《2014年高考數學一輪復習 熱點難點精講精析 7.3空間向量》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2014年高考數學一輪復習 熱點難點精講精析 7.3空間向量（36頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 2014年高考一輪復習熱點難點精講精析：7.3空間向量 一、直線的方向向量與直線的向量方程、平面的法向量與平面的向量表示 （一）用向量法證明平行、垂直 ※相關鏈接※ 1.用向量證明線面平行的方法有： (1)證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直； (2)證明該直線的方向向量與平面內某直線的方向向量平行； (3)證明該直線的方向向量可以用平面內的兩個不共線的向量線性表示. 2.用向量法證垂直問題 (1)證明線線垂直,只需證明兩直線的方向向量數量積為0; (2)證明線面垂直,只需證明直線的方向向量與平面的法向量共線,或利用線面垂直的判定定理轉化為證明線線垂直;

2、(3)證明面面垂直,只需證明兩平面的法向量的數量積為0,或利用面面垂直的判定定理轉化為證明線面垂直. 3．利用直線的方向向量和平面的法向量，可以判定直線與直線,直線與平面，平面與平面的平行和垂直. （1）設直線的方向向量為直線的方向向量為則 （2）設直線l的方向向量為平面α的法向量為則 （3）設平面α的法向量為平面β的法向量則 ※例題解析※ 〖例〗如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90,AB=4,CD=1,點M在PB上,PB=4PM,PB與平面ABCD成30的角. 2 / 36 (1)求證:CM∥

3、平面PAD; (2)求證:平面PAB⊥平面PAD. 思路解析：題目中存在從點C出發(fā)的三條兩兩垂直的直線,故可建立空間直角坐標系,用向量的坐標運算證明線面平行,線線垂直,面面垂直. 解答：以C為坐標原點,CB所在直線為x軸,CD所在直線為y軸，CP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz. ∵PC⊥平面ABCD, ∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角， ∴∠PBC=30. ∵PC=2,∴BC=,PB=4. ∴D(0,1,0),B(,0,0), A(,4,0),P(0,0,2),M(), ∴=(0,-1,2), =(,3,0), =(), （1）令為平面PAD

4、的一個法向量，則 即 令y=2,得 （2）取AP的中點E，則 （二）異面直線所成的角 ※相關鏈接※ 高考中對異面直線所成的角的考查,一般出現(xiàn)在綜合題的某一步,一般步驟為: (1)平移：要充分挖掘圖形的性質,尋找平行關系,如利用“中點”特征等. (2)證明：證明所作的角是異面直線所成的角. 尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之. (4)取舍：因為異面直線所成的角θ的取值范圍是0<θ≤90，所以所作的角為鈍角時，應取它的補角作為異面直線所成的角. 若用向量法，則轉化為求兩向量的夾角. ※例題解析※ 〖例〗如圖,矩形ABCD和梯形B

5、EFC所在平面互相垂直，BE//CF，BC⊥CF,,EF=2，BE=3，CF=4. (Ⅰ)求證：EF⊥平面DCE； (Ⅱ)當AB的長為何值時,二面角A-EF-C的大小為60． 解析：（Ⅰ）證明：在△BCE中，BC⊥CF,BC=AD=,BE=3，∴EC=， ∵在△FCE中，CF2=EF2+CE2，∴EF⊥CE………………3分 由已知條件知，DC⊥平面EFCB,∴DC⊥EF， 又DC與EC相交于C，……………………………………5分 ∴EF⊥平面DCE……………………6分 （Ⅱ）如圖，以點C為坐標原點，以CB，CF和CD分別作為x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標系C-xy

6、z．……………………7分 設AB=a（a >0），則C(0,0,0)，A(,0,a)，B(，0，0），E(，3，0），F(xiàn)（0，4，0）． 從而………………9分 設平面AEF的法向量為，由得， ，取x=1，則， 即，…………………………11分 不妨設平面EFCB的法向量為， 由條件，得 解得．所以當時，二面角A-EF-C的大小為60． （三）利用向量法解決開放性問題 ※相關鏈接※ 1.開放性問題是近幾年高考的一種常見題型，這類問題具有一定的思維深度，用向量法較容易解決. 2.對于探索性問題，一般先假設存在，設出空間點的坐標，轉化為代數方程是否有解

7、的問題，若有解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在. ※例題解析※ 〖例〗如圖，已知正方形OBCD所在平面與等腰直角三角形AOD所在平面互相垂直，OA=OD=4，點E、F分別為CD、OA的中點. (1)求證：DF∥平面AEB； (2)線段AD上是否存在一點M，使BM與平面AEB所成角的正弦值為？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由. 思路解析：第(1)問用傳統(tǒng)方法證明，即利用中位線定理在平面AEB內找一條直線與DF平行；第(2)問用向量法解答比較容易入手. 解答：(1)如圖，取AB中點G，連結FG，EG； ∵FG∥OB， ∴FG∥DE， 又FG=

8、OB，DE=OB， ∴FG=DE， ∴四邊形EDFG為平行四邊形， ∴DF∥EG， 又EG平面AEB，DF平面AEB， ∴DF∥平面AEB. (2)依題意知平面OBCD⊥平面AOD，OB⊥OD， ∴OB⊥平面AOD，得OB⊥OA， 又AO⊥OD，OB⊥OD. 如圖，以O為原點，建立空間直角坐標系Oxyz， ∵AO=OD=4，可得A(0，4，0)、E(4，0，2)、B(0，0，4)， ∴=(4，-4，2)，=(0，-4，4). 設平面AEB的一個法向量為=(1，b，c)， 解得b=2，c=2， ∴=(1，2，2). 設線段AD上存在一點M(t，4-t，0)，

9、其中0≤t≤4，則=(t,4-t,-4). 可得t2+2t-8=0，解得t=2或t=-4(舍去). 所以AD上存在一點M(2，2，0)，它是AD的中點， 所以 二、空間直角坐標系 （一）求空間中點的坐標 ※相關鏈接※ 1、通過分析幾何體的特點，恰當的建立坐標系，可以方便的寫出點的坐標，“恰當”的原則是：①充分利用幾何體的垂直關系；②盡可能的讓點落在坐標軸或坐標平面上。 注：不同的建系方法，求出的點的坐標也不同。 2、求空間點P坐標的方法 方法一：（1）過點P作一個平面平行于坐標平面yOz,這個平面與x軸的交點記為，它在x軸上的坐標為x,這個數x叫做點P的橫坐

10、標； （2）過點P作一個平面平行于坐標平面xOz，這個平面與y軸的交點記為，它在y軸上的坐標為y，這個數y叫做點P的縱坐標； （3）過點P作一個平面平行于坐標平面xOy,這個平面與z軸的交點記為，它在z軸上的坐標為z,這個數z叫做點P的豎坐標。顯然x軸上點的坐標形如(x,0,0),xOy平面上點的坐標形如(x,y,0). 方法二：從點P向三個坐標平面作垂線，所得點P到三個平面的距離等于點P的對應坐標的絕對值，進而可求點P的坐標。 ※例題解析※ 〖例〗已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M為A1C1中點，N為AB1中點，建立適當的坐標系，寫出M，N兩點的坐標。 思路解析：

11、利用正方體的共頂點的三棱兩兩垂直建系，然后用求空間中點的坐標的方法來求。 解答：如圖， 以A為原點，AB，AD，AA1分別為x,y,z軸的正半軸建立空間坐標系。從M點分別向平面yAz,平面xAz,平面xAy作垂線。∵正方體的棱長為2，∴M點的坐標為(1,1,2).同理，N點坐標為(1,0,1). （二）空間中點的對稱問題 ※相關鏈接※ 1、常見對稱點的坐標規(guī)律 在空間直角坐標系中，已知點P(x,y,z),則點P （1）關于原點的對稱點是(-x,-y,-z); （2）關于x軸的對稱點是(x,-y,-z); （3）關于y軸的對稱點是(-x,y,-z); （4）關于z

12、軸的對稱點是(-x,-y,z); （5）關于xOy坐標面的對稱點是(x,y,-z); （6）關于yOz坐標面的對稱點是(-x,y,z); （7）關于zOx坐標面的對稱點是(x,-y,z). 2、中點坐標公式 若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則線段AB的中點P的坐標為 3、利用中點坐標公式也可求對稱點的坐標。 ※例題解析※ 〖例〗已知矩形ABCD中，A（4，1，3），B（2，-5，1），C（3，7，-5），求頂點D的坐標 思路解析：AC的中點即為BD中點，利用中點坐標公式可求 解答：∵矩形的對角線互相平分，∴AC的中點即為BD的中點。由已知，AC中點M為(，

13、4，-1)。設D(x,y,z),則∴x=5,y=13,z=-3.∴D(5,13,-3). （三）空間兩點間距離公式的應用 〖例〗已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=900，AB=AC=AA1=2，M為BC1的中點，N為A1B1的中點，求|MN| 思路解析：建立空間直角坐標系確定點M、N的坐標求|MN|。 解答：如圖， 以A為原點，AB，AC，AA1為x軸，y軸，z軸的正半軸建立空間直角坐標系，則B（2，0，0），C1（0，2，2），A1（0，0，2），B1（2，0，2），∴N（1，0，2），M（1，1，1）。∴|MN|=。 注：利用空間中兩點間的距離公式，可以

14、求兩點間的距離或某線段的長，只要建立恰當的坐標系，通過簡單的坐標運算即可解決。 三、空間向量及其運算 （一）空間向量的線性運算 ※相關鏈接※ 用已知向量表示未知向量，一定要結合圖形?？蓮囊韵陆嵌热胧?。 （1）要有基向量意識，把有關向量盡量統(tǒng)一到基向量上來； （2）把要表示感謝向量標在封閉圖形中，表示為其他向量的和差的形式，進而尋找這些向量與基向量的關系。 （3）用基向量表示一個向量時，如果此向量的起點是從基底的公共點出發(fā)的，一般考慮用加法，否則考慮用減法，如果此向量與一個易求的向量共線，可用數乘。 （4）注意應用以下結論， ①A為BC中點，O為空間任一點，則 ②A、B、C三

15、點共線，O為空間任一點，則λ+（1-λ）等。 ※例題解析※ 〖例〗如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設=，，，M、N、P分別是AA1、BC、C1D1的中點，試用，，表示以下各向量： （1）；（2）；（3） 思路解析：結合圖形，利用空間向量加減法及數乘運算法則和運算律即可。 解答：（1）∵P是C1D1的中點， ∴ （2）∵N是BC的中點，∴， 又， ∴ （二）共線向量定理、共面向量定理的應用 ※相關鏈接※ 應用共線向量定理、共面向量定理，可以證明點共線、點共面、線共面。 1、證明空間任意三點共線的方法 對空間三點P，A，B可通過證明下列結論成

16、立來證明三點共線： （1） （2）對空間任一點O， （3）對空間任一點O， 2、證明空間四點共面的方法 對空間四點P，M，A，B可通過證明下列結論成立來證明四點共面 （1） （2）對空間任一點O， （3）對空間任一點O，； （4） 注：在（3）中，若，則點P即為ΔMAB的重心。 若則若P為ΔMAB的重心，則，此即為三角形重心坐標公式。 ※例題解析※ 〖例〗設A，B，C及A1，B1，C1分別是異面直線上的三點，而M，N，P，Q分別是線段AA1，BA1，BB1，CC1的中點，求證：M，N，P，Q四點共面。 思路解析： 解答：由題意得，，又A，B，C及A1，

17、B1，C1分別共線，∴， ∴ （三）空間向量的數量積運算 〖例〗如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1⊥AB1，BC1⊥A1C，求證：AB1=A1C。 思路解析：利用直棱柱的性質，可證明AB=AC，則AB1=A1C。 解答：。 同理：， 注：（1）利用向量的數量積，可以求異面直線所成的角，兩點間的距離，證明垂直等問題。當題目條件中有垂直關系時，轉化為數量積為零進行應用，非常方便。 （2）利用向量解決幾何體中的長度、夾角、垂直等問題的基本思路是先根據已知條件選擇基向量，并求出其長度和數量積，再用基向量表示出有關的向量，并進行向量運算，從而得出相關結論

18、。 （四）空間向量的坐標運算 ※相關鏈接※ 空間向量的有關運算 設 （1）坐標運算 （2）共線與垂直的坐標表示 （均為非零向量）。 （3）模和距離公式 若則 ※例題解析※ 〖例〗設向量計算以及 所成角的余弦值，并確定λ，μ應滿足的條件，使與z軸垂直。 思路解析：代入向量坐標運算的公式求，利用數量積求的夾角余弦值，利用確定λ，μ的關系。 解答：=（6，10，-8）+（6，3，24）=（12，13，16）。 =3（3，5，-4）-2（2，1，8）=（9，15，-12）-（4，2，16）=（5，13，-28）。 =(3,5,-4)(2,1,

19、8)=6+5-32=-21. ∵ ∴ 由=(3λ+2μ,5λ+μ,-4λ+8μ)(0,0,1)=-4λ+8μ=0,即λ=2μ, ∴當λ,μ滿足λ=2μ時,可使與z軸垂直 四、立體幾何中的向量方法 （一）利用空間向量證明平行和垂直 ※相關鏈接※ 利用直線的方向向量和平面的法向量，可以判定直線與直線，直線與平面，平面與平面的平行和垂直。 （1）設直線的方向向量為，直線的方向向量為，則∥ （2）設直線的方向向量為，平面α的法向量為，則∥α （3）設平面α的法向量為，平面β的法向量為，則α∥β ※例題解析※ 〖例〗如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，

20、AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=600，PA=AB=BC，E是PC的中點。 （1）證明AE⊥CD； （2）證明：PD⊥平面ABE。 思路解析：①建立空間直角坐標系確定的坐標計算AE⊥CD； ②求面ABE的法向量判斷滿足PD⊥平面ABE或確定坐標計算 PD⊥平面ABE 解答：（1）∵AB、AD、AP兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系， 設PA=AB=BC=1，則P（0，0，1）。 （二）利用空間向量求點面距 ※相關鏈接※ 利用向量法求點面距，其步驟如下： （1）求出該平面的一個法向量； （2）找出過該點的平面的任一條斜線

21、段對應的向量； （3）求出法向量與斜線段所對應向量的數量積的絕對值再除以法向量的模，即可求出點面平面的距離，如圖： 點P到平面α的距離 由于可以視為平面的單位法向量，所以點到平面的距離實質就是平面的單位法向量與從該點出發(fā)的斜線段所對應向量的數量積的絕對值，即。 ※例題解析※ 〖例〗（北京卷16）如圖，在三棱錐中，，，，． （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）求二面角的大小； （Ⅲ）求點到平面的距離． 思路解析：題中（I）利用證明；題中（II）（III）可利用題中（I）的結論：PC，AC，BC兩兩垂直，建立空間直角坐標系求解。 解法一： A C B D P （Ⅰ）取中點，連結．

22、 ， ． ， ． ， 平面． 平面， ． （Ⅱ），， A C B E P ． 又， ． 又，即，且， 平面． 取中點．連結． ，． 是在平面內的射影， ． 是二面角的平面角． 在中，，，， ． A C B D P H 二面角的大小為． （Ⅲ）由（Ⅰ）知平面， 平面平面． 過作，垂足為． 平面平面， 平面． 的長即為點到平面的距離． 由（Ⅰ）知，又，且， 平面． 平面， ． 在中，，， ． ． 點到平面的距離為． 解法二： （Ⅰ），， ． 又， ． ， 平面． 平面

23、， ． （Ⅱ）如圖，以為原點建立空間直角坐標系． A C B P z x y H E 則． 設． ， ，． 取中點，連結． ，， ，． 是二面角的平面角． ，，， ． 二面角的大小為． （Ⅲ）， 在平面內的射影為正的中心，且的長為點到平面的距離． 如（Ⅱ）建立空間直角坐標系． ， 點的坐標為． ． 點到平面的距離為． （三）利用空間向量求空間角 〖例〗湖北卷18.（本小題滿分12分） 如圖，在直三棱柱中，平面?zhèn)让? （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）若直線與平面所成的角為,二面角的大小為，試判斷與的大小關系，并予以證明. 思路解

24、析：（I）利用面面垂直的性質轉化為線面垂直，再證線面垂直，進而得到線線垂直； （II）建立空間直角坐標系，求出與的某個三角函數值，然后比較兩角的大小。 解答：本小題主要考查直棱柱、直線與平面所成角、二面角和線面關系等有關知識，同時考查空間想象能力和推理能力. （Ⅰ）證明：如右圖，過點A在平面A1ABB1內作AD⊥A1B于D，則 由平面A1BC⊥側面A1ABB1,且平面A1BC側面A1ABB1=A1B,得 AD⊥平面A1BC,又BC平面A1BC， 所以AD⊥BC. 因為三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱， 則AA1⊥底面ABC， 所以AA1⊥BC. 又AA1AD=A

25、,從而BC⊥側面A1ABB1， 又AB側面A1ABB1，故AB⊥BC. （Ⅱ）解法1：連接CD，則由（Ⅰ）知是直線AC與平面A1BC所成的角， 是二面角A1—BC—A的平面角，即 于是在Rt△ADC中，在Rt△ADB中， 由AB＜AC，得又所以 解法2：由（Ⅰ）知，以點B為坐標原點，以BC、BA、BB1所在的直線分 別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設AA1=a,AC=b, AB=c,則 B(0,0,0), A(0,c,0), 于是 [ 設平面A1BC的一個法向量為n=(x,y,z)，則 由得 可取n=(0,-a,c)，于是與n的夾角為銳角，則與互為余角. 所以 于是由c＜b，得 即又所以 注：求空間角（異面直線所成的角，直線與平面所成的角，二面角）一直是高考的熱點，如果用幾何法求需要作出這些角的平面角，對空間想象能力要求高。而用向量法求解時，只需利用公式。通過簡單的向量運算即可解決，顯示了向量這一工具巨大的作用。求二面角時，可以利用法向量求。 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！