《中考（數(shù)學）分類一 圓的基本性質(zhì)證明與計算（含答案）-歷年真題常考、重難點題型講練》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《中考（數(shù)學）分類一 圓的基本性質(zhì)證明與計算（含答案）-歷年真題常考、重難點題型講練（17頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、數(shù)學專題 精心整理 類型一圓的基本性質(zhì)證明與計算 【典例1】如圖．點A，B，C，D，E均在⊙O上．∠BAC＝15，∠CED＝30，則∠BOD的度數(shù)為（　?。? A．45 B．60 C．75 D．90 【答案】D 【解析】 【分析】 首先連接BE,由圓周角定理即可得∠BEC的度數(shù)，繼而求得∠BED的度數(shù),然后由圓周角定理,求得∠BOD的度數(shù). 【詳解】 解：連接BE, ∵∠BEC＝∠BAC＝15,∠CED＝30, ∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝45, ∴∠BOD＝2∠BED＝90. 故選:D. 【點睛】 本題主要考查了圓周角定理的應用,做題的時候分清楚每一個

2、角是解此類題的關鍵. 【典例2】如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC=70，則∠ADC的度數(shù)是（　?。? A．70 B．110 C．130 D．140 【答案】B 【解析】 【分析】 根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補計算即可． 【詳解】 ∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC=70， ∴∠ADC=180﹣∠ABC=180﹣70=110， 故選：B． 【點睛】 本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關鍵． 【典例3】如圖，已知BC是⊙O的直徑，半徑OA⊥BC，點D在劣弧AC上（不與點A，點C重合），BD與OA交于點E．設∠AED＝α，∠AOD

3、＝β，則（　　） A．3α+β＝180 B．2α+β＝180 C．3α﹣β＝90 D．2α﹣β＝90 【答案】D 【解析】 【分析】 根據(jù)直角三角形兩銳角互余性質(zhì)，用α表示∠CBD，進而由圓心角與圓周角關系，用α表示∠COD，最后由角的和差關系得結(jié)果． 【詳解】 解：∵OA⊥BC， ∴∠AOB＝∠AOC＝90， ∴∠DBC＝90﹣∠BEO ＝90﹣∠AED ＝90﹣α， ∴∠COD＝2∠DBC ＝180﹣2α， ∵∠AOD+∠COD＝90， ∴β+180﹣2α＝90， ∴2α﹣β＝90， 故選：D． 【點睛】 本題考查了圓周角定理以及直角三角形的兩

4、個銳角互余的關系，熟練掌握圓周角定理是解決本題的關鍵． 【典例4】如圖，在中，，以點O為圓心，2為半徑的圓與交于點C，過點C作交于點D，點P是邊上的動點．當最小時，的長為（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】 【分析】 延長CO交于點E，連接EP，交AO于點P，則PC+PD的值最小，利用平行線份線段成比例分別求出CD，PO的長即可． 【詳解】 延長CO交于點E，連接ED，交AO于點P，如圖， ∵CD⊥OB， ∴∠DCB=90, 又， ∴∠DCB=∠AOB， ∴CD//AO ∴ ∵OC=2，OB=4， ∴BC=2, ∴，解得，CD

5、=； ∵CD//AO， ∴，即，解得，PO= 故選：B． 【點睛】 此題主要考查了軸對稱---最短距離問題，同時考查了平行線分線段成比例，掌握軸對稱性質(zhì)和平行線分線段成比例定理是解題的關鍵． 【典例5】如圖，是的內(nèi)接三角形，，是直徑，，則的長為（） A．4 B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 連接BO，根據(jù)圓周角定理可得，再由圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)可得OB垂直平分AC，再根據(jù)正弦的定義求解即可． 【詳解】 如圖，連接OB， ∵是的內(nèi)接三角形， ∴OB垂直平分AC， ∴，， 又∵， ∴， ∴, 又∵AD=8， ∴AO=4， ∴，

6、 解得：， ∴． 故答案選B． 【點睛】 本題主要考查了圓的垂徑定理的應用，根據(jù)圓周角定理求角度是解題的關鍵． 【典例6】如圖，是的直徑，弦，垂足為點．連接，．如果，，那么圖中陰影部分的面積是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根據(jù)是的直徑，弦，由垂徑定理得，再根據(jù)證得，即可證明，即可得出． 【詳解】 解：是的直徑，弦， ，． 又 在和中， ， 故選：B 【點睛】 本題考查了垂徑定理，圓周角定理，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定，扇形的面積，等積變換，解此題的關鍵是證出，從而將陰影部分

7、的面積轉(zhuǎn)化為扇形OBC的面積，題目比較典型，難度適中． 【典例7】如圖,在四邊形ABCD中，以AB為直徑的半圓O經(jīng)過點C,D．AC與BD相交于點E，CD2=CECA,分別延長AB,DC相交于點P，PB=BO，CD=2．則BO的長是_________． 【答案】4 【解析】 【分析】 連結(jié)OC，設⊙O的半徑為r，由DC2=CE?CA和∠ACD=∠DCE，可判斷△CAD∽△CDE，得到∠CAD=∠CDE，再根據(jù)圓周角定理得∠CAD=∠CBD，所以∠CDB=∠CBD，利用等腰三角形的判定得BC=DC，證明OC∥AD，利用平行線分線段成比例定理得到，則，然后證明，利用相似比得到，再利用比

8、例的性質(zhì)可計算出r的值即可． 【詳解】 解：連結(jié)，如圖，設的半徑為， ， ， 而， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，即， ， 即OB=4. 故答案為：4. 【點睛】 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：三角形相似的判定一直是中考考查的熱點之一，在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對圖形進行分解、組合；或作輔助線構造相似三角形，判定三角形相似的方法有時可單獨使用，有時需要綜合運用，無論是單獨使用還是綜

9、合運用，都要具備應有的條件方可．也考查了圓周角定理． 【典例8】如圖，⊙O是正方形ABCD的內(nèi)切圓，切點分別為E、F、G、H，ED與⊙O相交于點M，則sin∠MFG的值為　?。? 【分析】根據(jù)同弧所對的圓周角相等，可以把求三角函數(shù)的問題，轉(zhuǎn)化為直角三角形的邊的比的問題． 【解答】解：∵⊙O是正方形ABCD的內(nèi)切圓， ∴AE＝AB，EG＝BC； 根據(jù)圓周角的性質(zhì)可得：∠MFG＝∠MEG． ∵sin∠MFG＝sin∠MEG＝＝， ∴sin∠MFG＝． 故答案為：． 【點評】本題考查圓周角的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的概念：在直角三角形中，正弦等于對邊比斜邊；余弦等于鄰邊比斜邊；正切

10、等于對邊比鄰邊． 【典例9】如圖，由邊長為1的小正方形構成的網(wǎng)格中，點A，B，C都在格點上，以AB為直徑的圓經(jīng)過點C、D，則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 首先根據(jù)圓周角定理可知，∠ABC＝，在Rt△ACB中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出∠ABC的正弦值． 【詳解】 ∵和∠ABC所對的弧長都是， ∴根據(jù)圓周角定理知，∠ABC＝， ∴在Rt△ACB中，AB= 根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義知，sin∠ABC＝， ∴=， 故選A． 【點睛】 本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義和圓周角的知識點，解答本題的關鍵是利用圓周角定理把求的正弦值

11、轉(zhuǎn)化成求∠ABC的正弦值，本題是一道比較不錯的習題． 【典例10】如圖，CD是⊙O的直徑，AB是弦(不是直徑)，AB⊥CD于點E，則下列結(jié)論正確的是( ) A．AE>BE B.＝ C．∠D＝∠AEC D．△ADE∽△CBE 【答案】：D 命題點2　圓周角定理 【典例11】如圖，點O為優(yōu)弧所在圓的圓心，∠AOC＝108，點D在AB的延長線上，BD＝BC，則∠D______． 【答案】：27 重難點1　垂徑定理及其應用 【典例12】已知AB是半徑為5的⊙O的直徑，E是AB上一點，且BE＝2. (1)如圖1，過點E作直線CD⊥AB，交⊙O于C，D兩點，則CD＝

12、_______； 圖1 　　 圖2 　　 圖3 　　圖4 探究：如圖2，連接AD，過點O作OF⊥AD于點F，則OF＝_____； (2)過點E作直線CD交⊙O于C，D兩點． ①若∠AED＝30，如圖3，則CD＝__________； ②若∠AED＝45，如圖4，則CD＝___________． 【答案】：（1）8 , （2） 【思路點撥】　由于CD是⊙O的弦，因此利用圓心到弦的距離(有時需先作弦心距)，再利用垂徑定理，結(jié)合勾股定理，求出弦的一半，再求弦． 【變式訓練1】如圖，點A，B，C，D都在半徑為2的⊙O上

13、．若OA⊥BC，∠CDA＝30，則弦BC的長為( ) A．4 B．2 C. D．2 【答案】：D 【變式訓練2】　【分類討論思想】已知⊙O的半徑為10 cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，AB＝16 cm，CD＝12 cm，則弦AB和CD之間的距離是__________________ 【答案】：2cm或14cm 1．垂徑定理兩個條件是過圓心、垂直于弦的直線，三個結(jié)論是平分弦，平分弦所對的優(yōu)弧與劣弧． 2．圓中有關弦的證明與計算，通過作弦心距，利用垂徑定理，可把與圓相關的三個量，即圓的半徑，圓

14、中一條弦的一半，弦心距構成一個直角三角形，從而利用勾股定理，實現(xiàn)求解． 3．事實上，過點E任作一條弦，只要確定弦與AB的交角，就可以利用垂徑定理和解直角三角形求得這條弦長． 重難點2　圓周角定理及其推論 【典例14】已知⊙O是△ABC的外接圓，且半徑為4. (1)如圖1，若∠A＝30，求BC的長； (2)如圖2，若∠A＝45： ①求BC的長； ②若點C是的中點，求AB的長； (3)如圖3，若∠A＝135，求BC的長． 圖1 圖2 　　圖3 【答案】（1）4

15、（2）4.,8（3）4. 【點撥】　連接OB，OC，利用同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍，構建可解的等腰三角形求解． 【解析】　解：(1)連接OB，OC. ∵∠BOC＝2∠A＝60，OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形． ∴BC＝OB＝4. (2)①連接OB，OC. ∵∠BOC＝2∠A＝90，OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形． ∵OB＝OC＝4，∴BC＝4. ②∵點C是的中點，∴∠ABC＝∠A＝45. ∴∠ACB＝90.∴AB是⊙O的直徑．∴AB＝8. (3)在優(yōu)弧上任取一點D，連接BD，CD，連接BO，CO. ∵∠A＝135，∴∠D＝45.∴∠BOC＝2∠D＝90.

16、 ∵OB＝OC＝4，∴BC＝4. 【變式訓練3】　如圖，BC是⊙O的直徑，A是⊙O上的一點，∠OAC＝32，則∠B的度數(shù)是( ) A．58 B．60 C．64 D．68 【答案】：A 【變式訓練4】　將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使點C在半圓上．點A，B的讀數(shù)分別為88，30，則∠ACB的大小為( ) A．15 B．28 C．29 D．34 　　　　　 【答案】C 1．在圓中由已知角

17、求未知角，同(等)弧所對的圓心角和圓周角的關系是一個重要途徑，其關鍵是找到同一條弧． 2．弦的求解可以通過連接圓心與弦的兩個端點，構建等腰三角形來解決． 3．一條弦所對的兩種圓周角互補，即圓內(nèi)接四邊形的對角互補． 在半徑已知的圓內(nèi)接三角形中，若已知三角形一內(nèi)角，可以求得此角所對的邊． 注意同弧所對的圓心角是圓周角的2倍，避免把數(shù)量關系弄顛倒． 重難點3　圓內(nèi)接四邊形 【典例14】如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形．延長AB與DC相交于點G，AO⊥CD，垂足為E，連接BD，∠GBC＝50，則∠DBC的度數(shù)為( ) A．50 B．60

18、 C．80 D．90 【答案】C 【思路點撥】　延長AE交⊙O于點M，由垂徑定理可得＝2，所以∠CBD＝2∠EAD.由圓內(nèi)接四邊形的對角互補，可推得∠ADE＝∠GBC，而∠ADE與∠EAD互余，由此得解． 【變式訓練5】如圖所示，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠BCD＝120，則∠BOD的大小是( ) A．80 B．120 C．100 D．90 【答案】B 【變式訓練6】　如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為BC延長線上一點．若∠A＝n，則∠DCE＝_

19、___________ 【答案】n 1．找圓內(nèi)角(圓周角，圓心角)和圓外角(頂角在圓外，兩邊也在圓外或頂點在圓上，一邊在圓內(nèi)，另一邊在圓外)的數(shù)量關系時，常常會用到圓內(nèi)接四邊形的對角互補和三角形外角的性質(zhì)． 2．在同圓或等圓中，如果一條弧等于另一條弧的兩倍，則較大弧所對的圓周角是較小弧所對圓周角的兩倍．Ｋ 能力提升 1．如圖，在⊙O中，如果＝2，那么( ) A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＜2AC D．AB＞2AC 【答案】C 2．如圖，在半徑為4的⊙O中，弦AB∥OC，∠BOC＝

20、30，則AB的長為( ) A．2 B．2 C．4 D．4 【答案】D 　　 3．如圖，在平面直角坐標系中，⊙O′經(jīng)過原點O，并且分別與x軸、y軸交于點B，C，分別作O′E⊥OC于點E，O′D⊥OB于點D.若OB＝8，OC＝6，則⊙O′的半徑為( ) A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 4．如圖，在⊙O中，弦BC與半徑OA相交于點D，連接AB，OC.若∠A＝60，∠ADC＝85，則∠C的度數(shù)是( )

21、 A．25 B．27.5 C．30 D．35 【答案】D 5．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65，作CD∥AB，并與⊙O相交于點D，連接BD，則∠DBC的大小為( ) A．15 B．35 C．25 D．45 【答案】A 6．如圖，分別延長圓內(nèi)接四邊形ABDE的兩組對邊，延長線相交于點F，C.若∠F＝27，∠A＝53，則∠C的度數(shù)

22、為( ) A．30 B．43 C．47 D．53 【答案】C 7． 如圖，小華為了求出一個圓盤的半徑，他用所學的知識，將一寬度為2 cm的刻度尺的一邊與圓盤相切，另一邊與圓盤邊緣兩個交點處的讀數(shù)分別是“4”和“16”(單位：cm)，請你幫小華算出圓盤的半徑是________cm. 【答案】10cm 8．如圖，∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于點D，∠ABC的平分線交AD于點E. (1)求證：DE＝DB； (2)若∠BAC＝90，BD＝4，求△ABC外接圓的半徑． 【答案】：(1)證明：∵

23、AD平分∠BAC，BE平分∠ABC， ∴∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE. ∴＝. ∴∠DBC＝∠BAE. ∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，∠DEB＝∠ABE＋∠BAE, ∴∠DBE＝∠DEB. ∴DE＝DB. (2)連接CD. ∵＝，∴CD＝BD＝4. ∵∠BAC＝90，∴BC是直徑． ∴∠BDC＝90. ∴BC＝＝4. ∴△ABC外接圓的半徑為2. 9．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90，AB＝5，BC＝10，連接AC，BD，以BD為直徑的圓交AC于點E.若DE＝3，則AD的長為( ) A．5 B．4

24、 C．3 D．2 提示：過點D作DF⊥AC于點F，利用△ADF∽△CAB，△DEF∽△DBA可求解． 【答案】D 10．如圖，AB是半圓的直徑，AC是一條弦，D是的中點，DE⊥AB于點E，且DE交AC于點F，DB交AC于點G.若＝，則＝_____________． 【答案】 11．如圖1是小明制作的一副弓箭，點A，D分別是弓臂BAC與弓弦BC的中點，弓弦BC＝60 cm.沿AD方向拉動弓弦的過程中，假設弓臂BAC始終保持圓弧形，弓弦不伸長．如圖2，當弓箭從自然狀態(tài)的點D拉到點D1時，有AD1＝30 cm，∠B1D1C1＝120. (

25、1)圖2中，弓臂兩端B1，C1的距離為30cm； (2)如圖3，將弓箭繼續(xù)拉到點D2，使弓臂B2AC2為半圓，則D1D2的長為(10－10)cm. 【答案】, 12．如圖所示，AB為⊙O的直徑，CD為弦，且CD⊥AB，垂足為H. (1)如果⊙O的半徑為4，CD＝4，求∠BAC的度數(shù)； (2)若點E為的中點，連接OE，CE.求證：CE平分∠OCD； (3)在(1)的條件下，圓周上到直線AC的距離為3的點有多少個？并說明理由． 【答案】：(1)∵AB為⊙O的直徑，CD⊥AB，∴CH＝CD＝2. 在Rt△COH中，sin∠COH＝＝，∴∠COH＝60. ∴∠BAC＝∠COH＝30. (2)證明：∵點E是的中點，∴OE⊥AB. 又∵CD⊥AB，∴OE∥CD.∴∠ECD＝∠OEC. 又∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE. ∴∠OCE＝∠DCE，即CE平分∠OCD. (3)圓周上到直線AC的距離為3的點有2個． 因為上的點到直線AC的最大距離為2，上的點到直線AC的最大距離為6，2＜3＜6，根據(jù)圓的軸對稱性，到直線AC的距離為3的點有2個． 初中數(shù)學中考備課必備