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一、函數(shù)與方程思想
函數(shù)思想
方程思想
函數(shù)思想的實質(zhì)是拋開所研究對象的非數(shù)學特征，用聯(lián)系和變化的觀點提出數(shù)學對象，抽象其數(shù)學特征，建立各變量之間固有的函數(shù)關系，通過函數(shù)形式，利用函數(shù)的有關性質(zhì)，使問題得到解決
方程思想的實質(zhì)就是將所求的量設成未知數(shù)，根據(jù)題中的等量關系，列方程(組)，通過解方程(組)或?qū)Ψ匠?組)進行研究，以求得問題的解決
函數(shù)與方程思想在一定的條件下是可以相互轉(zhuǎn)化的，是相輔相成的．函數(shù)思想重在對問題進行動態(tài)的研究，方程思想則是在動中求解，研究運動中的等量關系
方法一 點坐標代入函數(shù)(方程)法
模型解法
2、
點坐標代入函數(shù)(方程)法是指把點“放到”函數(shù)圖象中去“入套”，通過構造方程求解參數(shù)的方法．此方法適用于已知函數(shù)或函數(shù)圖象，給出滿足條件的點坐標，求其中的參數(shù)問題．破解此類題的關鍵點：
①點代入函數(shù)，把所給點坐標代入已知函數(shù)的解析式中，得到關于參數(shù)的方程或不等式．
②解含參方程，求解關于參數(shù)的方程或不等式．
③檢驗得結(jié)論，得出參數(shù)的值或取值范圍，最后代入方程或不等式進行檢驗．
典例1 函數(shù)y＝ax (a>0，且a≠1)的反函數(shù)的圖象過點(，a)，則a的值為( )
A．2 B．3
C．2或 D.
解析 因為函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的反函數(shù)為y＝logax
3、(a>0，且a≠1)，且y＝logax的圖象過點(，a)，
所以a＝loga，所以aa＝，
所以a＝，檢驗易知當a＝時，函數(shù)有意義．故選D.
答案 D
思維升華 應用此方法的易錯點是忘記檢驗，在解出方程后，一定要回頭望，把所求的解代入原函數(shù)中檢驗是否有意義．
跟蹤演練1 函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的反函數(shù)的圖象過點(a，)，則a的值為_____．
答案
解析 因為函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的反函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象過點(a，)，所以＝aa，
即＝aa，所以a＝.經(jīng)檢驗知a＝符合要求．
方法二 平面向量問題的函數(shù)
4、(方程)法
模型解法
平面向量問題的函數(shù)(方程)法是把平面向量問題，通過模、數(shù)量積等轉(zhuǎn)化為關于相應參數(shù)的函數(shù)(方程)問題，從而利用相關知識結(jié)合函數(shù)或方程思想來處理有關參數(shù)值問題．破解此類題的關鍵點：
①向量代數(shù)化，利用平面向量中的模、數(shù)量積等結(jié)合向量的位置關系、數(shù)量積公式等進行代數(shù)化，得到含有參數(shù)的函數(shù)(方程)．
②代數(shù)函數(shù)(方程)化，利用函數(shù)(方程)思想，結(jié)合相應的函數(shù)(方程)的性質(zhì)求解問題．
③得出結(jié)論，根據(jù)條件建立相應的關系式，并得到對應的結(jié)論．
典例2 已知a，b，c為平面上的三個向量，又a，b是兩個相互垂直的單位向量，向量c滿足|c|＝3，c·a＝2，c
5、3;b＝1，則對于任意實數(shù)x，y，|c－xa－yb|的最小值為______．
解析 由題意可知|a|＝|b|＝1，
a·b＝0，又|c|＝3，c·a＝2，c·b＝1，
所以|c－xa－yb|2＝|c|2＋x2|a|2＋y2|b|2－2xc·a－2yc·b＋2xya·b
＝9＋x2＋y2－4x－2y＝(x－2)2＋(y－1)2＋4，
當且僅當x＝2，y＝1時，|c－xa－yb|＝4，
所以|c－xa－yb|的最小值為2.
答案 2
思維升華 平面向量中含函數(shù)(方程)的相關知識，對平面向量的模進行平方處理，把模問題轉(zhuǎn)化為數(shù)
6、量積問題，再利用函數(shù)與方程思想來分析與處理，這是解決此類問題一種比較常見的思維方式．
跟蹤演練2 已知e1，e2是平面上兩相互垂直的單位向量，若平面向量b滿足|b|＝2，b·e1＝1，b·e2＝1，則對于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|的最小值為________．
答案
解析 |b－(xe1＋ye2)|2＝b2＋x2e＋y2e－2xb·e1－2yb·e2＋2xye1·e2＝22＋x2＋y2－2x－2y
＝(x－1)2＋(y－1)2＋2≥2，
當且僅當x＝1，y＝1時，|b－(xe1＋ye2)|2取得最小值，
此時|b－(
7、xe1＋ye2)|取得最小值.
方法三 不等式恰成立問題函數(shù)(方程)法
模型解法
含參不等式恰成立問題函數(shù)(方程)法是指通過構造函數(shù)，把恰成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題，從而得到關于參數(shù)的方程的方法．破解此類題的關鍵點：
①靈活轉(zhuǎn)化，即“關于x的不等式f(x)<g(a)在區(qū)間D上恰成立”轉(zhuǎn)化為“函數(shù)y＝f(x)在D上的值域是(－∞，g(a))”；“不等式f(x)>g(a)在區(qū)間D上恰成立”轉(zhuǎn)化為“函數(shù)y＝f(x)在D上的值域是(g(a)，＋∞)”．
②求函數(shù)值域，利用函數(shù)的單調(diào)性、導數(shù)、圖象等求函數(shù)的值域．
③得出結(jié)論，列出參數(shù)a所滿足的方程，通過解方程，求出a的值．
8、典例3 關于x的不等式ex－－1－x≥0在上恰成立，則a的取值集合為________．
解析 關于x的不等式ex－－1－x≥0在上恰成立?函數(shù)g(x)＝在上的值域為.
因為g′(x)＝，
令φ(x)＝ex(x－1)－x2＋1，x∈，
則φ′(x)＝x(ex－1)．
因為x≥，所以φ′(x)>0，
故φ(x)在上單調(diào)遞增，
所以φ(x)≥φ＝－>0.
因此g′(x)>0，故g(x)在上單調(diào)遞增，
則g(x)≥g＝＝2－，
所以a－＝2－，解得a＝2，
所以a的取值集合為{2}．
答案 {2}
思維升華 求解此類含參不等式恰成立問題時注意與含參不等式恒成
9、立問題區(qū)分開，含參不等式恰成立問題一般轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域，得參數(shù)的方程；而含參不等式恒成立問題一般轉(zhuǎn)化為最值問題．
跟蹤演練3 關于x的不等式x＋－1－a2＋2a>0在(2，＋∞)上恰成立，則a的取值集合為__________．
答案 {－1,3}
解析 關于x的不等式x＋－1－a2＋2a>0在(2，＋∞)上恰成立?函數(shù)f(x)＝x＋在(2，＋∞)上的值域為(a2－2a＋1，＋∞)．
由f(x)＝x＋，x∈(2，＋∞)，
可得f′(x)＝1－＝>0，
所以f(x)＝x＋在(2，＋∞)上為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以f(x)>f(2)＝4.
又關于x的不等式x＋&
10、gt;a2－2a＋1在(2，＋∞)上恰成立，所以a2－2a＋1＝4，解得a＝－1或a＝3.
方法四 解析幾何問題的函數(shù)(方程)法
模型解法
解析幾何問題的函數(shù)(方程)法是解決解析幾何問題中比較常見的一種方法，通過函數(shù)(方程)法把解析幾何問題代數(shù)化，利用函數(shù)或方程進行求解，其關鍵是根據(jù)題意，構造恰當?shù)暮瘮?shù)或建立相應的方程解決問題．破解此類題的關鍵點：
①代數(shù)化，把直線、圓、圓錐曲線以及直線與圓、直線與圓錐曲線的位置關系等轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，構造函數(shù)解析式或方程．
②函數(shù)(方程)應用，利用函數(shù)的相關性質(zhì)或方程思想來求解含有參數(shù)的解析幾何問題．
③得出結(jié)論，結(jié)合解析幾何中的限制條件和函數(shù)(
11、方程)的結(jié)論得出最終結(jié)論．
典例4 已知直線l過定點S(4,0)，與＋＝1(x≠±2)交于P，Q兩點，點P關于x軸的對稱點為P′，連接P′Q交x軸于點T，當△PQT的面積最大時，直線l的方程為_____．
解析 設直線l的方程為x＝ky＋4(k≠0)，
聯(lián)立
消去x得(3k2＋4)y2＋24ky＋36＝0，
Δ＝576k2－4×36(3k2＋4)＝144(k2－4)>0，即k2>4.
設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則P′(x1，－y1)．
由根與系數(shù)的關系，得
直線P′Q的方程為y＝(x－x1)－y1，
令y＝0，得x＝
＝
＝
12、，
將①②代入上式得x＝1，
即T(1,0)，所以|ST|＝3，
所以S△PQT＝|S△STQ－S△STP|
＝|ST||y1－y2|＝
＝·
＝＝
＝≤，
當且僅當k2＝，即k＝±時取等號．
故所求直線l的方程為x＝y(tǒng)＋4或x＝－y＋4.
答案 x＝y(tǒng)＋4或x＝－y＋4
思維升華 直線與圓錐曲線的綜合問題，通常借助根的判別式和根與系數(shù)的關系進行求解，這是方程思想在解析幾何中的重要應用．解析幾何問題的方程(函數(shù))法可以拓展解決解析幾何問題的思維，通過代數(shù)運算、方程判定等解決解析幾何中的位置關系、參數(shù)取值等問題．
跟蹤演練4 橢圓C1：＋＝1和圓C2：
13、x2＋(y＋1)2＝r2 (r>0)，若兩條曲線沒有公共點，則r的取值范圍是______________．
答案 (0,1)∪
解析 方法一 聯(lián)立C1和C2的方程，消去x，
得到關于y的方程－y2＋2y＋10－r2＝0， ①
方程①可變形為r2＝－y2＋2y＋10，
把r2＝－y2＋2y＋10看作關于y的函數(shù)．
由橢圓C1可知，－2≤y≤2，
因此，求使圓C2與橢圓C1有公共點的r的集合，等價于在定義域為y∈[－2,2]的情況下，求函數(shù)r2＝f(y)＝－y2＋2y＋10的值域．
由f(－2)＝1，f(2)＝9，f ＝，
可得f(y)的值域是r2∈，即r∈，
14、它的補集就是圓C2與橢圓C1沒有公共點的r的集合，因此，兩條曲線沒有公共點的r的取值范圍是(0,1)∪.
方法二 聯(lián)立C1和C2的方程消去x，得到關于y的方程－y2＋2y＋10－r2＝0.①
兩條曲線沒有公共點，等價于方程－y2＋2y＋10－r2＝0要么沒有實數(shù)根，要么有兩個根y1，y2?[－2,2]．
若沒有實數(shù)根，則Δ＝4－4××(10－r2)<0，
解得r>或r<－.
若兩個根y1，y2?[－2,2]，設φ(y)＝－y2＋2y＋10－r2，其圖象的對稱軸方程為y＝∈[－2,2]．
則又r>0，解得0<r<1.
因此，兩條曲線沒有公共點的r的取值范圍是(0,1)∪.
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高考數(shù)學二輪復習 考前數(shù)學思想領航 一 函數(shù)與方程思想講學案 理
