《2014年高考數學一輪復習 熱點難點精講精析 4.1平面向量》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2014年高考數學一輪復習 熱點難點精講精析 4.1平面向量（20頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 2014年高考一輪復習熱點難點精講精析：4.1平面向量 一、平面向量的概念及其線性運算 （一）向量的有關概念 ※相關鏈接※ 1、著重理解向量以下幾個方面： （1）向量的模；（2）向量的方向；（3）向量的幾何表示；（4）向量的起點和終點。 2、判定兩個向量的關系時，特別注意以下兩種特殊情況： （1）零向量的方向及與其他向量的關系； （2）單位向量的長度及方向。 ※例題解析※ 【例1】下列結論中，不正確的是 （ ） 向量，共線與向量//同義； 若向量//，則向量與共線；

2、若向量=，則向量=； 只要向量，滿足||=||，就有=。 解答：選。根據平行向量（或共線向量）定義知，B均正確；根據向量相等的概念知C正確，不正確。 【例2】給出下列命題： ①有向線段就是向量，向量就是有向線段； ②若則BCD為平行四邊形； ③若 ④若。 其中正確命題的個數是 （ ） （）0 （B）1 （C）2 （）3 思路解析：正確理解向量的有關概念是解決本題的關鍵。注意到特殊情況，否定某個命題只要舉出一個反倒即可。 2 / 20 解答：選B。①錯，向量

3、可用有向線段表示，但并不是有向線段。②錯，因為則可能、B、C、四點在一條直線上。③正確。④錯，若，則對不共線的向量與，也有//，//，但與不平行。 （二）向量的線性運算 ※相關鏈接※ （1）用已知向量來表示別外一些向量是用向量解題的基本功，除利用向量的加、減法、數乘向量外，還應充分利用平面幾何的一些定理； （2）在求向量時要盡可能轉化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角形法則，利用三角形中位線，相似三角形對應邊成比例等平面幾何的性質，把未知向量轉化為與已知向量有直接關系的向量求解。 注：若為BC的中點，則。 ※例題解析※ 〖例1〗在ΔBC中， 。 思路解析：解

4、本題要進行向量的加、減法外，還有數乘向量運算，如 在進行計算時要充分利用∽ΔBC，ΔADN∽ΔABM等條件。 解答： 由ΔADE∽ΔABC，得，又AM是ΔABC的中線，DE//BC，且AM與DE交于點N，得 。 〖2〗在ΔOAB中， 延長BA到C，使AC=BA，在OB上取點D，使。DC與OA交于E，設用表示向量及向量。 解答：∵A是BC的中點，∴，即 （三）向量的共線問題 〖例〗設兩個非零向量與不共線， （1） 若求證：A、B、三點共線； （2） 試確定實數k，使和共線 （3） 思路解析：（1）由已知求判斷和的關系判斷、B、D的關系；（2）應用共

5、線向量的充要條件列方程組解方程組得k值。 解答：（1）∵ ∴ ∴、共線，又∵它們有公共點B，∴、B、三點共線 （2）∵和共線，∴存在實數λ，使=λ（），即=。∴∵、是不共線的兩個非零向量，∴=，∴-1=0。∴=1。 注：（1）向量共線的充要條件中要注意當兩向量共線量時，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數法的運用和方程思想。 （2）證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線。 二、平面向量的基本定理及坐標表示 （一）平面向量基本定理及其應用 ※相關鏈接※ 1、以平面內

6、任意兩個不共線的向量為一組基底，該平面內的任意一個向量都可表示成這組基底的線性組合，基底不同，表示也不同； 2、對于兩個向量，，將它們用同一組基底表示，我們可通過分析這兩個表示式的關系，來反映與的關系； 3、利用已知向量表示未知向量，實質就是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加減運算或進行數乘運算。 注：由于基底向量不共線，所以不能作為一個基底向量。 ※例題解析※ 〖例〗如圖：在平行四邊形BC中，M，N分別為DC，BC的中點，已知試用表示。 思路解析：直接用表示有難度，可換一個角度，由表示，，進而解方程組可求。 解答：方法一：設,則 ① ② 將②代入①得代入②

7、得 方法二：設因M，N分別為CD，BC中點，所以 因而 即 （二）平面向量的坐標運算 ※相關鏈接※ 1、向量的坐標運算主要是利用加、減、數乘運算法則進行，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求出向量的坐標，解題過程中要注意方程思想的運用； 2、利用向量的坐標運算解題。主要是根據相等的向量坐標相同這一原則，通過列方程（組）進行求解； 3、利用坐標運算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐標，再用待定系數法求出線性系數； 4、向量的坐標運算，使得向量的線性運算都可用坐標來進行，實現了向量運算完全代數化，將數與形緊密結合起來，就可以使得很多幾何問題的解答轉化為我

8、們熟知的數量運算。 ※例題解析※ 〖例〗已知（-2，4），B（3，-1），C（-3，-4）。設且求： （1） （2）滿足的實數m,n; （3）M、N的坐標及向量的坐標。 思路解析：利用向量的坐標運算及向量的坐標與其起點、終點坐標的關系求解。 解答：由已知得 （1）=3（5，-5）+（-6，-3）-3（1，8）=（15-6-3，-15-3-24）=（6，-42） （2）∵ ∴ （3）∵，∴。∴M（0，20）又 ∵，∴∴N（9，2）。∴。 （三）平面向量共線的坐標表示 ※相關鏈接※ 1、凡遇到與平行有關的問題時，一般地要考慮運用向量平行的充要條件； 2、

9、向量共線的坐標表示提供了通過代數運算來解決向量共線的方法，也為點共線、線平行問題的處理提供了容易操作的方法。解題時要注意共線向量定理的坐標表示本身具有公式特征，應學會利用這一點來構造函數和方程，以便用函數與方程的思想解題。 ※例題解析※ 〖例〗已知當k為何值時，與平行；平行時它們是同向還是反向？ 思路解析：將用坐標表示將用坐標表示應用共線向量的充要條件求k把k代入向量判斷結果。 解答：∵=k（1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2），=（1，2）-3（-3，2）=（10，-4），∴與平行等價于（k-3）（-4）-10（2k+2）=0，解得k=。故當k=時，與平行。此時=，∴與反

10、向。 注：向量平行的坐標公式裨是把向量問題轉化為實數的運算。通過坐標公式建立參數的方程，通過解方程或方程組求得參數，充分體現了方程思想在向量中的應用。 （四）向量與其他知識的綜合[ 〖例〗已知向量現向量的對應關系用表示。 （1）設，求向量與的坐標； （2）求使 （3）證明：對任意的向量及常數m,n恒有成立。 思路解析：本題關鍵是找出“函數” 的對應關系，此處的變量為向量的坐標，因此，可通過坐標運算來解決問題。 解答：（1）又 （2） （3） 注：對于信息處理題應注意以下幾點： ①認真領會題中所給信息（注意概念的內涵與外延）； ②將所得到的信息，應用于題目中

11、去，即解決實際問題（當然注意條件與結論，往往是三段論推理）。 三、平面向量的數量積及平面向量應用舉例 （一）平面向量的數量積的運算及向量的模問題 ※相關鏈接※ 1、向量的數量積有兩種計算方法，一是利用公式來計算，二是利用來計算，具體應用時可根據已知條件的特征來選擇，同時要注意數量積運算律的應用。 2、利用數量積求長度問題是數量積的重要應用，要掌握此類問題的處理方法： 〖例〗已知，與的夾角為，求：（1）；（2）。 思路解析：利用平面向量數量積的定義及其運算律，可求出第（1）問；求可先求，再開方。 解答：（1）， ∴= （2）， ∴ （二）平面向量的垂直問題

12、※相關鏈接※ 1、非零向量 2、當向量與是非坐標形式時，要把、用已知的不共線的向量表示。 注：把向量都用坐標表示，并不一定都能夠簡化運算，要因題而異。 〖例〗已知向量，（1）求證：;（2）若存在不等于0的實數k和t，使?jié)M足試求此時的最小值。 思路解析：（1）可通過求證明; （2）由得，即求出關于k，t的一個方程，從而求出的代數表達式，消去一個量k，得出關于t的函數，從而求出最小值。 解答：（1） （2）由得：，即 （三）平面向量的夾角問題 ※相關鏈接※ 1、當與是非坐標形式時，求與的夾角。需求得及或得出它們的關系。 2、若已知與的坐標，則可直接利用公式.

13、注：平面向量、的夾角 ※例題解析※ 〖例〗已知、都是非零向量，且+3與垂直，與垂直，求與的夾角θ。 思路解析：把向量垂直轉化為數量積為0聯立求與的關系應用夾角公式求結果。 解答： （四）向量的綜合應用 〖例1〗設ΔBC的外心為O，則圓O為ΔBC的外接圓，垂心為H。求證： 思路解析：本題的關鍵是探求的聯系，利用向量的三角形法則可得下一步需確定的關系，由條件O為ΔBC的外心，可延長BO交圓于O于點，連D、DC，利用圓周角是直角的性質可證四邊形ANCD為平行四邊形，從而問題得以解決。 解答：延長BO交圓O于D點，連AD、DC，則BD為圓O的直徑，故∠BCD=∠BAD=900。

14、又∵AE⊥BC，DC⊥BC。各AH//DC，同理DA//CH?！嗨倪呅蜛NCD為平行四邊形，∴。 又∵∴又∵∴ 注：利用平面向量的知識解決平面幾何問題，關鍵是充分挖掘題目中的條件，本題中O為外心，H為垂心，在本題中作用最大；另外，平面解析幾何中的一些性質在解題中也有很大的用處。 〖例2〗已知力與水平方向的夾角為30（斜向上），的大小為50N，拉著一個重80N的木塊在摩擦系數μ=0.02的水平平面上運動了20m，問和摩擦力所做的功分別是多少？(g=10 N/kg). 思路解析：力在位移上所做的功，是向量乘積的物理含義，要先求出力，和位移的夾角，然后應用數量積公式求解。 解答：設木塊的位移為則，在鉛垂方向上分力大小為sin30=50=25(N). =810=80(N) ∴摩擦力的大小為， ∴=1.120(-1)=-22(J). ∴所做的功分別是500J、22J。 注：力在力的位移上所做的功，就是力與位移所對應兩向量的數量積。故在解決此類問題時可轉化為數量積的運算，據題意構造平面圖形，把已知、所求各量用向量的對應量表示出來。然后結合向量的加減法及平面幾何的知識求得向量的模及夾角，再利用數量積的運算公式求得力對物體所做的功 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！