《高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科： 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第4節(jié) 函數(shù)y＝Asinωx＋φ的圖像及應(yīng)用學(xué)案 理 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科： 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第4節(jié) 函數(shù)y＝Asinωx＋φ的圖像及應(yīng)用學(xué)案 理 北師大版（9頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第四節(jié)　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像及應(yīng)用 [考綱傳真]　(教師用書獨(dú)具)1.了解函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的物理意義；能畫出函數(shù)的圖像，了解參數(shù)A，ω，φ對函數(shù)圖像變化的影響.2.會用三角函數(shù)解決一些簡單實(shí)際問題，體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型． (對應(yīng)學(xué)生用書第54頁) [基礎(chǔ)知識填充] 1．y＝Asin (ωx＋φ)的有關(guān)概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)，表示一個振動量時 振幅 周期 頻率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 2.用五點(diǎn)法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個周期內(nèi)的簡圖時，要找五

2、個關(guān)鍵點(diǎn)，如下表所示 x － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3.由y＝sin x的圖像變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的圖像 圖3­4­1 [知識拓展] 1．由y＝sin ωx到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的變換：向左平移個單位長度而非φ個單位長度． 2．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的對稱軸由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z確定；對稱中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z確定其橫坐標(biāo)． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確

3、的打“√”，錯誤的打“×”) (1)利用圖像變換作圖時“先平移，后伸縮”與“先伸縮，后平移”中平移的單位長度一致．(　　) (2)將y＝3sin 2x的圖像左移個單位后所得圖像的解析式是y＝3sin.(　　) (3)y＝sin的圖像是由y＝sin的圖像向右平移個單位得到的．(　　) (4)函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為T，那么函數(shù)圖像的兩個相鄰對稱中心之間的距離為.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(教材改編)y＝2sin的振幅，頻率和初相分別為(　　) A．2,4π，　　　　 B．2，， C．2，，－ D

4、．2,4π，－ C　[由題意知A＝2，f＝＝＝，初相為－.] 3．為了得到函數(shù)y＝sin的圖像，只需把函數(shù)y＝sin x的圖像上所有的點(diǎn)(　　) A．向左平行移動個單位長度 B．向右平行移動個單位長度 C．向上平行移動個單位長度 D．向下平行移動個單位長度 A　[把函數(shù)y＝sin x的圖像上所有的點(diǎn)向左平行移動個單位長度就得到函數(shù)y＝sin的圖像．] 4．用五點(diǎn)法作函數(shù)y＝sin在一個周期內(nèi)的圖像時，主要確定的五個點(diǎn)是________、________、________、________、________. ；；；；　[分別令x－＝0，，π，π，2π，即可得五個點(diǎn)的橫坐標(biāo)(縱

5、坐標(biāo)分別為0,1,0，－1,0)．] 5．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的圖像如圖3­4­2所示，則ω＝________. 圖3­4­2 　[由題圖可知，＝－＝， 即T＝，所以＝，故ω＝.] (對應(yīng)學(xué)生用書第55頁) 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像及變換 　已知函數(shù)f(x)＝3sin，x∈R. (1)畫出函數(shù)f(x)在一個周期的閉區(qū)間上的簡圖； (2)將函數(shù)y＝sin x的圖像作怎樣的變換可得到f(x)的圖像？ 【導(dǎo)學(xué)號：79140116】 [解]　(1)列表取值： x π π

6、π π x－ 0 π π 2π f(x) 0 3 0 －3 0 描出五個關(guān)鍵點(diǎn)并用光滑曲線連接，得到一個周期的簡圖． (2)先把y＝sin x的圖像向右平移個單位，然后把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，再把所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的3倍，得到f(x)的圖像． [規(guī)律方法]　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖像的作法,(1)五點(diǎn)法：用“五點(diǎn)法”作y＝Asin(ωx＋φ)的簡圖，主要是通過變量代換，令z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π來求出相應(yīng)的x，通過列表得出五點(diǎn)坐標(biāo)，描點(diǎn)，連線后得出圖像.,(2)圖像變換法：由函數(shù)y＝sin x的圖像通

7、過變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖像有兩種途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”，對于后者可利用ωx＋φ＝ω確定平移單位. [跟蹤訓(xùn)練]　(1)(20xx·全國卷Ⅰ)已知曲線C1：y＝cos x，C2：y＝sin，則下面結(jié)論正確的是(　　) A．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2 B．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2 C．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2 D．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短

8、到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2 (2)(20xx·呼和浩特一調(diào))設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)向左平移個單位長度后得到的函數(shù)是一個偶函數(shù)，則φ＝________. (1)D　(2)－　[(1)因?yàn)閥＝sin＝cos＝cos，所以曲線C1：y＝cos x上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到曲線y＝cos 2x，再把得到的曲線y＝cos 2x向左平移個單位長度，得到曲線y＝cos 2＝cos.故選D． (2)由題意得y＝sin是一個偶函數(shù)，因此＋φ＝＋kπ(k∈Z)，即φ＝－＋kπ(k∈Z)．因?yàn)閨φ|＜，所以φ＝－.]

9、 求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 　(1)(20xx·全國卷Ⅱ)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖像如圖3­4­3所示，則(　　) 圖3­4­3 A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin (2)已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的最大值為4，最小值為0，最小正周期為，直線x＝是其圖像的一條對稱軸，則下面各式中符合條件的解析式為(　　) A．y＝4sin B．y＝2sin＋2 C．y＝2sin＋2 D．y＝2sin＋2 (1)A　(2)D　[(1)由圖像

10、知＝－＝，故T＝π，因此ω＝＝2.又圖像的一個最高點(diǎn)坐標(biāo)為，所以A＝2，且2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ－(k∈Z)，結(jié)合選項(xiàng)可知y＝2sin.故選A． (2)由函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b的最大值為4，最小值為0，可知b＝2，A＝2.由函數(shù)的最小正周期為，可知＝，得ω＝4.由直線x＝是其圖像的一條對稱軸，可知4×＋φ＝kπ＋，k∈Z，從而φ＝kπ－，k∈Z，故滿足題意的是y＝2sin＋2.] [規(guī)律方法]　確定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步驟和方法,(1)求A，b：確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A＝，b＝.,(2)求ω：確定函數(shù)

11、的周期T，則可得ω＝.,(3)求φ：常用的方法有：,①代入法：把圖像上的一個已知點(diǎn)代入(此時A，ω，b已知)或代入圖像與直線y＝b的交點(diǎn)求解(此時要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上).,②五點(diǎn)法：確定φ值時，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的某一個點(diǎn)為突破口.“第一點(diǎn)”(即圖像上升時與x軸的交點(diǎn))時ωx＋φ＝0；“第二點(diǎn)”(即圖像的“峰點(diǎn)”)時ωx＋φ＝；“第三點(diǎn)”(即圖像下降時與x軸的交點(diǎn))時ωx＋φ＝π；“第四點(diǎn)”(即圖像的“谷點(diǎn)”)時ωx＋φ＝；“第五點(diǎn)”時ωx＋φ＝2π. [跟蹤訓(xùn)練]　(20xx·石家莊一模)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分圖像如圖3&

12、#173;4­4所示，則f的值為(　　) 圖3­4­4 A．－　 B．－　　　C．－　　　D．－1 D　[由圖像可得A＝，最小正周期T＝4＝π，則ω＝＝2.又f＝sin＝－，解得φ＝－＋2kπ(k∈Z)，即k＝1，φ＝，則f(x)＝sin，f＝sin＝sin＝－1，故選D．] 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖像與性質(zhì)的應(yīng)用 　(20xx·合肥二檢)已知函數(shù)f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω＞0)的最小正周期為π. (1)求函數(shù)y＝f(x)的圖像的對稱軸方程； (2)討論函數(shù)f(x)在上的單調(diào)性． [解]　(1)∵f(x

13、)＝sin ωx－cos ωx＝sin， 且T＝π，∴ω＝＝2. 于是f(x)＝sin. 令2x－＝kπ＋(k∈Z)， 得x＝＋(k∈Z)， 即函數(shù)f(x)的圖像的對稱軸方程為x＝＋(k∈Z)． (2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)， 得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)． 因?yàn)閤∈，令k＝0， 得函數(shù)f(x)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為； 同理其單調(diào)遞減區(qū)間為. [規(guī)律方法]　三角函數(shù)圖像與性質(zhì)應(yīng)用問題的求解思路,先將y＝f(x)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的圖像和性質(zhì)(如定義域、值域、最值、周期性、對稱性、單調(diào)性等)解決相

14、關(guān)問題. [跟蹤訓(xùn)練]　設(shè)函數(shù)f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω＞0)，且y＝f(x)圖像的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為. (1)求ω的值； (2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值． [解]　(1)f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx ＝－·－sin 2ωx ＝cos 2ωx－sin 2ωx＝－sin. 因?yàn)閳D像的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為，又ω＞0，所以＝4×，因此ω＝1. (2)由(1)知f(x)＝－sin. 當(dāng)π≤x≤時，≤2x－≤， 所以－≤sin≤1，則－1≤f(x)≤. 故f(x)在區(qū)間上的

15、最大值和最小值分別為，－1. 三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用 　某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度(單位：℃)隨時間t(單位：h)的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24)． (1)求實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差； (2)若要求實(shí)驗(yàn)室溫度不高于11 ℃，則在哪段時間實(shí)驗(yàn)室需要降溫？ 【導(dǎo)學(xué)號：79140117】 [解]　(1)因?yàn)閒(t)＝10－2＝10－2sin， 又0≤t＜24， 所以≤t＋＜，－1≤sin≤1. 當(dāng)t＝2時，sin＝1； 當(dāng)t＝14時，sin＝－1. 于是f(t)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8. 故實(shí)驗(yàn)室這一天最高溫度為

16、12 ℃，最低溫度為8 ℃，最大溫差為4 ℃. (2)依題意，當(dāng)f(t)＞11時實(shí)驗(yàn)室需要降溫． 由(1)得f(t)＝10－2sin， 故有10－2sin＞11， 即sin＜－. 又0≤t＜24，因此＜t＋＜，即10＜t＜18. 故在10時至18時實(shí)驗(yàn)室需要降溫． [規(guī)律方法]　三角函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用類型及解題關(guān)鍵 (1)已知函數(shù)解析式，利用三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決問題，其關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解自變量的意義及函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系. (2)函數(shù)解析式未知時，需把實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，建立三角函數(shù)模型，再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決問題，其關(guān)鍵是建模. [跟蹤訓(xùn)練]　如圖3­4­5，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y＝3sin＋k.據(jù)此函數(shù)可知，這段時間水深(單位：m)的最大值為(　　) 圖3­4­5 A．5　　 B．6　　　　C．8　　　　D．10 C　[根據(jù)圖像得函數(shù)的最小值為2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值為3＋k＝8.]