biāo)分別為（﹣4

23、，0）、（2，6）、（0，0）， ①當(dāng)AC是邊時， 點A向右平移6個單位向上平移6個單位得到點C，同樣點O（N）右平移6個單位向上平移6個單位得到點N（O）， 即06＝m，06＝n，解得：m＝n＝6， 故點N（6，6）或（﹣6，﹣6）； ②當(dāng)AC是對角線時， 由中點公式得：﹣4+2＝m+0，6+0＝n+0， 解得：m＝﹣2，n＝6， 故點N（﹣2，6）； 綜上，點N的坐標(biāo)為（6，6）或（﹣6，﹣6）或（﹣2，6）． 【點評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、圖形的平移、面積的計算等，其中（4），要注意分類求解，避免遺漏． 【典例9】如圖

24、1（注：與圖2完全相同）所示，拋物線經(jīng)過B、D兩點，與x軸的另一個交點為A，與y軸相交于點C． （1）求拋物線的解析式． （2）設(shè)拋物線的頂點為M，求四邊形ABMC的面積（請在圖1中探索） （3）設(shè)點Q在y軸上，點P在拋物線上．要使以點A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點P的坐標(biāo)（請在圖2中探索） 【答案】（1）；（2）；（3）點P的坐標(biāo)為：或（4，）或（，）． 【解析】 【分析】 （1）由圖可知點B、點D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法，即可求出拋物線的解析式； （2）過點M作ME⊥AB于點E，由二次函數(shù)的性質(zhì)，分別求出點A、C、M的坐標(biāo)，然后得到OE、BE

25、的長度，再利用切割法求出四邊形的面積即可； （3）由點Q在y軸上，設(shè)Q（0，y），由平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)題意可分為：①當(dāng)AB為對角線時；②當(dāng)BQ2為對角線時；③當(dāng)AQ3為對角線時；分別求出三種情況的點P的坐標(biāo)，即可得到答案． 【詳解】 解：（1）根據(jù)題意，拋物線經(jīng)過B、D兩點， 點D為（，），點B為（3，0）， 則， 解得：， ∴拋物線的解析式為； （2）∵， ∴點M的坐標(biāo)為（1，2） 令， 解得：，， ∴點A為（，0）； 令，則， ∴點C為（0，）； ∴OA=1，OC=， 過點M作ME⊥AB于點E，如圖： ∴，，， ∴， ∴； （3）根據(jù)題意

26、，點Q在y軸上，則設(shè)點Q為（0，y）， ∵點P在拋物線上，且以點A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形， 如圖所示，可分為三種情況進(jìn)行分析： ①AB為對角線時，則為對角線； 由平行四邊形的性質(zhì)， ∴點E為AB和的中點， ∵E為（1，0）， ∵點Q1為（0，y）， ∴點P1的橫坐標(biāo)為2； 當(dāng)時，代入， ∴， ∴點； ②當(dāng)BQ2是對角線時，AP也是對角線， ∵點B（3，0），點Q2（0，y）， ∴BQ2中點的橫坐標(biāo)為， ∵點A為（，0）， ∴點P2的橫坐標(biāo)為4， 當(dāng)時，代入， ∴， ∴點P2的坐標(biāo)為（4，）； ③當(dāng)AQ3為對角線時，BP3也是對角線； ∵點A為（，0），點Q3（0，y）， ∴AQ3的中點的橫坐標(biāo)為， ∵點B（3，0）， ∴點P3的橫坐標(biāo)為， 當(dāng)時，代入， ∴， ∴點P3的坐標(biāo)為（，）； 綜合上述，點P的坐標(biāo)為：或（4，）或（，）． 【點睛】 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解一元二次方程，以及坐標(biāo)與圖形等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題，注意利用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行分析． 初中數(shù)學(xué)中考備課必備