《中考（數(shù)學(xué)）分類一 新定義型（含答案）-歷年真題?？?、重難點(diǎn)題型講練》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《中考（數(shù)學(xué)）分類一 新定義型（含答案）-歷年真題常考、重難點(diǎn)題型講練（21頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、數(shù)學(xué)專題 精心整理 類型一 新定義型 “新定義”型問題，指的是命題老師用下定義的方式，給出一個新的運(yùn)算、符號、概念、圖形或性質(zhì)等，要求同學(xué)們“化生為熟”、“現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用”，能結(jié)合已有知識、能力進(jìn)行理解，進(jìn)而進(jìn)行運(yùn)算、推理、遷移的一種題型，這類題型往往是教材中一些數(shù)學(xué)概念的拓展、變式，是近幾年中考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)。 “新定義”型試題主要考查同學(xué)們學(xué)習(xí)新知識的能力，具體而言，就是考查大家的閱讀理解能力、數(shù)學(xué)規(guī)則的選擇與運(yùn)用能力、綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題解決問題的能力，有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)抽象，旨在引導(dǎo)、培養(yǎng)大家在平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，能養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)、主動探究的學(xué)習(xí)方式。 “定義新運(yùn)算”是指用一個符號和已

2、知運(yùn)算表達(dá)式表示一種新的運(yùn)算． 解決這類問題的關(guān)鍵是理解新運(yùn)算規(guī)定的規(guī)則，明白其中的算理算法． 運(yùn)算時(shí)，要嚴(yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則，轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的運(yùn)算形式，然后按正確的運(yùn)算順序進(jìn)行計(jì)算． “定義新符號”試題是定義了一個新的數(shù)學(xué)符號，要求同學(xué)們要讀懂符號，了解新符號所代表的意義，理解試題對新符號的規(guī)定，并將新符號與已學(xué)知識聯(lián)系起來，將它轉(zhuǎn)化成熟悉的知識，而后利用已有的知識經(jīng)驗(yàn)來解決問題． 【典例1】對于任意實(shí)數(shù)a，b，定義關(guān)于“?”的一種運(yùn)算如下：a?b=2a+b．例如3?4=2×3+4=10． （1）求2?（-5）的值； （2）若x?（-y）=2，且2y?x=-1，求x+y的

3、值． 【解析】（1）依據(jù)關(guān)于“?”的一種運(yùn)算：a?b=2a+b，即可得到2?（﹣5）的值； （2）依據(jù)x?（﹣y）=2，且2y?x=﹣1，可得方程組，即可得到x+y的值． 【典例2】對于實(shí)數(shù)x，規(guī)定表示不小于x的最小整數(shù)，例如，，，則 （1）填空：①　 ??； ②若，則x的取值范圍是　 ． （2）已知x為正整數(shù)，且，求x的值． 【解析】（1）①[﹣π]＝﹣3； ②x的取值范圍是﹣3＜x≤﹣2； （2）由知2＜ ≤3，解得：3＜x≤5， ∵x取正整數(shù)，

4、 ∴x的值為4或5． 【典例3】在平面直角坐標(biāo)系中，將一點(diǎn)(橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)不相等)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互換后得到的點(diǎn)叫這一點(diǎn)的“互換點(diǎn)”，如(－3，5)與(5，－3)是一對“互換點(diǎn)”． （1）任意一對“互換點(diǎn)”能否都在一個反比例函數(shù)的圖象上？為什么？ 【解析】（1）設(shè)這一對“互換點(diǎn)”的坐標(biāo)為M(m，n) 和N(n，m) ． ① 當(dāng)mn=0時(shí)，它們不可能在反比例函數(shù)的圖像上； ② 當(dāng)mn≠0 時(shí)，M、N兩點(diǎn)均在反比例函數(shù)的圖像上． 于是得到結(jié)論“不一定”． （2）M，N是一對“互換點(diǎn)”，若點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m，n)，求直線MN的表達(dá)式(用含m，n的代數(shù)式表示)； 【解析】（2）設(shè)

5、直線 MN 的表達(dá)式為 y = kx + b( k≠0) ． 把 M( m,n) ，N( n，m) 代入 y = kx + b，解得 k=-1，b=m + n，∴ 直線 MN 的表達(dá)式為y=-x+m+n． （3）在拋物線y＝x2＋bx＋c的圖象上有一對“互換點(diǎn)”A，B，其中點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，直線AB經(jīng)過點(diǎn)P，求此拋物線的表達(dá)式． 【解析】 ( 3）因?yàn)辄c(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上， 故設(shè)A(m，) ，則B(，m) ． 由（2）的結(jié)論可得，直線AB的表達(dá)式為y=-x+m． 將P點(diǎn)坐標(biāo)代入可得 ， 解得m=2或-1． 【典例4】對任意一個三位數(shù)n，如果n滿足各數(shù)位上的數(shù)字互不相同，

6、且都不為零，那么稱這個數(shù)為“相異數(shù)”．將一個“相異數(shù)”任意兩個數(shù)位上的數(shù)字對調(diào)后可以得到三個不同的新三位數(shù)，把這三個新三位數(shù)的和與111的商記為F(n)．例如n＝123，對調(diào)百位與十位上的數(shù)字得到213，對調(diào)百位與個位上的數(shù)字得到321，對調(diào)十位與個位上的數(shù)字得到132，這三個新三位數(shù)的和為213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以F(123)＝6． （1）計(jì)算：F(243)，F(xiàn)(617); （2）若s，t都是“相異數(shù)”，其中s＝100x＋32，t＝150＋y(1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整數(shù)），規(guī)定：k＝當(dāng)F(s)＋F(t)＝18時(shí)，求k的最大值． 【解

7、析】解：(1)F(243)＝(423＋342＋234)÷111＝9； F(617)＝(167＋716＋671)÷111＝14． （2）∵s，t都是“相異數(shù)”，s＝100x＋32，t＝150＋y， ∴F(s)＝(302＋10x＋230＋x＋100x＋23)÷111＝x＋5，F(xiàn)(t)＝(510＋y＋100y＋51＋105＋10y)÷111＝y(tǒng)＋6． ∵F(t)＋F(s)＝18， ∴x＋5＋y＋6＝x＋y＋11＝18， ∴x＋y＝7． ∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整數(shù)， ∴或或或或或． ∵s是“相異數(shù)”， ∴x≠2，x≠3．

8、∵t是“相異數(shù)”， ∴y≠1，y≠5． ∴或或， ∴或或， ∴k＝＝或k＝＝1或k＝＝ ∴k的最大值為． 【典例5】我們規(guī)定：形如的函數(shù)叫做“奇特函數(shù)”.當(dāng)時(shí)，“奇特函數(shù)”就是反比例函數(shù). （1） 若矩形的兩邊長分別是2和3，當(dāng)這兩邊長分別增加x和y后，得到的新矩形的面積為8 ，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并判斷這個函數(shù)是否為“奇特函數(shù)”； （2） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為（9，0）、（0，3）．點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，連結(jié)OB，CD交于點(diǎn)E，“奇特函數(shù)”的圖象經(jīng)過B，E兩點(diǎn). ①求這個“奇特函數(shù)”的解析式； ②把反比例函數(shù)的圖象向

9、右平移6個單位，再向上平移     個單位就可得到①中所得“奇特函數(shù)”的圖象.過線段BE中點(diǎn)M的一條直線l與這個“奇特函數(shù)”的圖象交于P，Q兩點(diǎn)，若以B、E、P、Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)． 【解析】 （1），是 “奇特函數(shù)”；（2）①；②或或或. 試題分析：（1）根據(jù)題意列式并化為，根據(jù)定義作出判斷. （2）①求出點(diǎn)B，D的坐標(biāo)，應(yīng)用待定系數(shù)法求出直線OB解析式和直線CD解析式，二者聯(lián)立即可得點(diǎn)E 的坐標(biāo)，將B（9，3），E（3，1）代入函數(shù)即可求得這個“奇特函數(shù)”的解析式. ②根據(jù)題意可知，以B、E、

10、P、Q為頂點(diǎn)組成的四邊形是平行四邊形BPEQ或BQEP，據(jù)此求出點(diǎn)P的坐標(biāo). 試題解析：（1）根據(jù)題意，得， ∵，∴.∴. 根據(jù)定義，是 “奇特函數(shù)”. （2）①由題意得，. 易得直線OB解析式為，直線CD解析式為， 由解得.∴點(diǎn)E（3，1）. 將B（9，3），E（3，1）代入函數(shù)，得，整理得，解得.∴這個“奇特函數(shù)”的解析式為. ②∵可化為， ∴根據(jù)平移的性質(zhì)，把反比例函數(shù)的圖象向右平移6個單位，再向上平移2個單位就可得到.∴關(guān)于點(diǎn)（6，2）對稱. ∵B（9，3），E（3，1），∴BE中點(diǎn)M（6，2），即點(diǎn)M是的對稱中心. ∴以B、E、P、Q為頂點(diǎn)組成的四邊形是平行四邊

11、形BPEQ或BQEP. 由勾股定理得，. 設(shè)點(diǎn)P到EB的距離為m， ∵以B、E、P、Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為， ∴. ∴點(diǎn)P在平行于EB的直線上. ∵點(diǎn)P在上， ∴或. 解得. ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或. 考點(diǎn)：1.新定義和閱讀理解型問題；2.平移問題；3.反比例函數(shù)的性質(zhì)；4.曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；5.勾股定理；6.中心對稱的性質(zhì)；7.平行四邊形的判定和性質(zhì)；8.分類思想的應(yīng)用. 【典例6】定義[，，]為函數(shù)＝2+的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函數(shù)的一些結(jié)論： ①當(dāng)m＝﹣3時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）； ②當(dāng)m＞0時(shí)，函數(shù)圖象截軸所得

12、的線段長度大于； ③當(dāng)m＜0時(shí)，函數(shù)在＞時(shí)，隨的增大而減小； ④當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過同一個點(diǎn)． 其中正確的結(jié)論有___________ 【解析】解：根據(jù)定義可得函數(shù)＝2m2+（1﹣m）+（﹣1﹣m）， ①當(dāng)m＝﹣3時(shí)，函數(shù)解析式為＝﹣62+4+2， ∴， ∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是（），正確； ②函數(shù)＝2m2+（1﹣m）+（﹣1﹣m）與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），（﹣，0）， 當(dāng)m＞0時(shí)，1﹣（﹣）＝，正確； ③當(dāng)m＜0時(shí)，函數(shù)＝2m2+（1﹣m）+（﹣1﹣m）開口向下，對稱軸，錯誤； ④當(dāng)m≠0時(shí)，＝1代入解析式＝0，則函數(shù)一定經(jīng)過點(diǎn)（1，0），正確． 故選：①②④ 【典例7

13、】通過學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化。類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系。我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（sad）.如圖①在△ABC中，AB=AC，頂角A的正對記作sadA，這時(shí)sadA.容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的.根據(jù)上述角的正對定義，解下列問題： （1）sad60°= . （2）對于0°<A<180°，∠A的正對值sadA的取值范圍是 . （3）

14、如圖②，已知sinA，其中∠A為銳角，試求sadA的值. A A B C C B 圖① 圖② 【解析】.解：（1）根據(jù)正對定義， 當(dāng)頂角為60°時(shí)，等腰三角形底角為60°， 則三角形為等邊三角形，則sad60°==1．故答案為1． （2）當(dāng)∠A接近0°時(shí)，sadα接近0， 當(dāng)∠A接近180°時(shí)，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2． 于是sadA的取值范圍是0＜sadA＜2． 故答案為0＜sadA＜2． （3）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，sin∠A=． 在AB上取點(diǎn)D，使AD=

15、AC， 作DH⊥AC，H為垂足，令BC=3k，AB=5k，則AD=AC==4k， 又在△ADH中，∠AHD=90°，sin∠A=．∴DH=ADsin∠A=k， AH==k． 則在△CDH中，CH=AC﹣AH=k，CD==k． 于是在△ACD中，AD=AC=4k，CD=k． 由正對的定義可得：sadA==，即sadα=． 【典例8】若記y=f（x）=，其中f（1）表示當(dāng)x=1時(shí)y的值，即f（1）==；f（）表示當(dāng)x=時(shí)y的值，即f（）=；…；則f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（2011）+f（）=　 ?。? 【解析】解：∵y=f（x）=，

16、∴f（）==， ∴f（x）+f（）=1， ∴f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（2011）+f（） =f（1）+[f（2）+f（）]+[f（3）+f（）]+…+[f（2011）+f（）] =+1+1+…+1 =+2010 =2010． 故答案為：2010． 【典例9】定義在區(qū)間[m，n]上有意義的兩個函數(shù)f (x)與g (x)，如果對任意x∈[m，n]均有| f (x) – g (x) |≤1，則稱f (x)與g (x)在[m，n]上是接近的，否則稱f (x)與g (x)在[m，n]上是非接近的，現(xiàn)有兩個函數(shù)f 1(x) = loga(x – 3a)與f 2

17、(x) = loga(a > 0，a≠1)，給定區(qū)間[a + 2，a + 3]． （1）若f 1(x)與f 2 (x)在給定區(qū)間[a + 2，a + 3]上都有意義，求a的取值范圍； （2）討論f 1(x)與f 2 (x)在給定區(qū)間[a + 2，a + 3]上是否是接近的？ 【解析】解：（1）要使f 1 (x)與f 2 (x)有意義，則有 要使f 1 (x)與f 2 (x)在給定區(qū)間[a + 2，a + 3]上有意義， 等價(jià)于真數(shù)的最小值大于0 即 （2）f 1 (x)與f 2 (x)在給定區(qū)間[a + 2，a + 3]上是接近的 | f 1 (

18、x) – f 2 (x)|≤1 ≤1 |loga[(x – 3a)(x – a)]|≤1 a≤(x – 2a)2 – a2≤ 對于任意x∈[a + 2，a + 3]恒成立 設(shè)h(x) = (x – 2a)2 – a2，x∈[a + 2，a + 3] ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≤ 且其對稱軸x = 2a < 2在區(qū)間[a + 2，a + 3]的左邊 當(dāng)時(shí) f 1 (x)與f 2 (x)在給定區(qū)間[a + 2，a + 3]上是接近的 當(dāng)< a < 1時(shí)，f 1 (x)與f 2 (x)在給定區(qū)間[a

19、+ 2，a + 3]上是非接近的． 【典例10】定義：點(diǎn)P是△ABC內(nèi)部或邊上的點(diǎn)（頂點(diǎn)除外），在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一個三角形與△ABC相似，則稱點(diǎn)P是△ABC的自相似點(diǎn)． 例如：如圖1，點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部，∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC，則△BCP∽△ABC，故點(diǎn)P是△ABC的自相似點(diǎn)． 請你運(yùn)用所學(xué)知識，結(jié)合上述材料，解決下列問題： 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M是曲線y＝上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是x軸正半軸上的任意一點(diǎn)． （1）如圖2，點(diǎn)P是OM上一點(diǎn)，∠ONP＝∠M，試說明點(diǎn)P是△MON的自相似點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)是點(diǎn)N的坐標(biāo)是時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； （2）如圖3，

20、當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)是點(diǎn)N的坐標(biāo)是(2，0)時(shí)，求△MON的自相似點(diǎn)的坐標(biāo)； （3）是否存在點(diǎn)M和點(diǎn)N，使△MON無自相似點(diǎn)？若存在，請直接寫出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 【解析】解：（1）∵∠ONP＝∠M，∠NOP＝∠MON， ∴△NOP∽△MON， ∴點(diǎn)P是△MON的自相似點(diǎn)； 過P作PD⊥x軸于D，則tan∠POD＝＝ ∴∠MON＝60°， ∵當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)是點(diǎn)N的坐標(biāo)是 ∴∠MNO＝90°， ∵△NOP∽△MON， ∴∠NPO＝∠MNO＝90°， 在Rt△OPN中，OP＝ONcos60°＝ ∴OD＝OPcos60

21、76;＝＝＝OP﹒sin60°＝＝ ∴ （2）作MH⊥x軸于H，如圖3所示： ∵點(diǎn)M的坐標(biāo)是點(diǎn)N的坐標(biāo)是(2，0)， ∴OM＝＝直線OM的解析式為y＝＝2，∠MOH＝30°， 分兩種情況： ①如圖3所示：∵P是△MON的相似點(diǎn)， ∴△PON∽△NOM，作PQ⊥x軸于Q， ∴PO＝PN，OQ＝＝1， ∵P的橫坐標(biāo)為1， ∴y＝＝ ∴ ②如圖4所示： 由勾股定理得：MN＝＝2， ∵P是△MON的相似點(diǎn)， ∴△PNM∽△NOM， ∴＝即＝ 解得：PN＝ 即P的縱坐標(biāo)為代入y＝得：＝ 解得：x＝2， ∴ 綜上所述：△MON的自相似點(diǎn)的坐標(biāo)為

22、或 （3）存在點(diǎn)M和點(diǎn)N，使△MON無自相似點(diǎn)理由如下： ∵ ∴OM＝＝ON，∠MON＝60°， ∴△MON是等邊三角形， ∵點(diǎn)P在△MON的內(nèi)部， ∴∠PON≠∠OMN，∠PNO≠∠MON， ∴存在點(diǎn)M和點(diǎn)N，使△MON無自相似點(diǎn)． 【典例11】如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長，那么稱這個三角形為“好玩三角形”． （1）請用直尺和圓規(guī)畫一個“好玩三角形”； （2）如圖在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= ，求證：△ABC是“好玩三角形”； （3））如圖2，已知菱形ABCD的邊長為a，∠ABC=2β，點(diǎn)P，Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，以相同速

23、度分別沿折線AB-BC和AD-DC向終點(diǎn)C運(yùn)動，記點(diǎn)P經(jīng)過的路程為s． ①當(dāng)β=45°時(shí)，若△APQ是“好玩三角形”，試求的值； ②當(dāng)tanβ的取值在什么范圍內(nèi)，點(diǎn)P，Q在運(yùn)動過程中，有且只有一個△APQ能成為“好玩三角形”．請直接寫出tanβ的取值范圍． （4）（本小題為選做題，作對另加2分，但全卷滿分不超過150分） 依據(jù)（3）的條件，提出一個關(guān)于“在點(diǎn)P，Q的運(yùn)動過程中，tanβ的取值范圍與△APQ是‘好玩三角形’的個數(shù)關(guān)系”的真命題（“好玩三角形”的個數(shù)限定不能為1） 【解析】解：（1）如圖1，①作一條線段AB， ②作線段AB的中點(diǎn)O， ③作線段OC，使

24、OC=AB， ④連接AC、BC， ∴△ABC是所求作的三角形． （2）如圖2，取AC的中點(diǎn)D，連接BD ∵∠C=90°，tanA=， ∴=， ∴設(shè)BC=x，則AC=2x， ∵D是AC的中點(diǎn)， ∴CD=AC=x ∴BD==2x， ∴AC=BD ∴△ABC是“好玩三角形”； （3）①如圖3，當(dāng)β=45°，點(diǎn)P在AB上時(shí)， ∴∠ABC=2β=90°， ∴△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”， 當(dāng)P在BC上時(shí)，連接AC交PQ于點(diǎn)E，延長AB交QP的延長線于點(diǎn)F， ∵PC=CQ， ∴∠CAB=∠ACP，∠AEF=∠CEP

25、， ∴△AEF∽△CEP， ∴． ∵PE=CE， ∴． Ⅰ當(dāng)?shù)走匬Q與它的中線AE相等時(shí)，即AE=PQ時(shí)， ， ∴=， Ⅱ當(dāng)腰AP與它的中線QM相等，即AP=QM時(shí)， 作QN⊥AP于N，如圖4 ∴MN=AN=MP． ∴QN=MN， ∴tan∠APQ==， ∴tan∠APE==， ∴=+。 ②由①可知，當(dāng)AE=PQ和AP=QM時(shí)，有且只有一個△APQ能成為“好玩三角形”， ∴＜tanβ＜2時(shí)，有且只有一個△APQ能成為“好玩三角形”． （4）由（3）可以知道0＜tanβ＜， 則在P、Q的運(yùn)動過程中，使得△APQ成為“好玩三角形”的個數(shù)為2． 【典例12】

26、對于鈍角α，定義它的三角函數(shù)值如下： sinα=sin（180°-α），cosα=-cos（180°-α） （1）求sin120°，cos120°，sin150°的值； （2）若一個三角形的三個內(nèi)角的比是1：1：4，A，B是這個三角形的兩個頂點(diǎn)，sinA，cosB是方程4x2-mx-1=0的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求m的值及∠A和∠B的大?。? 【解答】解：（1）由題意得， sin120°=sin（180°-120°）=sin60°=， cos120°=-cos（180°-120

27、°）=-cos60°=-， sin150°=sin（180°-150°）=sin30°=； （2）∵三角形的三個內(nèi)角的比是1：1：4， ∴三個內(nèi)角分別為30°，30°，120°， ①當(dāng)∠A=30°，∠B=120°時(shí)，方程的兩根為，-， 將代入方程得：4×（）2-m×-1=0， 解得：m=0， 經(jīng)檢驗(yàn)-是方程4x2-1=0的根， ∴m=0符合題意； ②當(dāng)∠A=120°，∠B=30°時(shí)，兩根為，，不符合題意； ③當(dāng)∠A=30

28、76;，∠B=30°時(shí)，兩根為，， 將代入方程得：4×（）2-m×-1=0， 解得：m=0， 經(jīng)檢驗(yàn)不是方程4x2-1=0的根． 綜上所述：m=0，∠A=30°，∠B=120°． 【典例13】我們把由不平行于底的直線截等腰三角形的兩腰所得的四邊形稱為“準(zhǔn)等腰梯形”．如圖1，四邊形ABCD即為“準(zhǔn)等腰梯形”．其中∠B=∠C． （1）在圖1所示的“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中，選擇合適的一個頂點(diǎn)引一條直線將四邊形ABCD分割成一個等腰梯形和一個三角形或分割成一個等腰三角形和一個梯形（畫出一種示意圖即可）； （2）如圖2，在“準(zhǔn)等腰梯形”

29、ABCD中∠B=∠C．E為邊BC上一點(diǎn)，若AB∥DE，AE∥DC，求證： ； （3）在由不平行于BC的直線AD截△PBC所得的四邊形ABCD中，∠BAD與∠ADC的平分線交于點(diǎn)E．若EB=EC，請問當(dāng)點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)部時(shí)（即圖3所示情形），四邊形ABCD是不是“準(zhǔn)等腰梯形”，為什么？若點(diǎn)E不在四邊形ABCD內(nèi)部時(shí)，情況又將如何？寫出你的結(jié)論．（不必說明理由） 【解析】解：（1）如圖1，過點(diǎn)D作DE∥BC交PB于點(diǎn)E，則四邊形ABCD分割成一個等腰梯形BCDE和一個三角形ADE； （2）∵AB∥DE， ∴∠B=∠DEC， ∵AE∥DC， ∴∠AEB=∠C， ∵∠B=∠C

30、， ∴∠B=∠AEB， ∴AB=AE． ∵在△ABE和△DEC中， ， ∴△ABE∽△DEC， ∴， ∴； （3）作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥CD于H， ∴∠BFE=∠CHE=90°． ∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC， ∴EF=EG=EH， 在Rt△EFB和Rt△EHC中 ， ∴Rt△EFB≌Rt△EHC（HL）， ∴∠3=∠4． ∵BE=CE， ∴∠1=∠2． ∴∠1+∠3=∠2+∠4 即∠ABC=∠DCB， ∵ABCD為AD截某三角形所得，且AD不平行BC， ∴ABCD是“準(zhǔn)等腰梯形”． 當(dāng)點(diǎn)E不在四邊形ABCD的

31、內(nèi)部時(shí)，有兩種情況： 如圖4，當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí)，同理可以證明△EFB≌△EHC， ∴∠B=∠C， ∴ABCD是“準(zhǔn)等腰梯形”． 如圖5，當(dāng)點(diǎn)E在四邊形ABCD的外部時(shí)，同理可以證明△EFB≌△EHC， ∴∠EBF=∠ECH． ∵BE=CE， ∴∠3=∠4， ∴∠EBF-∠3=∠ECH-∠4， 即∠1=∠2， ∴四邊形ABCD是“準(zhǔn)等腰梯形”． 【典例14】對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和⊙C，給出如下的定義：若⊙C上存在兩個點(diǎn)A、B，使得∠APB=60°，則稱P為⊙C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．已知點(diǎn)D（，），E（0，-2），F(xiàn)（2，0）． （1）當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)，

32、 ①在點(diǎn)D、E、F中，⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是 D，E ． ②過點(diǎn)F作直線l交y軸正半軸于點(diǎn)G，使∠GFO=30°，若直線l上的點(diǎn)P（m，n）是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求m的取值范圍； （2）若線段EF上的所有點(diǎn)都是某個圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求這個圓的半徑r的取值范圍． 【解析】解：（1）①如圖1所示，過點(diǎn)E作⊙O的切線設(shè)切點(diǎn)為R， ∵⊙O的半徑為1，∴RO=1， ∵EO=2， ∴∠OER=30°， 根據(jù)切線長定理得出⊙O的左側(cè)還有一個切點(diǎn)，使得組成的角等于30°， ∴E點(diǎn)是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)， ∵D（，），E（0，-2），F(xiàn)（2，0）， ∴OF＞EO，

33、DO＜EO， ∴D點(diǎn)一定是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，而在⊙O上不可能找到兩點(diǎn)使得組成的角度等于60°， 故在點(diǎn)D、E、F中，⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是D，E； 故答案為：D，E； ②由題意可知，若P要剛好是⊙C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)， 需要點(diǎn)P到⊙C的兩條切線PA和PB之間所夾的角為60°， 由圖2可知∠APB=60°，則∠CPB=30°， 連接BC，則PC==2BC=2r， ∴若P點(diǎn)為⊙C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則需點(diǎn)P到圓心的距離d滿足0≤d≤2r； 由上述證明可知，考慮臨界點(diǎn)位置的P點(diǎn)， 如圖3，點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離OP=2×1=2， 過點(diǎn)O作l軸的垂線OH，垂

34、足為H，tan∠OGF==， ∴∠OGF=60°， ∴OH=OGsin60°=； sin∠OPH=， ∴∠OPH=60°， 可得點(diǎn)P1與點(diǎn)G重合， 過點(diǎn)P2作P2M⊥x軸于點(diǎn)M， 可得∠P2OM=30°， ∴OM=OP2cos30°=， 從而若點(diǎn)P為⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則P點(diǎn)必在線段P1P2上， ∴0≤m≤； （2）若線段EF上的所有點(diǎn)都是某個圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，欲使這個圓的半徑最小，則這個圓的圓心應(yīng)在線段EF的中點(diǎn)； 考慮臨界情況，如圖4， 即恰好E、F點(diǎn)為⊙K的關(guān)聯(lián)時(shí)，則KF=2KN=EF=2， 此時(shí)，r=1， 故若線段EF上的所有點(diǎn)都是某個圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，這個圓的半徑r的取值范圍為r≥1． 初中數(shù)學(xué)中考備課必備