《中考（數(shù)學(xué)）分類二 與切線有關(guān)的證明與計算（含答案）-歷年真題?？?、重難點(diǎn)題型講練》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《中考（數(shù)學(xué)）分類二 與切線有關(guān)的證明與計算（含答案）-歷年真題常考、重難點(diǎn)題型講練（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、數(shù)學(xué)專題 精心整理 類型二與切線有關(guān)的證明與計算 【典例1】如圖，AB是半圓O的直徑，C，D是半圓O上不同于A，B的兩點(diǎn)，AD＝BC，AC與BD相交于點(diǎn)F．BE是半圓O所在圓的切線，與AC的延長線相交于點(diǎn)E． （1）求證：△CBA≌△DAB； （2）若BE＝BF，求證：AC平分∠DAB． 【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝∠ADB＝90°，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論； （2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠E＝∠BFE，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ABE＝90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和以及角平分線的定義即可得到結(jié)論． 【解答】（1）證明：∵AB是半圓O的直

2、徑， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°， 在Rt△CBA與Rt△DAB中，， ∴Rt△CBA≌Rt△DAB（HL）； （2）解：∵BE＝BF，由（1）知BC⊥EF， ∴∠E＝∠BFE， ∵BE是半圓O所在圓的切線， ∴∠ABE＝90°， ∴∠E+∠BAE＝90°， 由（1）知∠D＝90°， ∴∠DAF+∠AFD＝90°， ∵∠AFD＝∠BFE， ∴∠AFD＝∠E， ∴∠DAF＝90°﹣∠AFD，∠BAF＝90°﹣∠E， ∴∠DAF＝∠BAF， ∴AC平分∠DAB． 【點(diǎn)評】本題考查了切線的性質(zhì)，全

3、等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵． 【典例2】如圖，為的直徑，為延長線上一點(diǎn)，是的切線，為切點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)． （1）求證：； （2）若，，求的長． 【答案】（1）詳見解析；（2）2 【解析】 【分析】 （1）連接OD，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB＝90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AOF＝∠B，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠CDO＝90°，等量代換即可得到結(jié)論； （2）根據(jù)三角形中位線定理得到OE＝BD＝×8＝4，設(shè)OD＝x，OC＝3x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論． 【詳解】 解：（1）連接OD， ∵AB為⊙O的直

4、徑， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BD， ∵OF⊥AD， ∴OF∥BD， ∴∠AOF＝∠B， ∵CD是⊙O的切線，D為切點(diǎn)， ∴∠CDO＝90°， ∴∠CDA＋∠ADO＝∠ADO＋∠BDO＝90°， ∴∠CDA＝∠BDO， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠B， ∴∠AOF＝∠ADC； （2）∵OF∥BD，AO＝OB， ∴AE＝DE， ∴OE＝BD＝×8＝4， ∵sinC＝＝， ∴設(shè)OD＝x，OC＝3x， ∴OB＝x， ∴CB＝4x， ∵OF∥BD， ∴△COF∽△CBD， ∴， ∴， ∴OF＝6， ∴EF

5、＝OF?OE＝6?4＝2． 【點(diǎn)睛】 本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，平行線的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵． 【典例3】如圖，與相切于點(diǎn)，交于點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)，是上不與重合的點(diǎn)，． （1）求的大??； （2）若的半徑為3，點(diǎn)在的延長線上，且，求證：與相切． 【答案】（1）60°；（2）詳見解析 【解析】 【分析】 (1)連接OB，在Rt△AOB中由求出∠A=30°，進(jìn)而求出∠AOB=60°，∠BOD=120°，再由同弧所對的圓周角等于圓心角的一半可以求出∠BED的值； (2)連接OF，

6、在Rt△OBF中，由可以求出∠BOF=60°，進(jìn)而得到∠FOD=60°，再證明△FOB≌△FOD，得到∠ODF=∠OBF=90°． 【詳解】 解：(1)連接， ∵與相切于點(diǎn)， ∴， ∵，∴， ∴，則． 由同弧所對的圓周角等于圓心角的一半可知： ． 故答案為：． (2)連接， 由(1)得，， ∵，，∴， ∴，∴． 在與中， ∴， ∴． 又點(diǎn)在上，故與相切． 【點(diǎn)睛】 本題考查圓的有關(guān)性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系、特殊角的三角函數(shù)值、解直角三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)是解決此類題的關(guān)鍵． 【典例4】如圖，A

7、B為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，AD與過點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為D.連接BC并延長，交AD的延長線于點(diǎn)E． （1）求證：AE=AB； （2）若AB=10，BC=6，求CD的長． 【答案】（1）見解析；（2）． 【解析】 【分析】 (1)連接OC,由同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出AD//OC,可得∠OCB＝∠E,即可推出∠ABE＝∠E,AE=AB． (2)連接AC,由勾股定理求出AC,由△EDC∽△ECA得出相似比,求出CD即可． 【詳解】 （1）證明：連接OC ∵CD與⊙O相切于C點(diǎn) ∴OC⊥CD 又∵CD⊥AE ∴OC//AE ∴∠OCB＝∠E ∵OC=OB ∴∠A

8、BE＝∠OCB ∴∠ABE＝∠E ∴AE=AB （2）連接AC ∵AB為⊙O的直徑 ∴∠ACB＝90° ∴ ∵AB=AE，AC⊥BE ∴EC=BC=6 ∵∠DEC＝∠CEA, ∠EDC＝∠ECA ∴△EDC∽△ECA ∴ ∴． 【點(diǎn)睛】 本題考查圓與三角形的綜合性質(zhì)及相似的證明和性質(zhì),關(guān)鍵在于合理作出輔助線將已知條件轉(zhuǎn)換求解． 【典例5】如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上的兩個點(diǎn)，＝＝，連接AD，過點(diǎn)D作DE⊥AC交AC的延長線于點(diǎn)E． （1）求證：DE是⊙O的切線． （2）若直徑AB＝6，求AD的長． 【分析】（1）連接OD，根據(jù)已知條件

9、得到∠BOD＝180°＝60°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到結(jié)論； （2）連接BD，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到結(jié)論． 【解答】（1）證明：連接OD， ∵＝＝， ∴∠BOD＝180°＝60°， ∵＝， ∴∠EAD＝∠DAB＝BOD＝30°， ∵OA＝OD， ∴∠ADO＝∠DAB＝30°， ∵DE⊥AC， ∴∠E＝90°， ∴∠EAD+∠EDA＝90°， ∴∠EDA＝

10、60°， ∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°， ∴OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切線； （2）解：連接BD， ∵AB為⊙O的直徑， ∴∠ADB＝90°， ∵∠DAB＝30°，AB＝6， ∴BD＝AB＝3， ∴AD＝＝3． 【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵． 【典例6】如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在BC上，BD＝DC，過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，⊙O經(jīng)過A，B，D三點(diǎn)． (1)求證：AB是⊙O的直徑； (2)判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并加以證明； (3)若

11、⊙O的半徑為3，∠BAC＝60°，求DE的長． 【分析】：(1)連接AD，證AD⊥BC可得；(2)連接OD，利用中位線定理得到OD與AC平行，可證∠ODE為直角，由OD為半徑，可證DE與圓O相切；(3)連接BF，先證三角形ABC為等邊三角形，再求出BF的長，由DE為三角形CBF中位線，即可求出DE的長． 【答案】：(1)連接AD，∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴AB為圓O的直徑 (2)DE與圓O相切，證明：連接OD，∵O，D分別為AB，BC的中點(diǎn)，∴OD為△ABC的中位線，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∵OD為圓的半徑，∴

12、DE與圓O相切 (3)∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC＝BC＝6，連接BF，∵AB為圓O的直徑，∴∠AFB＝∠DEC＝90°，∴AF＝CF＝3，DE∥BF，∵D為BC的中點(diǎn)，∴E為CF的中點(diǎn)，即DE為△BCF中位線，在Rt△ABF中，AB＝6，AF＝3，根據(jù)勾股定理得BF＝＝3，則DE＝BF＝ 【典例7】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BD為⊙O的直徑，BD與AC相交于點(diǎn)H，AC的延長線與過點(diǎn)B的直線相交于點(diǎn)E，且∠A＝∠EBC. (1)求證：BE是⊙O的切線； (2)已知CG∥EB，且CG與BD，BA分別相交于點(diǎn)F，G，若BG

13、3;BA＝48，F(xiàn)G＝，DF＝2BF，求AH的值． 【分析】：(1)證∠EBD＝90°即可；(2)由△ABC∽△CBG得＝，可求出BC，再由△BFC∽△BCD得BC2＝BF·BD，可求出BF，再求出CF，CG，GB，通過計算發(fā)現(xiàn)CG＝AG，可證CH＝CB，即可求出AC. 【答案】：(1)連接CD，∵BD是直徑，∴∠BCD＝90°，即∠D＋∠CBD＝90°，∵∠A＝∠D，∠A＝∠EBC，∴∠CBD＋∠EBC＝90°，∴BE⊥BD，∴BE是⊙O切線 (2)∵CG∥EB，∴∠BCG＝∠EBC，∴∠A＝∠BCG，又∵∠CBG＝∠ABC，∴△A

14、BC∽△CBG，∴＝，即BC2＝BG·BA＝48，∴BC＝4，∵CG∥EB，∴CF⊥BD，∴△BFC∽△BCD，∴BC2＝BF·BD，∵DF＝2BF，∴BF＝4，在Rt△BCF中，CF＝＝4，∴CG＝CF＋FG＝5，在Rt△BFG中，BG＝＝3，∵BG·BA＝48，∴BA＝8，∴AG＝5，∴CG＝AG，∴∠A＝∠ACG＝∠BCG，∠CFH＝∠CFB＝90°，∴∠CHF＝∠CBF，∴CH＝CB＝4，∵△ABC∽△CBG，∴＝，∴AC＝＝，∴AH＝AC－CH＝ 【典例8】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC為⊙O的直徑，過點(diǎn)C作AC的垂線交AD的延長

15、線于點(diǎn)E，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，連接DB，DC，DF. (1)求∠CDE的度數(shù)； (2)求證：DF是⊙O的切線； (3)若AC＝2DE，求tan∠ABD的值． 【答案】：(1)∵對角線AC為⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90° (2)連接DO，∵∠EDC＝90°，F(xiàn)是EC的中點(diǎn)，∴DF＝FC，∴∠FDC＝∠FCD，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠OCF＝90°，∴∠ODF＝∠ODC＋∠FDC＝∠OCD＋∠DCF＝∠OCF＝90°，∴DF是⊙O的切線 (3)∵∠E＋∠DCE＝90°，∠DCA＋∠DCE＝

16、90°，∴∠DCA＝∠E，又∵∠ADC＝∠CDE＝90°，∴△CDE∽△ADC，∴＝，∴DC2＝AD·DE.設(shè)DE＝x，則AC＝2x，AC2－AD2＝DC2＝AD·DE，即(2x)2－AD2＝AD·x，整理得AD2＋AD·x－20x2＝0，解得AD＝4x或AD＝－5x(舍去)，則DC＝＝2x，故tan∠ABD＝tan∠ACD＝＝＝2 【典例9】如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)O在對角線AC上，以O(shè)A的長為半徑的圓O與AD，AC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且∠ACB＝∠DCE. (1)判斷直線CE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論； (2)若tan

17、∠ACB＝，BC＝2，求⊙O的半徑． 【答案】：(1)直線CE與⊙O相切. 理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∴∠ACB＝∠DAC，又∵∠ACB＝∠DCE，∴∠DAC＝∠DCE，連接OE，有OA＝OE，則∠DAC＝∠AEO＝∠DCE.∵∠DCE＋∠DEC＝90°，∴∠AEO＋∠DEC＝90°，∴∠OEC＝90°，即OE⊥CE.又OE是⊙O的半徑，∴直線CE與⊙O相切　(2)∵tan∠ACB＝＝，BC＝2，∴AB＝BC·tan∠ACB＝，∴AC＝.又∵∠ACB＝∠DCE，∴tan∠DCE＝tan∠ACB＝，∴DE＝DC·tan

18、∠DCE＝1.在Rt△CDE中，CE＝＝，設(shè)⊙O的半徑為r，則在Rt△COE中，CO2＝OE2＋CE2，即(－r)2＝r2＋3，解得r＝　　　　　　　　　　　　　　　　 【典例10】如圖，已知AB為⊙O的直徑，AC為⊙O的切線，OC交⊙O于點(diǎn)D，BD的延長線交AC于點(diǎn)E. (1)求證：∠1＝∠CAD； (2)若AE＝EC＝2，求⊙O的半徑． 【答案】：(1)∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠BDO＝90°，∵AC為⊙O的切線，∴OA⊥AC，∴∠OAD＋∠CAD＝90°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠1＝∠BDO，∴∠1

19、＝∠CAD (2)∵∠1＝∠CAD，∠C＝∠C，∴△CAD∽△CDE，∴CD∶CA＝CE∶CD，∴CD2＝CA·CE，∵AE＝EC＝2，∴AC＝AE＋EC＝4，∴CD＝2，設(shè)⊙O的半徑為x，則OA＝OD＝x，在Rt△AOC中，OA2＋AC2＝OC2，∴x2＋42＝(2＋x)2，解得x＝，∴⊙O的半徑為 【典例11】如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，且BD＝BC，延長AD到E，且有∠EBD＝∠CAB. (1)求證：BE是⊙O的切線； (2)若BC＝，AC＝5，求圓的直徑AD及切線BE的長． 【答案】：(1)連接OB，∵BD＝BC，∴∠CAB＝∠BAD

20、，∵∠EBD＝∠CAB，∴∠BAD＝∠EBD，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ABD＝90°，OA＝OB，∴∠BAD＝∠ABO，∴∠EBD＝∠ABO，∴∠OBE＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABO＋∠OBD＝∠ABD＝90°，∵點(diǎn)B在⊙O上，∴BE是⊙O的切線 (2)設(shè)圓的半徑為R，連接CD，∵AD為⊙O的直徑，∴∠ACD＝90°，∵BC＝BD，∴OB⊥CD，∴OB∥AC，∵OA＝OD，∴OF＝AC＝，∵四邊形ACBD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠BDE＝∠ACB，∵∠DBE＝∠CAB，∴△DBE∽△CAB，∴＝，∴＝，∴DE＝，∵∠OBE＝∠OFD＝90°，∴DF∥BE，∴

21、＝，∴＝，∵R＞0，∴R＝3，∴AB＝＝，∵＝，∴BE＝ 【典例12】如圖，CD是⊙O的直徑，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為G，OG∶OC＝3∶5，AB＝8. (1)求⊙O的半徑； (2)點(diǎn)E為圓上一點(diǎn)，∠ECD＝15°，將沿弦CE翻折，交CD于點(diǎn)F，求圖中陰影部分的面積． 【答案】：(1)連接AO，∵CD為⊙O的直徑，AB⊥CD，AB＝8，∴AG＝4，∵OG∶OC＝3∶5，∴設(shè)⊙O的半徑為5k，則OG＝3k，∴(3k)2＋42＝(5k)2，解得k＝1或k＝－1(舍去)，∴5k＝5，即⊙O的半徑是5 (2)將陰影部分沿CE翻折，點(diǎn)F的對應(yīng)點(diǎn)為M，∵∠ECD＝15

22、°，由對稱性可知，∠DCM＝30°，S陰影＝S弓形CBM，連接OM，則∠MOD＝60°，∴∠MOC＝120°，過點(diǎn)M作MN⊥CD于點(diǎn)N，∴MN＝MO·sin60°＝5×＝，∴S陰影＝S扇形OMC－S△OMC＝－×5×＝－，即圖中陰影部分的面積是－ 【典例13】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合)，DE的延長線交⊙O于點(diǎn)G，DF⊥DG，且交BC于點(diǎn)F. (1)求證：AE＝BF； (2)連接GB，E

23、F，求證：GB∥EF； (3)若AE＝1，EB＝2，求DG的長． 【答案】：(1)連接BD，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠A＝∠C＝45°，∵AB為圓O的直徑，∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC，∴AD＝DC＝BD＝AC，∠CBD＝∠C＝45°，∴∠A＝∠FBD，∵DF⊥DG，∴∠FDG＝90°，∴∠FDB＋∠BDG＝90°，又∵∠EDA＋∠BDG＝90°，∴∠EDA＝∠FDB，可證△AED≌△BFD(ASA)，∴AE＝BF (2)連接EF，BG，∵△AED≌△BFD，∴DE＝DF，∵∠EDF＝

24、90°，∴△EDF是等腰直角三角形，∴∠DEF＝45°，∵∠G＝∠A＝45°，∴∠G＝∠DEF，∴GB∥EF (3)∵AE＝BF，AE＝1，∴BF＝1，在Rt△EBF中，∠EBF＝90°，∴根據(jù)勾股定理得EF2＝EB2＋BF2，∵EB＝2，BF＝1，∴EF＝＝，∵△DEF為等腰直角三角形，∠EDF＝90°，∴cos∠DEF＝＝，∵EF＝，∴DE＝×＝，∵∠G＝∠A，∠GEB＝∠AED，∴△GEB∽△AED，∴＝，即GE·ED＝AE·EB，∴·GE＝2，∴GE＝，則GD＝GE＋ED＝ 初中數(shù)學(xué)中考備課必備