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1、 2014年高考一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析：11.2概率 一、隨機(jī)事件的概率 ※相關(guān)鏈接※ 1．事件的判斷震怒地三種事件即不可能事件、盡然事件和隨機(jī)事件的概念充分理解，特別是隨機(jī)事件要看它是否可能發(fā)生，并且是在一定條件下的，它不同于判斷命題的真假。 2．對隨機(jī)事件的理解應(yīng)包含下面兩個(gè)方面： （1）隨機(jī)事件是指一定條件下出現(xiàn)的某種結(jié)果，隨著條件的改變其結(jié)果也會(huì)不同，因此必須強(qiáng)調(diào)同一事件必須在相同的條件下研究； （2）隨機(jī)事件可以重復(fù)地進(jìn)行大量試驗(yàn)，每次試驗(yàn)結(jié)果不一定相同，且無法預(yù)測下一次的結(jié)果，但隨著試驗(yàn)的重復(fù)進(jìn)行，其結(jié)果呈現(xiàn)規(guī)律性。 ※例題解析※ 〖例〗一個(gè)口袋裝有5個(gè)白

2、球和3個(gè)黑球，從中任意取出一個(gè)球： （1）“取出的球是紅球”是什么事件？ （2）“取出的球是黑球”是什么事件？ （3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？ 思路解析：結(jié)合必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念求解。 解答：（1）由于口袋內(nèi)只裝有黑、白兩種顏色的球，故“取出的球是紅球”是不可能事件； （2）由已知，從口袋內(nèi)取出一個(gè)球，可能是白球也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是隨機(jī)事件； （3）由于口袋內(nèi)裝的黑、白兩種顏色的球，故取出一個(gè)球不是黑球，就是白球鞋。因此，“取出的球是白球或黑球”是必然事件。 （二）隨機(jī)事件的頻率與概率 ※相關(guān)鏈接※ 1．隨機(jī)事件的頻率，指此事件發(fā)

3、生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增多，這種擺動(dòng)幅度越來越小。我們給這個(gè)常數(shù)取一個(gè)名字，叫做這個(gè)隨機(jī)事件的概率； 2．概率可看做頻率在理論上的期望值，它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，它是頻率的科學(xué)抽象，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來越多時(shí)頻率向概率靠近。只要次數(shù)足夠多，所是頻率就近似地當(dāng)做隨機(jī)事件的概率。 2 / 14 ※例題解析※ 〖例〗某籃球運(yùn)動(dòng)員在最近幾場大賽中罰球投籃的結(jié)果如下： （1）計(jì)算表中進(jìn)球的頻率； （2）這位運(yùn)動(dòng)員投籃一次，進(jìn)球的概率是多少？ 思路解析：解答本題可根據(jù)頻率的計(jì)算公式，其中為相同條件下重復(fù)

4、的試驗(yàn)次數(shù)，為事件A出現(xiàn)的次數(shù)，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，頻率接近概率 解答：（1）由公式可計(jì)算出每場比賽該運(yùn)動(dòng)員罰球進(jìn)球的頻率依次為 （2）由（1）知，每場比賽進(jìn)球的頻率雖然不同，但頻率總是在的附近擺動(dòng)，可知該運(yùn)動(dòng)員投籃一次，進(jìn)球的概率約為。 （三）互斥事件、對立事件的概率 〖例〗一盒中裝有大小和質(zhì)地均相同的12只小球，其中5個(gè)紅球，4個(gè)黑球，2個(gè)白球，1個(gè)綠球。從中隨機(jī)取出1球，求 （1）取出的小球是紅球或黑球的概率； （2）取出的小球是紅球或黑球或白球的概率。 思路解析：設(shè)事件分析事件的性質(zhì)根據(jù)互斥事件概率求法求解。 解答：記事件A={任取1球?yàn)榧t球}；B={任取1球?yàn)楹?/p>

5、球}；C={任取1球?yàn)榘浊騷；D={任取1球?yàn)榫G球}，則 （1）取出1球?yàn)榧t球或黑球的概率為 （2）取出1球?yàn)榧t球或黑球或白球的概率為 [ 注：（1）解決此類問題，首先應(yīng)結(jié)合互斥事件和對立事件的定義分析出是不是互斥事件或?qū)α⑹录龠x擇概率公式進(jìn)行計(jì)算。 （2）求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運(yùn)用互斥事件的求和公式計(jì)算。二是間接求法，先求此事件的對立事件的概率，再用公式，即運(yùn)用逆向思維（正難則反），特別是“至多”，“至少”型題目，用間接求法就顯得較簡便。 （3）互斥事件、對立事件的定義是判斷兩事件

6、是否是互斥事件、對立事件的一種最有效、最簡便的基本方法。也可從集合角度來判斷，如果A，B是兩個(gè)互斥事件，反映在集合上是表示A，B兩個(gè)事件所含結(jié)果組成的集合的交集為空集，即A∩B=；如果A，B是對立事件，則在A∩B=的前提下，A與B的并集為全集。 二、古典概型 （一）寫出基本事件 ※相關(guān)鏈接※ 1．隨機(jī)試驗(yàn)滿足下列條件：（1）試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)做下去；（2）試驗(yàn)的所有結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；（3）每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個(gè)，但在試驗(yàn)之產(chǎn)卻不能肯定會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果。所以，隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能出現(xiàn)的結(jié)果是一個(gè)隨機(jī)事件，這類隨機(jī)事件叫做基本事件。 2．計(jì)算古典概型所

7、含基本事件總數(shù)的方法 （1）樹形圖 （2）列表法 （3）另外，還可以用坐標(biāo)系中的點(diǎn)來表示基本事件，進(jìn)而可計(jì)算基本事件總數(shù) （4）用排列組合求基本事件總數(shù)。 ※ 例題解析※ ※ 〖例〗做拋擲兩顆骰子的試驗(yàn)：用（x,y）表示結(jié)果，其中x表示第一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，y表示第二顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，寫出（1）試驗(yàn)的基本事件；（2）事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于8”；（3）事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等”；（4）事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于10”。 思路解析：拋擲兩顆骰子的試驗(yàn)，每次只有一種結(jié)果；且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的，所以該試驗(yàn)是古典概型，當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果較少時(shí)可用列舉法將所有結(jié)果一一列出。 解答：（1）這

8、個(gè)試驗(yàn)的基本事件為 （2）“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于8”包含以下10個(gè)基本事件： （3）“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等”包含以下6個(gè)基本事件：。 （4）“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于10”包含以下3個(gè)基本事件： （二）求簡單古典概型的概率 ※相關(guān)鏈接※ 求古典概型概率的步驟 （1）仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意； （2）判斷本試驗(yàn)的結(jié)晶是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A； （3）分別求出基本事件的總數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)m; （4）利用公式求出事件A的概率。 注：并不是所有的試驗(yàn)都是古典概型。例如，在適宜的條件下種下一粒種子觀察它是否“發(fā)芽”，這個(gè)試驗(yàn)的基本事件空間

9、為{發(fā)芽，不發(fā)芽}，而“發(fā)芽”與 “不發(fā)芽”這兩種結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)一般是不均等的。 ※例題解析※ 〖例〗如圖，在一個(gè)木制的棱長為3的正方體表面涂上顏色，將它的棱3等分，然后從等分點(diǎn)把正方體鋸開，得到27個(gè)棱長為1的小正方體，將這些小正方體充分混合后，裝入一個(gè)口袋中。 （1）從這個(gè)口袋中任意取出1個(gè)正方體，這個(gè)小正方體的表面恰好沒有顏色的概率是多少？ （2）從這個(gè)口袋中同時(shí)任意取出2個(gè)小正方體，其中1個(gè)小正方體恰好有1個(gè)面涂有顏色，另1個(gè)小正方體至少有2個(gè)面涂有顏色的概率是多少？ 思路解析：該模型為古典概型，基本事件個(gè)數(shù)是有限的，并且每個(gè)基本事件的發(fā)生的等可能的。 解答：

10、在27個(gè)小正方體中，恰好3個(gè)面都涂有顏色的共8個(gè)，恰好2個(gè)面涂有顏色的共12個(gè)，恰好1個(gè)面涂有顏色的共6個(gè)，表面沒涂顏色的確個(gè)。 （1）從27個(gè)小正方體中任意取出1個(gè)，共有種等可能的結(jié)果。因?yàn)樵?7個(gè)小正方體中，表面沒涂顏色的只有1個(gè)，所以從這個(gè)口袋中任意取出1個(gè)小正方體，而這個(gè)小正方體的表面恰好沒涂顏色的概率是。 （2）從27個(gè)小正方體中，同時(shí)任取2 個(gè)，共種等可能的結(jié)果。在這些結(jié)果中，有1個(gè)小正方體恰好有1個(gè)面涂有顏色，另1個(gè)小正方體至少有2個(gè)面涂有顏色包含的結(jié)果有種。所以從這個(gè)口袋中同時(shí)任意取出2個(gè)小正方體，其中1個(gè)小正體恰好有1個(gè)面涂有顏色，另1個(gè)小正方體至少有2個(gè)面涂有顏色的概率

11、是。 （三）復(fù)雜的古典概型的概率求法 〖例〗袋中有6個(gè)球，其中4個(gè)白球，2個(gè)紅球，從袋中任意取出2個(gè)球，求下列事件的概率： （1）A：取出的2個(gè)球都是白球； （2）B：取出的2個(gè)球中1個(gè)是白球，另1個(gè)是紅球。 思路解析：用列舉法求出基本事件總數(shù)n求出事件A、B包含的基本事件數(shù)m根據(jù)古典概型公式墳概率。 解答：設(shè)4個(gè)白球的編號(hào)為1，2，3，4，2個(gè)紅球的編號(hào)為5，6。從袋中的6個(gè)小球中任取2個(gè)的方法為 共15種。 （1）從袋中的6個(gè)球中任取2個(gè)，所取的2個(gè)球全是白球的方法總數(shù)，即是從4個(gè)白球中任取2個(gè)的方法總數(shù)，共有6種。即：∴取出的2個(gè)球全是白球的概率為 。 （

12、2）從袋中的6個(gè)球中任取2個(gè)，其中1個(gè)為紅球，而另1個(gè)為白球，其取法包括（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6）共8種?！嗳〕龅? 個(gè)球中1個(gè)是白球，另1個(gè)是紅球的概率為。 注：（1）在古典概型條件下，當(dāng)基本事件總數(shù)為n時(shí)，每一個(gè)基本事件發(fā)生的概率均為，要求事件A的概率，關(guān)鍵是求出基本事件總數(shù)n和事件A中所含基本事件數(shù)m，再由古典概型概率公式求出事件A的概率。 （2）含有“至多”、“至少”等類型的概率問題，從正面突破比較困難或者比較繁瑣時(shí)，可考慮其反面，即對立事件，然后應(yīng)用對立事件的性質(zhì)進(jìn)一步求解。 三、幾何概型 （一）與長度有關(guān)的

13、幾何概型 ※相關(guān)鏈接※ 1．如果試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長度表示，則其概率的計(jì)算公式為 P（A）=。 2．將每個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣，而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn)，這樣的概率模型就可以用幾何概型來求解。 ※例題解析※ 〖例〗在半徑為1的圓內(nèi)一條直徑上任取一點(diǎn)，過這個(gè)點(diǎn)作垂直于直徑的弦，則弦長超過圓內(nèi)接的等邊三角形邊長的概率是 思路解析：解決概率問題先判斷屬于什么概率模型，本題屬幾何概型，把問題轉(zhuǎn)化為化成：直徑上到圓心O的距離小于的點(diǎn)構(gòu)成的線段長與直徑

14、長之比。 解答：記事件A為“弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長”，如圖， 不妨在過等邊三角形BCD的頂點(diǎn)B的直徑BE上任取一點(diǎn)F作垂直于直徑的弦，當(dāng)弦為CD時(shí)，就是等邊三角形的邊長，弦長大于CD的充要條件是圓心O到弦的距離小于OF（此時(shí)F為OE中點(diǎn)），由幾何概型公式得：。 答案： （二）與面積（體積）有關(guān)的幾何概型 ※相關(guān)鏈接※ 1．如果試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用面積表示，則其概率的計(jì)算公式為： 。 2．“面積比”是求幾何概率的一種重要類型，也是在高考中常考的題型。 3．如果試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用體積表示，則其概率的計(jì)算公式為： 。 注：解

15、決此類問題一定要注意幾何概型的條件。 ※例題解析※ 〖例〗如圖，射箭比賽的箭靶涂有5個(gè)彩色的分環(huán)，從外向內(nèi)依次為白色、黑色、藍(lán)色、紅色，靶心為金色，金色靶心叫做“黃心”。奧運(yùn)會(huì)的比賽靶面直徑是122cm，靶心直徑是12.2cm，運(yùn)動(dòng)員在70米外射箭。假設(shè)運(yùn)動(dòng)員射的箭都能中靶，且射中靶面內(nèi)任一點(diǎn)是等可能的，那么射中“黃心”的概率是多少？ 思路解析：求出大圓的面積n求出“黃心”的面積m由幾何概型的概率求法得。 解答：記“射中黃心”為事件B，由于中靶點(diǎn)隨機(jī)地落在面積為的大圓內(nèi)，而當(dāng)中靶點(diǎn)落在面積為 的黃心時(shí)，事件B發(fā)生，于是事件B發(fā)生的概率為 ， 即“射中黃心”的概率是。 （

16、三）生活中的幾何概型 〖例〗兩人約定在20：00到21：00之間相見，并且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去，如果兩人出發(fā)是各自獨(dú)立的，在20：00到21：00各時(shí)刻相見的可能性是相等的，求兩人在約定時(shí)間內(nèi)相見的概率。 思路解析：兩人不論誰先到都要等遲到者40分鐘，即小時(shí)。設(shè)兩人分別于x時(shí)和y時(shí)到達(dá)約見地點(diǎn)，要使兩人在約定的時(shí)間范圍內(nèi)相見，當(dāng)且僅當(dāng)，因此轉(zhuǎn)化成面積問題，利用幾何概型求解。 解答：設(shè)兩人分別于x時(shí)和y時(shí)到達(dá)約見地點(diǎn)，要使兩人能在約定時(shí)間范圍內(nèi)相見，當(dāng)且僅當(dāng)。兩人到達(dá)約見地點(diǎn)所有時(shí)刻（x,y）的各種可能結(jié)果可用圖中的單位正方形內(nèi)（包括邊界）的點(diǎn)來表示，兩人能在約定的時(shí)間范圍內(nèi)

17、相見的所有時(shí)刻（x,y）的各種可能結(jié)果可用圖中的陰影部分（包括邊界）不表示。因此陰影部分與單位正方形的面積比就反映了兩人在約定時(shí)間范圍內(nèi)相遇的可能性的大小，也就是所求的概率為 注：對于活生生中的幾何概型問題： （1）要注意實(shí)際問題中的可能性的判斷； （2）將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何概型中的長度、角度、面積、體積等常見幾何概型的求解問題，構(gòu)造出隨機(jī)事件A對應(yīng)的幾何圖形，利用幾何圖形的度量來求隨機(jī)事件的概率，根據(jù)實(shí)際問題的具體情況，合理設(shè)置參數(shù)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，在此基礎(chǔ)上將試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果一一對應(yīng)于該坐標(biāo)系的點(diǎn)，便可構(gòu)造出度量區(qū)域。 （3）如果試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用角度來表示，則其概率公式為： 。解決此類問題事件A的角必須含在事件的全部構(gòu)成的角之內(nèi)。 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！