《2014年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析 8.1直線與方程》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2014年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析 8.1直線與方程（19頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2014年高考一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析：8.1直線與方程 一、直線的傾斜角與斜率 （一）直線的傾斜角 ※相關(guān)鏈接※ 2．已知斜率k的范圍，求傾斜角的范圍時(shí)，若k為正數(shù)，則的范圍為的子集，且k=tan為增函數(shù)；若k為負(fù)數(shù)，則的范圍為的子集，且k=tan為增函數(shù)。若k的范圍有正有負(fù)，則可所范圍按大于等于0或小于0分為兩部分，針對(duì)每一部分再根據(jù)斜率的增減性求傾斜角范圍。 ※例題解析※ 〖例〗已知直線的斜率k=-cos(∈R).求直線的傾斜角的取值范圍。 思路解析：cos的范圍斜率k的范圍tan的范圍傾斜角的取值范圍。 解答： （二）直線的斜率及應(yīng)用 ※相關(guān)鏈接※

2、 1、斜率公式：與兩點(diǎn)順序無關(guān)，即兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)在公式中前后次序相同； 2、求斜率的一般方法： （1）已知直線上兩點(diǎn)，根據(jù)斜率公式 求斜率； （2）已知直線的傾斜角或的某種三角函數(shù)根據(jù)來求斜率； 3、利用斜率證明三點(diǎn)共線的方法： 2 / 19 已知若，則有A、B、C三點(diǎn)共線。 注：斜率變化分成兩段，是分界線，遇到斜率要謹(jǐn)記，存在與否需討論。 ※例題解析※ 〖例〗設(shè)是互不相等的三個(gè)實(shí)數(shù)，如果在同一直線上，求證： 思路解析：若三點(diǎn)共線，則由任兩點(diǎn)所確定的直線斜率相等或都不存在。 解答： （三）兩條直線的平行與垂直 〖例〗已知點(diǎn)M（2，2），N（5，-2），點(diǎn)P

3、在x軸上，分別求滿足下列條件的P點(diǎn)坐標(biāo)。 （1）∠MOP=∠OPN（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）； （2）∠MPN是直角。 思路解析：∠MOP=∠OPNOM//PN，∠MPN是直角MPNP，故而可利用兩直線平行和垂直的條件求得。 解答： 注：（1）充分掌握兩直線平行的條件及垂直的條件是解決本題的關(guān)鍵，對(duì)于斜率都存在且不重合的兩條直線 和，。若有一條直線的斜率不存在，那么另一條直線的斜率是多少一定要特別注意。 （2）注意轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用。 （3）利用斜率的幾何意義可以證明不等式，利用兩斜率之間的關(guān)系可以判斷兩直線的平行或垂直，數(shù)形結(jié)合的思想方法可幫助我們很直觀地分析問題，抓住問

4、題的實(shí)質(zhì)。 二、直線的方程 （一）直線方程的求法 ※相關(guān)鏈接※ 1、求直線方程應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式并注意各種形式的適用條件?；痉椒òɡ脳l件直接求直線的基本量和利用待定系數(shù)法求直線的基本量。 用待定系數(shù)法求直線方程的步驟： （1）設(shè)所求直線方程的某種形式； （2）由條件建立所求參數(shù)的方程（組）； （3）解這個(gè)方程（組）求參數(shù)； （4）把所求的參數(shù)值代入所設(shè)直線方程。 2、求直線方程時(shí)，首先分析具備什么樣的條件；然后恰當(dāng)?shù)剡x用直線方程的形式準(zhǔn)確寫出直線方程。要注意若不能斷定直線具有斜率時(shí)，應(yīng)對(duì)斜率存在與不存在加以討論。在用截距式時(shí)，應(yīng)先判斷截距是否為0。若不確定，則

5、需分類討論。 ※例題解析※ 〖例〗求過點(diǎn)P（2，-1），在x軸和y軸上的截距分別為a、b,且滿足a=3b的直線方程。 思路解析：對(duì)截距是否為0分類討論設(shè)出直線方程代入已知條件求解得直線方程。 解答：當(dāng)a=3,b≠0時(shí)，設(shè)所求直線方程為，即 （二）用一般式方程判定直線的位置關(guān)系 ※相關(guān)鏈接※ 兩條直線位置關(guān)系的判定 已知直線，，則 （1） （2） （3） （4） ※例題解析※ 〖例〗已知直線和直線，（1）試判斷與是否平行；（2）⊥時(shí)，求的值。 思路解析：可直接根據(jù)方程的一般式求解，也可根據(jù)斜率求解，所求直線的斜率可能不存在，故應(yīng)按的斜率是否存

6、在為分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類討論。 解答：（1）方法一： 方法二： （2）方法一： 由 方法二： （三）直線方程的應(yīng)用 ※相關(guān)鏈接※ 利用直線方程解決問題，可靈活選用直線方程的形式，以便簡化運(yùn)算。一般地，已知一點(diǎn)通常選擇點(diǎn)斜式；已知斜率選擇斜截式或點(diǎn)斜式；已知截距或兩點(diǎn)選擇截距式或兩點(diǎn)式。 另外，從所求的結(jié)論來看，若求直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積或周長，常選用截距式或點(diǎn)斜式。 注：（1）點(diǎn)斜式與斜截式是兩種常見的直線方程形式，要注意在這兩種形式中所要求直線的斜率存在。 （2）“截距”并非“距離”，可以是正的，也可以是負(fù)的，還可以是0。 ※例題解析※ 〖

7、例〗如圖，過點(diǎn)P（2，1）作直線，分別為交x、y軸正半軸于A、B兩點(diǎn)。 （1）當(dāng)⊿AOB的面積最小時(shí)，求直線的方程； （2）當(dāng)｜PA｜｜PB｜取最小值時(shí)，求直線的方程。 思路解析：求直線方程時(shí)，要善于根據(jù)已知條件，選取適當(dāng)?shù)男问?。由于本題中給出了一點(diǎn)，且直線與x、y軸在正方向上分別相交，故有如下常見思路： ①點(diǎn)斜式：設(shè)的方程為，分別求出A、B的坐標(biāo)，根據(jù)題目要求建立目標(biāo)函數(shù)，求出最小值并確立最值成立的條件； ②截距式：設(shè)的方程為，將點(diǎn)（2，1）代入得出a與b的關(guān)系，建立目標(biāo)函數(shù)，求最小值及最值成立的條件； ③根據(jù)題意，設(shè)出一個(gè)角，建立目標(biāo)函數(shù)，利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決。

8、 解答：（1）方法一：設(shè)的方程為，則 方法二：設(shè)所求直線方程為，由已知得，于是。當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最大值，此時(shí)取最小值4。故所求的直線的方程為，即。 方法三：設(shè)所求直線方程為，由已知得 （2）方法一： 方法二： 注：解析法解決實(shí)際問題，就是在實(shí)際問題中建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)，用方程表示曲線，從而把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，利用代數(shù)的方法使問題得到解決。 三、直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式 （一）有關(guān)距離問題 ※相關(guān)鏈接※ 1、點(diǎn)到直線的距離公式和兩平行線間的距離公式是常用的公式，應(yīng)熟練掌握。 2、點(diǎn)到幾種特殊直線的距離 （1）點(diǎn)到x軸的距離。 （2

9、）點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離. （3）點(diǎn)到與x軸平行的直線y=a的距離。 （4）點(diǎn)到與y軸平行的直線x=b的距離. 3、兩點(diǎn)間的距離的求法 設(shè)點(diǎn)A(xA,yA),B(xB,yB)， 特例：AB⊥x軸時(shí)，|AB|=|yA-yB| AB⊥y軸時(shí)，|AB|=|xA-xB|. 4、點(diǎn)到直線的距離的求法 可直接利用點(diǎn)到直線的距離公式來求，但要注意此時(shí)直線方程必須為一般式. 5、兩平行直線間的距離的求法 (1)利用“化歸”法將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離. (2)利用兩平行線間的距離公式. 注：點(diǎn)到直線的距離公式當(dāng)A=0或B=0時(shí)，公式仍成立，但也可不用

10、公式而直接用數(shù)形結(jié)合法來求距離。 ※例題解析※ 〖例〗已知三條直線l1:2x-y+a=0(a＞0),l2:-4x+2y+1=0和l3:x+y-1=0，且l1與l2的距離是 (1)求a的值； (2)能否找到一點(diǎn)P,使P同時(shí)滿足下列三個(gè)條件： ①P是第一象限的點(diǎn)； ②P點(diǎn)到l1的距離是P點(diǎn)到l2的距離的; ③P點(diǎn)到l1的距離與P點(diǎn)到l3的距離之比是.若能，求P點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，說明理由. 【方法詮釋】(1)由l1與l2的距離及兩平行線之間的距離公式，可得關(guān)于a的方程，解方程即可得出a的值； (2)由點(diǎn)P(x0,y0)滿足②③條件可得出關(guān)于x0、y0的方程組，解方程組，即可求出點(diǎn)P的

11、坐標(biāo)，注意驗(yàn)證是否適合條件①. 解析：(1)l2為2x-y-=0, ∴l(xiāng)1與l2的距離為 ∵a＞0,∴a=3. (2)設(shè)存在第一象限的點(diǎn)P(x0,y0)滿足條件②,則P點(diǎn)在與l1、l2平行的直線l′:2x-y+c=0上且,即或 ∴2x0-y0+=0或2x0-y0+=0. 若P點(diǎn)滿足條件③，由點(diǎn)到直線的距離公式有： 即|2x0-y0+3｜=|x0+y0-1|, ∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0. ∵P在第一象限，∴3x0+2=0不可能. 聯(lián)立方程和x0-2y0+4=0, 解得 (舍去)， 由 ∴存在P()同時(shí)滿足條件①②③. （二）有關(guān)對(duì)稱問題

12、 ※相關(guān)鏈接※ 常見的對(duì)稱問題： （1）中心對(duì)稱 ①若點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2)關(guān)于P(a,b)對(duì)稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得a、b的值，即 ②直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱，其主要方法是：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程，或者求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，再利用，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程。 （2）軸對(duì)稱 ①點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱 若兩點(diǎn)M(x1,y1)、N(x2,y2)關(guān)于直線：Ax+By+C=0對(duì)稱，則線段MN的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上，而且連接MN的直線垂直于對(duì)稱軸上，由方程組 可得到點(diǎn)M關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)N的坐標(biāo)(x2,y2)（其中A≠0

13、，） ②直線關(guān)于直線的對(duì)稱 此類問題一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱來解決，有兩種情況：一是已知直線與對(duì)稱軸相交；二是已知直線與對(duì)稱軸平行。 （3）對(duì)稱問題的類型 ①點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；②點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱； ③直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；④直線關(guān)于直線對(duì)稱. 以上各種對(duì)稱問題最終化歸為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱、點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱. （4）對(duì)稱問題的具體應(yīng)用 ①在直線上求一點(diǎn)，使它到兩定點(diǎn)距離之和最小問題 <1>當(dāng)兩定點(diǎn)分別在直線的異側(cè)時(shí)，兩點(diǎn)連線與直線的交點(diǎn)即為所求； <2>當(dāng)兩定點(diǎn)在直線的同一側(cè)時(shí)，可借助于點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，將問題轉(zhuǎn)化為①情形來解決. ②在直線上求一點(diǎn)，使它到兩定點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值最大問題 <1

14、>當(dāng)兩定點(diǎn)在直線的同一側(cè)時(shí)，利用三角形的兩邊之差小于第三邊，可知兩定點(diǎn)的連線與直線的交點(diǎn)即為所求; <2>當(dāng)兩定點(diǎn)分別在直線的異側(cè)時(shí)，可借助于點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，將問題轉(zhuǎn)化為<1>情形解決. ※例題解析※ 〖例〗求直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線的方程。 思路解析：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題，利用方程組求解。 解答：方法一：由知直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-1），設(shè)直線的方程為y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.在直線上任取一點(diǎn)（1，2），由題設(shè)知點(diǎn)（1，2）到直線、的距離相等，由點(diǎn)到直線的距離公式得 ，解得， ∴直線的方程為x-2y=0. 方法二：設(shè)所求直線上一點(diǎn)為P（x

15、,y）,則在直線上必存在一點(diǎn)與點(diǎn)P關(guān)于直線對(duì)稱。 由題設(shè)：直線與直線垂直，且線段的中點(diǎn)在直線上。 ∴代入直線得x+1=2(y-1)+3, 整理得x-2y=0. 所以所求直線方程為x-2y=0. （三）解析法（坐標(biāo)法）應(yīng)用 〖例〗（12）如圖，已知P是等腰三角形ABC的底邊BC上一點(diǎn)，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，用解析法證明|PM|+|PN|為定值。 思路解析： 建立直角坐標(biāo)系利用點(diǎn)到直線的距離公式求出|PM|和|PN|的長度。 解答：過點(diǎn)A作AO⊥BC，垂足為O，以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)，……………1分 設(shè)B（-a,0），C（a,0）(a>0),A（0，

16、b）,P(,0),a,b為定值，為參數(shù)，-a≤≤a, ∴AB的方程是bx-ay+ab=0,AC的方程是bx+ay-ab=0,……………………………………………………4分 由點(diǎn)到直線的距離公式得,………………7分 ∵a>0,b>0,∴ab>0,-ab<0,把原點(diǎn)坐標(biāo)代入AB，AC方程左端分別得ab,-ab,且點(diǎn)P在直線AB，AC的下方，∴b+ab>0,b- ab<0,………………………………………………10分 ∴……………………12分 注：解析法（坐標(biāo)法）即通過建立平面直角坐標(biāo)系，把幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，用處理代數(shù)問題的方法解決，這種方法是聯(lián)系平面解析幾何的紐帶。求定值問題，應(yīng)先表示出要證明為定值的 式子，最后出現(xiàn)定值。 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！