《中考（數(shù)學）分類十二 二次函數(shù)與圓的問題（含答案）-歷年真題?？肌⒅仉y點題型講練》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《中考（數(shù)學）分類十二 二次函數(shù)與圓的問題（含答案）-歷年真題?？?、重難點題型講練（15頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、數(shù)學專題 精心整理 類型十二 二次函數(shù)與圓的問題 【典例1】如圖，拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過點A（﹣1，0）和點C （0，3）與x軸的另一交點為點B，點M是直線BC上一動點，過點M作MP∥y軸，交拋物線于點P． （1）求該拋物線的解析式； （2）在拋物線上是否存在一點Q，使得△QCO是等邊三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由； （3）以M為圓心，MP為半徑作⊙M，當⊙M與坐標軸相切時，求出⊙M的半徑． 【答案】（1）y＝﹣x2+x+3；（2）不存在，理由見解析；（3）⊙M的半徑為或 【解析】 【分析】 （1）已知拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過點A(﹣1,0

2、)和點C(0,3)，利用待定系數(shù)法即可求得拋物線解析式； （2）在拋物線上找到一點Q，使得△QCO是等邊三角形，過點Q作OM⊥OB于點M，過點Q作QN⊥OC于點N，根據(jù)△QCO是等邊三角形，求得Q點坐標，再驗證Q點是否在拋物線上； （3）分兩種情況①當⊙M與y軸相切，如圖所示，令M點橫坐標為t，PM=t，將PM用t表示出來，列出關(guān)于t的一元二次方程，求得t，進而求得半徑；②⊙M與x軸相切，過點M作MN⊥OB于N，如圖所示，令M點橫坐標為m，因為PN=2MN，列出關(guān)于m的一元二次方程，即可求出m，進而求得⊙M的半徑． 【詳解】 （1）∵拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過點A(﹣1,0)和點C(

3、0,3) ∴ 解得 ∴該拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x+3 故答案為：y＝﹣x2+x+3 （2）在拋物線上找到一點Q，使得△QCO是等邊三角形，過點Q作OM⊥OB于點M，過點Q作QN⊥OC于點N ∵△QCO是等邊三角形，OC=3 ∴CN= ∴NQ= 即Q(,) 當x=時，y＝﹣×()2+×+3=≠ ∴Q(,)不在拋物線上 y＝﹣x2+x+3 故答案為：不存在，理由見解析 （3）①⊙M與y軸相切，如圖所示 ∵y＝﹣x2+x+3 當y=0時，﹣x2+x+3=0 解得x1=-1，x2=4 ∴B(4,0) 令直線BC的解析式為y=kx+b

4、 解得 ∴直線BC的解析式為 令M點橫坐標為t ∵MP∥y軸，⊙M與y軸相切 ∴t=﹣t2+t+3- 解得t= ⊙M的半徑為 ②⊙M與x軸相切，過點M作MN⊥OB于N，如圖所示 令M點橫坐標為m ∵PN=2MN ∴ 解得m=1或m=4（舍去） ∴⊙M的半徑為： 故答案為：⊙M的半徑為或 【點睛】 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，是二次函數(shù)的綜合題，涉及了二次函數(shù)與幾何問題，二次函數(shù)與圓的問題，其中考查了圓切線的性質(zhì)． 【典例2】將拋物線向下平移6個單位長度得到拋物線，再將拋物線向左平移2個單位長度得到拋物線． （1）

5、直接寫出拋物線，的解析式； （2）如圖（1），點在拋物線對稱軸右側(cè)上，點在對稱軸上，是以為斜邊的等腰直角三角形，求點的坐標； （3）如圖（2），直線（，為常數(shù)）與拋物線交于，兩點，為線段的中點；直線與拋物線交于，兩點，為線段的中點．求證：直線經(jīng)過一個定點． 【答案】（1）拋物線的解析式為： y=x2-4x-2；拋物線的解析式為：y=x2-6；（2）點的坐標為（5，3）或（4，-2）；（3）直線經(jīng)過定點（0，2） 【解析】 【分析】 （1）根據(jù)函數(shù)圖象上下平移：函數(shù)值上加下減；左右平移：自變量左加右減寫出函數(shù)解析式并化簡即可； （2）先判斷出點A、B、O、D四點共圓，再根據(jù)同弧所對

6、的圓周角相等得到∠BDA=∠BOA=45°，從而證出是等腰直角三角形．設(shè)點A的坐標為（x，x2-4x-2），把DC和AC用含x的代數(shù)式表示出來，利用DC=AC列方程求解即可，注意有兩種情況； （3）根據(jù)直線（，為常數(shù)）與拋物線交于，兩點，聯(lián)立兩個解析式，得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出點M的橫坐標，進而求出縱坐標，同理求出點N的坐標，再用待定系數(shù)法求出直線MN的解析式，從而判斷直線MN經(jīng)過的定點即可． 【詳解】 解：（1）∵拋物線向下平移6個單位長度得到拋物線，再將拋物線向左平移2個單位長度得到拋物線， ∴拋物線的解析式為：y=(x-2)2-6，即y=x2-4

7、x-2， 拋物線的解析式為：y=(x-2+2)2-6，即y=x2-6． （2）如下圖，過點A作AC⊥x軸于點C，連接AD， ∵是等腰直角三角形， ∴∠BOA =45°， 又∵∠BDO=∠BAO=90°， ∴點A、B、O、D四點共圓， ∴∠BDA=∠BOA=45°， ∴∠ADC=90°-∠BDA=45°， ∴是等腰直角三角形， ∴DC=AC． ∵點在拋物線對稱軸右側(cè)上，點在對稱軸上， ∴拋物線的對稱軸為x=2， 設(shè)點A的坐標為（x，x2-4x-2）， ∴DC=x-2，AC= x2-4x-2， ∴x-2= x2-4

8、x-2， 解得：x=5或x=0（舍去）， ∴點A的坐標為（5，3）； 同理，當點B、點A在x軸的下方時， x-2= -(x2-4x-2)， x=4或x=-1（舍去）， ∴點的坐標為（4，-2）， 綜上，點的坐標為（5，3）或（4，-2）． （3）∵直線（，為常數(shù)）與拋物線交于，兩點， ∴， ∴x2-kx-6=0， 設(shè)點E的橫坐標為xE，點F的橫坐標為xF， ∴xE+xF=k， ∴中點M的橫坐標xM==， 中點M的縱坐標yM=kx=， ∴點M的坐標為（，）； 同理可得：點N的坐標為（，）， 設(shè)直線MN的解析式為y=ax+b（a≠0）， 將M（，）、N（，）代入

9、得： ， 解得：， ∴直線MN的解析式為y= ·x+2（）， 不論k取何值時（），當x=0時，y=2， ∴直線經(jīng)過定點（0，2）． 【點睛】 本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，熟練掌握圖象平移的規(guī)律、判斷點A、B、O、D四點共圓的方法、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的步驟是解題的關(guān)鍵． 【典例3】如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線過點B且與直線相交于另一點． （1）求拋物線的解析式； （2）點P是拋物線上的一動點，當時，求點P的坐標； （3）點在x軸的正半軸上，點是y軸正半軸上的一動點，且滿足． ①求m與n之間的函數(shù)關(guān)系式； ②當m在

10、什么范圍時，符合條件的N點的個數(shù)有2個？ 【答案】（1）；（2）或（3，）或（-2，-3）；（3）①；②0＜m＜ 【解析】 【分析】 （1）利用一次函數(shù)求出A和B的坐標，結(jié)合點C坐標，求出二次函數(shù)表達式； （2）當點P在x軸上方時，點P與點C重合，當點P在x軸下方時，AP與y軸交于點Q，求出AQ表達式，聯(lián)立二次函數(shù)，可得交點坐標，即為點P； （3）①過點C作CD⊥x軸于點D，證明△MNO∽△NCD，可得，整理可得結(jié)果； ②作以MC為直徑的圓E，根據(jù)圓E與線段OD的交點個數(shù)來判斷M的位置，即可得到m的取值范圍. 【詳解】 解：（1）∵直線與x軸交于點A，與y軸交于點B， 令x

11、=0，則y=2，令y=0，則x=4， ∴A（4，0），B（0，2）， ∵拋物線經(jīng)過B（0，2），， ∴，解得：， ∴拋物線的表達式為：； （2）當點P在x軸上方時，點P與點C重合，滿足， ∵， ∴， 當點P在x軸下方時，如圖，AP與y軸交于點Q， ∵， ∴B，Q關(guān)于x軸對稱， ∴Q（0，-2），又A（4，0）， 設(shè)直線AQ的表達式為y=px+q，代入， ，解得：， ∴直線AQ的表達式為：，聯(lián)立得： ，解得：x=3或-2， ∴點P的坐標為（3，）或（-2，-3）， 綜上，當時，點P的坐標為：或（3，）或（-2，-3）； （3）①如圖，∠MNC=90

12、6;，過點C作CD⊥x軸于點D， ∴∠MNO+∠CND=90°， ∵∠OMN+∠MNO=90°， ∴∠CND=∠OMN,又∠MON=∠CDN=90°， ∴△MNO∽△NCD， ∴，即， 整理得：； ②如圖，∵∠MNC=90°， 以MC為直徑畫圓E， ∵， ∴點N在線段OD上（不含O和D），即圓E與線段OD有兩個交點（不含O和D）， ∵點M在y軸正半軸， 當圓E與線段OD相切時， 有NE=MC，即NE2=MC2， ∵M（0，m），， ∴E（，）， ∴=， 解得：m=， 當點M與點O重合時，如圖， 此時圓E與線段

13、OD（不含O和D）有一個交點， ∴當0＜m＜時，圓E與線段OD有兩個交點， 故m的取值范圍是：0＜m＜. 【點睛】 本題是二次函數(shù)綜合，考查了求二次函數(shù)表達式，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，一次函數(shù)表達式，難度較大，解題時要充分理解題意，結(jié)合圖像解決問題. 【典例4】如圖10-1，已知點P是拋物線上的一個點，點D、E的坐標分別為(0, 1)、(1, 2)，連結(jié)PD、PE，求PD＋PE的最小值． 圖10-1 【解析】點P不在一條筆直的河流上，沒有辦法套用“牛喝水”的模型． 設(shè)P，那么PD2＝．所以PD＝． 如圖10-2，的幾何意義可以理解為拋物線上的動點P到直線y

14、＝－1的距離PH．所以PD＝PH．因此PD＋PE就轉(zhuǎn)化為PH＋PE． 如圖10-3，當P、E、H三點共線，即PH⊥x軸時，PH＋PE的最小值為3． 高中數(shù)學會學到，拋物線是到定點的距離等于到定直線的距離的點的集合，在中考數(shù)學壓軸題里, 如果要用到這個性質(zhì)，最好鋪墊一個小題，求證PD＝PH. 圖10-2 圖10-3 【典例5】如圖，在直角坐標系中，四邊形OABC是平行四邊形，經(jīng)過A（﹣2，0），B，C三點的拋物線y＝ax2+bx+（a＜0）與x軸的另一個交點為D，其頂點為M，對稱軸與x軸交于點E． （1）求這條拋物線對

15、應(yīng)的函數(shù)表達式； （2）已知R是拋物線上的點，使得△ADR的面積是?OABC的面積的，求點R的坐標； （3）已知P是拋物線對稱軸上的點，滿足在直線MD上存在唯一的點Q，使得∠PQE＝45°，求點P的坐標． 【答案】解：（1）OA＝2＝BC，故函數(shù)的對稱軸為x＝1，則x＝﹣＝1①， 將點A的坐標代入拋物線表達式得：0＝4a﹣2b+②， 聯(lián)立①②并解得，故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+x+③； （2）由拋物線的表達式得，點M（1，3）、點D（4，0）； ∵△ADR的面積是?OABC的面積的， ∴×AD×|yR|＝×OA×OB，則

16、×6×|yR|＝×2×，解得：yR＝±④， 聯(lián)立④③并解得，或 故點R的坐標為（1+，4）或（1﹣，4）或（1+，﹣4）或（1﹣，﹣4）； （3）作△PEQ的外接圓R， ∵∠PQE＝45°，故∠PRE＝90°， 則△PRE為等腰直角三角形， 當直線MD上存在唯一的點Q，則RQ⊥MD， 點M、D的坐標分別為（1，4）、（4，0）， 則ME＝4，ED＝4﹣1＝3，則MD＝5， 過點R作RH⊥ME于點H， 設(shè)點P（1，2m），則PH＝HE＝HR＝m，則圓R的半徑為m，則點R（1+m，m）， S△MED＝S△M

17、RD+S△MRE+S△DRE，即×EM?ED＝×MD×RQ+×ED?yR+×ME?RH， ∴×4×3＝×5×m+×4×m+×3×m，解得m＝60﹣84，故點P（1，120﹣168）． 【分析】（1）OA＝2＝BC，故函數(shù)的對稱軸為x＝1，則x＝﹣＝1①，將點A的坐標代入拋物線表達式得：0＝4a﹣2b+②，聯(lián)立①②即可求解；（2）△ADR的面積是?OABC的面積的，則×AD×|yR|＝×OA×OB，則×6×|yR|＝×2×，即可求解； （3）∠PQE＝45°，故∠PRE＝90°，則△PRE為等腰直角三角形，當直線MD上存在唯一的點Q，則RQ⊥MD，即可求解． 【點評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、圓的基本知識、面積的計算等，綜合性強，難度較大． 初中數(shù)學中考備課必備