《2014年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析 2.3函數(shù)的奇偶性與周期性》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2014年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析 2.3函數(shù)的奇偶性與周期性（23頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、1 / 23 20142014 年高考一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析：年高考一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析：2.32.3 函數(shù)的奇函數(shù)的奇偶性與周期性偶性與周期性一、函數(shù)的奇偶性一、函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有 f(-x)=f(x)，那么函數(shù) f(x)是偶函數(shù)。 關(guān)于 y 軸對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有 f(-x)=-f(x)，那么函數(shù) f(x)是奇函數(shù)。關(guān)于原點(diǎn)對稱注：1、奇偶函數(shù)的定義域的特點(diǎn)：由于定義中對任意一個(gè) x 都有一個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對稱的-x 在定義域中，即說明奇偶函數(shù)的定義域必關(guān)于原點(diǎn)對稱；2、存在既是奇函數(shù)，又是

2、偶函數(shù)的函數(shù)，它們的特點(diǎn)是定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且解析式化簡后等于零。二、奇偶函數(shù)的性質(zhì)二、奇偶函數(shù)的性質(zhì)1、奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反（填 “相同” 、 “ 相反” ） 。2、在公共定義域內(nèi)，亦即：（1）兩個(gè)奇函數(shù)的和函數(shù)是奇函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的積函數(shù)是偶函數(shù)；2 / 23（2）兩個(gè)偶函數(shù)的和函數(shù)、積函數(shù)是偶函數(shù)；（3）一個(gè)奇函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)的積函數(shù)是奇函數(shù)。注：以上結(jié)論是在兩函數(shù)的公共定義域內(nèi)才成立；并且只能在選擇題、填空題中直接應(yīng)用，解答題需先證明再利用。3、若是奇函數(shù) f(x)且在 x=0 處有定義，則 f(0)=0.4、對稱性：奇（

3、偶）函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件；5、整體性：奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對定義域內(nèi)任意一個(gè)都必須成立；x 6、可逆性： 是偶函數(shù)；)()(xfxf)(xf奇函數(shù)；)()(xfxf)(xf7、等價(jià)性：)()(xfxf0)()(xfxf)()(xfxf0)()(xfxf8、奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱；y9、可分性：根據(jù)函數(shù)奇偶性可將函數(shù)分類為四類：奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)。三、周期性三、周期性1、周期函數(shù)：對于函數(shù)y=f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng) x 取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x+T)=f(x),那么就

4、稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù)，T為這個(gè)函數(shù)的周期。2、最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫做它的最小正周期?！緹狳c(diǎn)難點(diǎn)全析熱點(diǎn)難點(diǎn)全析】一、函數(shù)奇偶性的判定一、函數(shù)奇偶性的判定1 1、相關(guān)鏈接、相關(guān)鏈接利用定義判斷函數(shù)奇偶性的一般步驟，即：（1）首先確定函數(shù)的定義域，看它是否關(guān)于原點(diǎn)對稱。若不對稱，則既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)。（2）若定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，再判定 f(-x)與 f(x)之間的關(guān)系若 f(-x)=-f(x)（或 f(-x) +f(x)=0） ，則為奇函數(shù)；若 f(-x)=f(x)(或 f(-x) -f(x)=0)，則 f(x)為偶

5、函數(shù)；若 f(-x)=-f(x)且 f(-x)=f(x)，則 f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù);若 f(-x) f(x)且 f(-x)- f(x)，則 f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。圖象法：性質(zhì)法：一些重要類型的奇偶函數(shù)（1）函數(shù) f(x)=ax+a-x為偶函數(shù); 函數(shù) f(x)=ax-a-x為奇函數(shù)；（2）函數(shù) f(x)=( ax-a-x)/( ax+a-x)=( ax-1)/( ax+1)其中（a0 且 a1）為奇函數(shù)；（3）函數(shù) f(x)=loga()為奇函數(shù)（a0 且 a1）;11xx（4）函數(shù) f(x)= loga()為奇函數(shù)（a0 且 a1）21xx2 2、例題解析、例題解析例例

6、11討論下述函數(shù)的奇偶性：);111(1)()3(;)0)(1(1)0(0)0)(1(1)()2(;22116)() 1 (222xxogxfxxxnxxxxnxfxfxxx);0(|)()4(22aaaxxaxf常數(shù)解：解：（1）函數(shù)定義域?yàn)?R R， )(2211614161211161222116)(xfxfxxxxxxxxxxx，f(x)為偶函數(shù)；（另解）先化簡：14414116)(xxxxxf，顯然)(xf為偶函數(shù)；從這可以看出，化簡后再解決要容易得多。（2）須要分兩段討論：設(shè));()1(1111)1(1)(, 0, 0 xfxxnxxnxxnxfxx設(shè))()1(1111)1(1)(

7、, 0, 0 xfxxnxxnxxnxfxx當(dāng) x=0 時(shí) f(x)=0，也滿足 f(x)=f(x)；由、知，對 xR R 有 f(x) =f(x)， f(x)為奇函數(shù)；（3）10101222xxx，函數(shù)的定義域?yàn)?x，f(x)=log21=0(x=1) ，即 f(x)的圖象由兩個(gè)點(diǎn) （1，0）與（1，0）組成，這兩點(diǎn)既關(guān)于 y 軸對稱，又關(guān)于原點(diǎn)對稱，f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；（4）x2a2, 要分 a 0 與 a 0 時(shí)，), 0()0 ,(|aaaaxaxa函數(shù)的定義域?yàn)?xxaxfax22)(, 0|，當(dāng) a 0 時(shí)，f(x)為奇函數(shù)； ,2,2,2)(, 0|2122axaxa

8、xxaxfax稱的兩點(diǎn)取定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對 )(,0, 03353)2()2(xfaafaf時(shí)當(dāng) 既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)例例 22f（x）是定義在（，55，）上的奇函數(shù)，且f（x）在5，）上單調(diào)遞減，試判斷f（x）在（，5上的單調(diào)性，并用定義給予證明解析：解析：任取x1x25，則x1x25因f（x）在5，上單調(diào)遞減，所以f（x1）f（x2）f（x1）f（x2）f（x1）f（x2） ， 即f（x）在（，5上單調(diào)減函數(shù)二、分段函數(shù)的奇偶性二、分段函數(shù)的奇偶性1 1、分段函數(shù)奇偶性的判定步驟、分段函數(shù)奇偶性的判定步驟（1）分析定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；（2）對 x 的值進(jìn)行分段討論，尋求 f(X)

9、與 f(-X)在各段上的關(guān)系；（3） 綜合（2）在定義域內(nèi) f(X)與 f(-X)的關(guān)系，從而判斷 f(X)的奇偶性。注：奇偶性是函數(shù)的一個(gè)整體性質(zhì)，不能說函數(shù)在定義域的某一段上是奇函數(shù)或偶函數(shù)。2 2、例題解析、例題解析例例 11已知函數(shù)。試判斷的奇偶性224(0)( )4(0)xxxxf xxxxx( )f x分析：分析：確定定義域判斷每一段上與的關(guān)系判斷整個(gè)定義域上()fx( )f x與的關(guān)系結(jié)論。()fx( )f x解答：解答：由題設(shè)可知函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱。當(dāng)時(shí)，0 x 0 x 2222224( ),()()44(),( )().0,0,4( ),()()44(),( )().0

10、()( )( )xxf xxxxxxfxxxf xfxxxxxf xxxxxxfxxxf xfxfxf xf x 則當(dāng)則綜上所述，對于x都有成立，為偶函數(shù)。注：注：分段函數(shù)奇偶性的判斷，要注意定義域內(nèi) x 取值的任意性，應(yīng)分段討論，討論時(shí)可依據(jù) x 的范圍取相應(yīng)的解析式化簡，判斷 f(x)與 f(-x)的關(guān)系，得出結(jié)論，也可以利用圖象作判斷例例 22判斷函數(shù)的奇偶性解析：解析：顯然函數(shù) f(x)的定義域?yàn)椋?-，0)(0,+)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，當(dāng) x0，則 f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x)；當(dāng) x0 時(shí),-x0，則 f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x)；綜上可知：

11、對于定義域內(nèi)的任意 x，總有 f(-x)=-f(x)成立，函數(shù) f(x)為奇函數(shù)；三、抽象函數(shù)的奇偶性三、抽象函數(shù)的奇偶性1 1、相關(guān)鏈接、相關(guān)鏈接判斷（或證明）抽象函數(shù)的奇偶性的步驟（1）利用函數(shù)奇偶性的定義，找準(zhǔn)方向（想辦法出現(xiàn) f(x),f(-x)）;（2）巧妙賦值，合理、靈活變形配湊；（3）找出 f(X)與 f(-X)關(guān)系，得出結(jié)論。2 2、例題解析、例題解析例例 11已知函數(shù) f(x)對一切 x、yR，都有 f(x+y)=f(x)+f(y)，(1)判斷函數(shù) f(x)的奇偶性；(2)若 f(-3)=a，用 a 表示 f(12)分析：分析：判斷函數(shù)奇偶性的一般思路是利用定義，看 f(-x

12、)與 f(x)的關(guān)系，進(jìn)而得出函數(shù)的奇偶性；解決本題的關(guān)鍵是在 f(x+y)=f(x)+f(y)中如何出現(xiàn) f(-x)；用 a 表示f(12)實(shí)際上是如何用 f(-3)表示 f(12)，解決該問題的關(guān)鍵是尋找 f(12)與 f(-3)的關(guān)系解答：解答： 1( )()( )( ),0(0)2 (0),(0)0.,(0)( )(),()( ),( )f xRxyf xyf xf yxyfffyxff xfxfxf xf x 顯然的定義域是，關(guān)于原點(diǎn)對稱。又函數(shù)對一切、都有令，得再令得為奇函數(shù)。(2)( 3)( )(3)( 3).()( )( ),(12)(66)(6)(6)2 (6)3 (33)4

13、 (3)4 .faf xffaf xyf xf y xyRfffffffa 且為奇函數(shù)，又、，例例 22 設(shè)函數(shù))(xf在),(上滿足)2()2(xfxf，)7()7(xfxf，且在閉區(qū)間0，7上，只有0)3() 1 ( ff。（1）試判斷函數(shù))(xfy 的奇偶性；（2）試求方程0)(xf在閉區(qū)間2005,2005上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論。解析：解析：（1）由)2()2(xfxf，得函數(shù))(xfy 的對稱軸為2x )5() 1(ff而) 1() 1 (0)5(fff，即)(xf不是偶函數(shù)又 )(xf在0，7上只有0)3() 1 ( ff 0)0(f從而知函數(shù))(xfy 不是奇函數(shù)故函數(shù))(

14、xfy 是非奇非偶函數(shù)（2）)7()7()2()2(xfxfxfxf)14()4()14()()4()(xfxfxfxfxfxf)10()(xfxf從而知函數(shù))(xfy 的周期為 T=10又0) 1 ()3( ff 0)9()7()13()11(ffff故)(xf在0，10和0 ,10上均有 2 個(gè)根，從而可知函數(shù))(xfy 在0，2000上有400 個(gè)根，在2000，2005上有 2 個(gè)根，在0 ,2000上有 400 個(gè)根，在2000,2005上沒有根。 函數(shù))(xfy 在2005,2005上有 802 個(gè)根。注：注：抽象函數(shù)奇偶性的判斷，關(guān)鍵是要充分理解題意，靈活選取變量的值。四、四、函

15、數(shù)奇偶性應(yīng)用函數(shù)奇偶性應(yīng)用1 1、相關(guān)鏈接相關(guān)鏈接應(yīng)用函數(shù)奇偶性可解決的問題及方法應(yīng)用函數(shù)奇偶性可解決的問題及方法(1)已知函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)值將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解.(2)已知函數(shù)的奇偶性求解析式將待求區(qū)間上的自變量，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于 f(x)的方程(組)，從而得到 f(x)的解析式.(3)已知函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)解析式中參數(shù)的值常常利用待定系數(shù)法：利用 f(x)f(-x)=0 得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性得參數(shù)的值或方程求解.(4)應(yīng)用奇偶性畫圖象和判斷單調(diào)性利用奇偶性可畫出另一對稱區(qū)間上的圖象及判斷另一區(qū)間

16、上的單調(diào)性.2 2、例題解析、例題解析【例】(1)(2011安徽高考)設(shè) f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，當(dāng) x0 時(shí)，f(x)=2x2-x，則 f(1)=( )()-3()-1()1()3(2)(2011遼寧高考)若函數(shù)為奇函數(shù)，則 a=( ) ()xf x2x1xa 1223ABCD 134(3)已知偶函數(shù) f(x)在區(qū)間0，+)上單調(diào)遞增，則滿足的 x 的()f 2x2f2取值范圍是( ) ,(,)A0B02C0 2 2D2【方法詮釋】(1)將求 f(1)的值轉(zhuǎn)化為求 f(-1)的值的問題求解；(2)由題意可知 f(-x)+f(x)=0，從而得到關(guān)于 x 的恒等式，再構(gòu)建 a 的方程求

17、解；(3)根據(jù)奇偶性得到將原不等式轉(zhuǎn)化為 | ,f 2x2f2x2從而求解. |,f2x2f2【解析】(1)選.由奇函數(shù)的定義有 f(-x)=-f(x)，所以 f(1)=-f(-1)=-2(-1)2+1=-3.(2)選.函數(shù) f(x)為奇函數(shù),f(x)+f(-x)=0 恒成立，即 xx02x1xa2x1xa恒成立.可化為(2x+1)(x-a)=(2x-1)(x+a)恒成立.整理得 2(1-2a)x=0 恒成立，則必有 1-2a=0,1.2 a(3)選.f(x)為偶函數(shù)， |f 2x2f2x2，又 f(x)在0,+)上單調(diào)遞增,由得：|()f2x2f2,2x22解得:.0 x2注：注：利用函數(shù)的

18、奇偶性可將未知區(qū)間上的求函數(shù)值、求解析式、作圖象、判定單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值、解析式、圖象、單調(diào)性問題求解，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與化歸思想.五、函數(shù)的周期性及其應(yīng)用五、函數(shù)的周期性及其應(yīng)用1 1、相關(guān)鏈接、相關(guān)鏈接關(guān)于周期函數(shù)的常用結(jié)論：（1 1）若對于函數(shù)）若對于函數(shù) f(x)f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)定義域內(nèi)的任意一個(gè) x x 都有：都有：，則函數(shù) f(x)必為周期函數(shù)，2|a|是它的一個(gè)周期； 1f xaf x，f(x+a)=，則函數(shù) f(x)必為周期函數(shù)，2|a|是它的一個(gè)周期；1( )f x，則函數(shù) f(x)必為周期函數(shù)，2|a|是它的一個(gè)周期； 1f xaa0f x，(

19、2)(2)如果如果 T T 是函數(shù)是函數(shù) y=f(x)y=f(x)的周期，則的周期，則kT(kZ,k0)也是函數(shù) y=f(x)的周期，即 f(x+kT)=f(x)；若已知區(qū)間m,n(m10 時(shí)，|lgx|1,因此結(jié)合圖象及數(shù)據(jù)特點(diǎn) y=f(x)與 y=|lgx|的圖象交點(diǎn)共有 10 個(gè).例例 22設(shè) f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù) x，恒有 f(x+2)=-f(x).當(dāng)x0,2時(shí)，f(x)=2x-x2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù);(2)當(dāng) x2,4時(shí)，求 f(x)的解析式;(3)計(jì)算 f(0)+f(1)+f(2)+f(2 013).【解析】(1)f(x+2)=-f(x),f

20、(x+4)=-f(x+2)=f(x).f(x)是周期為 4 的周期函數(shù).(2)當(dāng) x-2,0時(shí)，-x0,2 ，由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,又 f(x)是奇函數(shù)，f(-x)=-f(x)=-2x-x2,f(x)=x2+2x.又當(dāng) x2,4時(shí)，x-4-2,0,f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又 f(x)是周期為 4 的周期函數(shù)，f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.從而求得 x2,4時(shí)，f(x)=x2-6x+8.(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.又 f(x)是周期為 4 的周期函數(shù),f(0)+f(1)

21、+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0.f(0)+f(1)+f(2)+f(2 013)=f(0)+f(1)=0+1=1.五、函數(shù)奇偶性與周期性的綜合應(yīng)用五、函數(shù)奇偶性與周期性的綜合應(yīng)用例例已知函數(shù) f(x)在 R 上滿足 f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)且在閉區(qū)間0,7上，只有 f(1)=f(3)=0，(1)試判斷函數(shù) y=f(x)的奇偶性；(2)試求方程 f(x)=0 在閉區(qū)間-2 011,2 011上根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論思路分析：思路分析：(1)判斷函數(shù)奇偶性的一般思

22、路是利用定義，看 f(-x)與 f(x)的關(guān)系，但本題不易出現(xiàn) f(-x)與 f(x)，但可先假設(shè)該函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，看能否得出不正確的結(jié)論，進(jìn)而得出結(jié)論(即舉反例來判斷函數(shù)的奇偶性).(2)先求函數(shù)的周期，然后在它的一個(gè)周期內(nèi)求解，再由其周期性求出定義域內(nèi)的全部解解析：(1)若 y=f(x)為偶函數(shù)，則 f(-x)=f(2-(x+2)=f(2+(x+2)=f(4+x)=f(x)，f(7)=f(3)=0，這與 f(x)在閉區(qū)間0,7上，只有 f(1)=f(3)=0 矛盾；因此 f(x)不是偶函數(shù).若 y=f(x)為奇函數(shù)，則 f(0)=f(-0)=-f(0)，f(0)=0,這與 f(x)在

23、閉區(qū)間0,7上，只有 f(1)=f(3)=0矛盾；因此 f(x)不是奇函數(shù)綜上可知：函數(shù) f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).(2)f(x)=f(2+(x-2)=f(2-(x-2)=f(4-x)，f(x)=f(7+(x-7)=f(7-(x-7)=f(14-x)，f(14-x)=f(4-x),即 f(10+(4-x)=f(4-x)f(x+10)=f(x),即函數(shù) f(x)的周期為 10.又f(1)=f(3)=0，f(1)=f(1+10n)=0(nZ)，f(3)=f(3+10n)=0(nZ)，即 x=1+10n 和 x=3+10n(nZ)均是方程 f(x)=0 的根.由-2 0111+10n2 01

24、1 及 nZ 可得 n=0，1，2，3， ，201，共 403 個(gè)；由-2 0113+10n2 011 及 nZ 可得 n=0，1，2，3， ，200，-201，共402 個(gè)；所以方程 f(x)=0 在閉區(qū)間-2 011,2 011上的根共有 805 個(gè).【方法提示方法提示】(1)如何判斷函數(shù)不具有某性質(zhì)判斷函數(shù)不具有某性質(zhì)只需舉出一個(gè)反例即可；(2)奇偶函數(shù)根的個(gè)數(shù)問題由于奇偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且 f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)，所以，除去根為零外，如果有解，則解的個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè).注注: :方程 f(x)=A(其中 A 為非零常數(shù))的解的個(gè)數(shù)，如果函數(shù) f(x)為偶函數(shù)時(shí)

25、解的個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)，如果函數(shù) f(x)為奇函數(shù)時(shí)解的個(gè)數(shù)不一定為偶數(shù)個(gè)六、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用六、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用例例定義在 R 上的函數(shù))(xf滿足對任意Ryx、恒有)()()(yfxfxyf，且)(xf不恒為 0。（1）求) 1 (f和) 1(f的值；（2）試判斷)(xf的奇偶性，并加以證明；（3）若0 x時(shí))(xf為增函數(shù)，求滿足不等式0)2() 1(xfxf的x的取值集合。解析：解析：（1）令1 yx，得) 1 () 1 () 1 (fff 0) 1 (f令1 yx，得) 1() 1() 1 (fff 0) 1(f（2）令1y，由)()()(yfxfxyf，得) 1()()(fxfxf又0) 1(f )()(xfxf又 )(xf不恒為 0 )(xf為偶函數(shù)（3）由0)2() 1(xfxf知)2() 1(xfxf 又由（2）知|)(|)(xfxf )2()1(xfxf 又 )(xf在), 0 上為增函數(shù) xx21故x的取值集合為21|xx注：注：（1）對抽象函數(shù)解不等式問題，應(yīng)充分利用函數(shù)的單調(diào)性，將“”脫掉，轉(zhuǎn)化f為我們會求的不等式；（2）奇偶函數(shù)的不等式求解時(shí)，要注意到：奇函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間上有相反的單調(diào)性。 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！