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1、 課時作業(yè)(四十五)　直線、平面垂直的判定和性質 一、選擇題 1．(20xx珠海模擬)在空間中，l，m，n，a，b表示直線，α表示平面，則下列命題正確的是(　　) A．若l∥α，m⊥l，則m⊥α B．若l⊥m，m⊥n，則m∥n C．若a⊥α，a⊥b，則b∥α D．若l⊥α，l∥a，則a⊥α 解析：對于A，m與α位置關系不確定，故A錯，對于B，當l與m，m與n為異面垂直時，m與n可能異面或相交，故B錯，對于C，也可能b?α，故C錯，對于D，由線面垂直的定義可知正確。 答案：D 2．已知平面α與平面β相交，直線m⊥α，則(　　) A．β內必存在直線與m平行，且存在直線與

2、m垂直 B．β內不一定存在直線與m平行，不一定存在直線與m垂直 C．β內不一定存在直線與m平行，但必存在直線與m垂直 D．β內必存在直線與m平行，不一定存在直線與m垂直 解析：如圖，在平面β內的直線若與α，β的交線a平行，則有m與之垂直．但卻不一定在β內有與m平行的直線，只有當α⊥β時才存在。 答案：C 3．如圖，在正四面體P－ABC中，D，E，F分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結論不成立的是(　　) A．BC∥平面PDF B. DF⊥平面PAE C. 平面PDF⊥平面PAE D. 平面PDE⊥平面ABC 解析：因BC∥DF，DF?平面PDF，BC?平面PD

3、F，所以BC∥平面PDF，A成立；易證BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以結論B，C均成立；點P在底面ABC內的射影為△ABC的中心，不在中位線DE上，故結論D不成立。 答案：D 4．(20xx太原模擬)已知α，β是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，則下列命題中不正確的是(　　) A．若m∥n，m⊥α，則n⊥α B．若m⊥α，m?β，則α⊥β C．若m⊥β，m⊥α，則α∥β D．若m∥α，α∩β＝n，則m∥n 解析：選項A是線面垂直的性質定理；選項B是兩個平面垂直的判定定理；選項C是兩個平面平行的判定方法之一；選項D中，若m∥α，a∩β＝n，則只能得到m，n沒有公共點，于是m

4、∥n或m，n異面。 答案：D 5．(20xx杭州模擬)已知l，m為不同的直線，α，β為不同的平面，如果l?α，且m?β，那么下列命題中不正確的是(　　) A．“l(fā)⊥β”是“α⊥β”的充分不必要條件 B．“l(fā)⊥m”是“l(fā)⊥β”的必要不充分條件 C．“m∥α”是“l(fā)∥m”的充要條件 D．“l(fā)⊥m”是“α⊥β”的既不充分也不必要條件 解析：對于A中命題由“l(fā)⊥β”可得“α⊥β”，但反之不一定，故A中命題正確；對于B中命題，“l(fā)⊥m”不一定有“l(fā)⊥β”，但反之成立，故B中命題正確；對于C中命題，因為m∥α?l∥m或l與m為異面直線，所以“m∥α” l∥m，故C錯誤；對于D中命題，“l(fā)⊥m

5、” “α⊥β”，反之亦然，故D中命題正確，故選C。 答案：C 6．如圖所示，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45，∠BAD＝90，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構成三棱錐A－BCD，則在三棱錐A－BCD中，下列命題正確的是(　　) A．AD⊥平面BCD B．AB⊥平面BCD C．平面BCD⊥平面ABC D．平面ADC⊥平面ABC 解析：在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45，∠BAD＝90，所以BD⊥CD， 又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，所以CD⊥AB， 又AD⊥A

6、B，AD∩CD＝D， 故AB⊥平面ADC，從而平面ABC⊥平面ADC。 答案：D 二、填空題 7．(20xx天津模擬)已知不同直線m，n與不同平面α，β，給出下列三個命題： ①若m∥α，n∥α，則m∥n； ②若m∥α，n⊥α，則n⊥m； ③若m⊥α，m∥β，則α⊥β。 其中真命題的個數是________個。 解析：①平行于同一平面的兩直線不一定平行，所以①錯誤。②根據線面垂直的性質可知②正確。③根據面面垂直的性質和判斷定理可知③正確，所以真命題的個數是2個。 答案：2 8．在△ABC中，∠ACB＝90，AB＝8，∠ABC＝60，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上一個動

7、點，則PM的最小值為__________。 解析：∵PC⊥平面ABC，CM?平面ABC， ∴PC⊥CM，∴PM＝＝。 要使PM最小，只需CM最小，此時CM⊥AB， ∴CM＝＝2，∴PM的最小值為2。 答案：2 9．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中點，點F在線段AA1上，當AF＝________時，CF⊥平面B1DF。 解析：由題意易知B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF。 要使CF⊥平面B1DF， 只需CF⊥DF即可。令CF⊥DF，設AF＝x， 則A1

8、F＝3a－x。 由Rt△CAF∽Rt△FA1D，得＝， 即＝， 整理得x2－3ax＋2a2＝0，解得x＝a或x＝2a。 答案：a或2a 三、解答題 10. (20xx日照模擬)如圖所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥側面BB1C1C，已知BC＝1，∠BCC1＝，AB＝CC1＝2。 (1)求證C1B⊥平面ABC。 (2)設E是CC1的中點，求AE和平面ABC1所成角的正弦值的大小。 解析：(1)因為BC＝1，∠BCC1＝，CC1＝2，所以BC1＝，BC2＋BC＝CC，所以BC1⊥BC。因為AB⊥側面BB1C1C，BC1?平面BB1C1C，所以BC1⊥AB。因為BC∩AB

9、＝B，所以C1B⊥平面ABC。 (2)由AB⊥側面BB1C1C，AB?平面ABC1，得平面BCC1B1⊥平面ABC1，過E作BC1的垂線交BC1于F，則EF⊥平面ABC1，連接AF，則∠EAF為所求的角。因為BC⊥BC1，EF⊥BC1，所以BC∥EF，因為E為C1C的中點，所以F為C1B的中點，EF＝。又因為AE＝＝＝， 所以sin∠EAF＝＝。 11. (20xx廣州模擬)如圖所示，已知E，F分別是正方形ABCD邊BC，CD的中點，EF與AC交于點O，PA，NC都垂直于平面ABCD，且PA＝AB＝4，NC＝2，M是線段PA上一動點。 (1)求證：平面PAC⊥平面NEF。 (2)若

10、PC∥平面MEF，試求PM∶MA的值。 (3)若M是PA中點時，求二面角M－EF－N的余弦值。 解析：(1)連接BD， 因為PA⊥平面ABCD， BD?平面ABCD，所以PA⊥BD， 又因為BD⊥AC， AC∩PA＝A， 所以BD⊥平面PAC， 又因為E，F分別是BC，CD的中點，所以EF∥BD， 所以EF⊥平面PAC，又EF?平面NEF， 所以平面PAC⊥平面NEF。 (2)連接OM，因為PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF＝OM，所以PC∥OM， 所以＝＝，故PM∶MA＝1∶3。 (3)因為EF⊥平面PAC，OM?平面PAC，所以EF⊥OM，在等腰三角形N

11、EF中，點O為EF的中點，所以NO⊥EF， 所以∠MON為所求二面角M－EF－N的平面角， 因為點M是PA的中點，所以AM＝NC＝2， 所以在矩形MNCA中，可求得MN＝AC＝4，NO＝，MO＝，在△MON中，由余弦定理可求得cos∠MON＝＝－， 所以二面角M－EF－N的余弦值為－。 12．如圖，AB為圓O的直徑，點E，F在圓O上，AB∥EF，矩形ABCD和圓O所在的平面互相垂直。已知AB＝2，EF＝1。 (1)求證：平面DAF⊥平面CBF。 (2)求直線AB與平面CBF所成角的大小。 (3)當AD的長為何值時，二面角D－FE－B的大小為60。 解析：(1)因為平面AB

12、CD⊥平面ABEF，CB⊥AB， 平面ABCD∩平面ABEF＝AB， 所以CB⊥平面ABEF。 因為AF?平面ABEF，所以AF⊥CB， 又因為AB為圓O的直徑，所以AF⊥BF， 所以AF⊥平面CBF。 因為AF?平面ADF，所以平面DAF⊥平面CBF。 (2)根據(1)的證明，有AF⊥平面CBF， 所以FB為AB在平面CBF上的射影， 所以∠ABF為直線AB與平面CBF所成的角， 因為AB∥EF，所以四邊形ABEF為等腰梯形， 過點F作FH⊥AB，交AB于H。 已知AB＝2，EF＝1，則AH＝＝。 在Rt△AFB中，根據射影定理AF2＝AHAB，得AF＝1。sin∠ABF＝＝，所以∠ABF＝30。 所以直線AB與平面CBF所成角的大小為30。 (3)過A作AG⊥EF于G，連接DG，則∠AGD是二面角D－FE－B的平面角。所以∠AGD＝60。 由AG⊥EF和AB∥EF知，AG⊥AB。所以∠FAG＝∠ABF＝30。 在Rt△AFG中，AF＝1，則AG＝AFcos30＝。 在Rt△AGD中，AG＝，則AD＝AGtan60＝＝。 因此，當AD的長為時，二面角D－FE－B的大小為60。