《高初中數(shù)學的銜接講座[共42頁]》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高初中數(shù)學的銜接講座[共42頁]（42頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、高初中數(shù)學的銜接講座-育才編（全套，新課標人教A版） 如何做好高、初中數(shù)學的銜接 ● 第一講 如何學好高中數(shù)學 ● 初中生經過中考的奮力拼搏，剛跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中課程學好的愿望。但經過一段時間，他們普遍感覺高中數(shù)學并非想象中那么簡單易學，而是太枯燥、乏味、抽象、晦澀，有些章節(jié)如聽天書。在做習題、課外練習時，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知從何下手。相當部分學生進入數(shù)學學習的“困難期”，數(shù)學成績出現(xiàn)嚴重的滑坡現(xiàn)象。漸漸地他們認為數(shù)學神秘莫測，從而產生畏懼感，動搖了學好數(shù)學的信心，甚至失去了學習數(shù)學的興趣。造成這種現(xiàn)象的原因是多方面的，但最主要

2、的根源還在于初、高中數(shù)學教學上的銜接問題。下面就對造成這種現(xiàn)象的一些原因加以分析、總結。希望同學們認真吸取前人的經驗教訓，搞好自己的數(shù)學學習。 一 高中數(shù)學與初中數(shù)學特點的變化 1 數(shù)學語言在抽象程度上突變。不少學生反映，集合、映射等概念難以理解，覺得離生活很遠，似乎很“玄”。確實，初、高中的數(shù)學語言有著顯著的區(qū)別。初中的數(shù)學主要是以形象、通俗的語言方式進行表達。而高一數(shù)學一下子就觸及抽象的集合語言、邏輯運算語言以及以后要學習到的函數(shù)語言、空間立體幾何等。 2 思維方法向理性層次躍遷。高中數(shù)學思維方法與初中階段大不相同。初中階段，很多老師為學生將各種題建立了統(tǒng)一的思維模式，如解分式方程

3、分幾步；因式分解先看什么，再看什么。即使是思維非常靈活的平面幾何問題，也對線段相等、角相等,分別確定了各自的思維套路。因此，初中學習中習慣于這種機械的、便于操作的定勢方式。高中數(shù)學在思維形式上產生了很大的變化，數(shù)學語言的抽象化對思維能力提出了高要求。當然，能力的發(fā)展是漸進的，不是一朝一夕的。這種能力要求的突變使很多高一新生感到不適應，故而導致成績下降。高一新生一定要能從經驗型抽象思維向理論型抽象思維過渡，最后還需初步形成辯證型思維。 3 知識內容的整體數(shù)量劇增。高中數(shù)學在知識內容的“量”上急劇增加了。例如：高一《代數(shù)》第一章就有基本概念52個，數(shù)學符號28個；《立體幾何》第一章有基本概念37

4、個，基本公理、定理和推論21個；兩者合在一起僅基本概念就達89個之多，并集中在高一第一學期學習，形成了概念密集的學習階段。加之高中一年級第一學期只有七十多課時，輔助練習、消化的課時相應地減少了。使得數(shù)學課時吃緊，因而教學進度一般較快，從而增加了教與學的難度。這樣，不可避免地造成學生不適應高中數(shù)學學習，而影響成績的提高。這就要求：第一，要做好課后的復習工作，記牢大量的知識。第二，要理解掌握好新舊知識的內在聯(lián)系，使新知識順利地同化于原有知識結構之中。第三，因知識教學多以零星積累的方式進行的，當知識信息量過大時，其記憶效果不會很好，因此要學會對知識結構進行梳理，形成板塊結構，實行“整體集裝”。如表格

5、化，使知識結構一目了然；類化，由一例到一類，由一類到多類，由多類到統(tǒng)一；使幾類問題同構于同一知識方法。第四，要多做總結、歸類，建立主體的知識結構網絡。 二 不良的學習狀態(tài) 1 學習習慣因依賴心理而滯后。初中生在學習上的依賴心理是很明顯的。第一，為提高分數(shù)，初中數(shù)學教師將各種題型都一一羅列，學生依賴于教師為其提供套用的“模子”；第二，家長望子成龍心切，回家后輔導也是常事。升入高中后，教師的教學方法變了，套用的“模子”沒有了，家長輔導的能力也跟不上了。許多同學進入高中后，還象初中那樣，有很強的依賴心理，跟隨老師慣性運轉，沒有掌握學習的主動權。表現(xiàn)在不定計劃，坐等上課，課前沒有預習，對老師要上

6、課的內容不了解，上課忙于記筆記，沒聽到“門道”。 2 思想松懈。有些同學把初中的那一套思想移植到高中來。他們認為自已在初一、二時并沒有用功學習，只是在初三臨考時才發(fā)奮了一、二個月就輕而易舉地考上了高中，有的還是重點中學里的重點班，因而認為讀高中也不過如此。高一、高二根本就用不著那么用功，只要等到高三臨考時再發(fā)奮一、二個月，也一樣會考上一所理想的大學的。存有這種思想的同學是大錯特錯的。有多少同學就是因為高一、二不努力學習，臨近高考了，發(fā)現(xiàn)自己缺漏了很多知識再彌補后悔晚矣。 3 學不得法。老師上課一般都要講清知識的來龍去脈，剖析概念的內涵，分析重點難點，突出思想方法。而一部分同學上課沒能專心聽

7、課，對要點沒聽到或聽不全，筆記記了一大本，問題也有一大堆；課后又不能及時鞏固、總結、尋找知識間的聯(lián)系，只是趕做作業(yè)，亂套題型，對概念、法則、公式、定理一知半解，機械模仿，死記硬背。還有些同學晚上加班加點，白天無精打采，或是上課根本不聽，自己另搞一套，結果是事倍功半，收效甚微。 4 不重視基礎。一些“自我感覺良好”的同學，常輕視基礎知識、基本技能和基本方法的學習與訓練，經常是知道怎么做就算了，而不去認真演算書寫，但對難題很感興趣，以顯示自己的“水平”，好高騖遠，重“量”輕“質”，陷入題海。到正規(guī)作業(yè)或考試中不是演算出錯就是中途“卡殼”。 5 進一步學習條件不具備。高中數(shù)學與初中數(shù)學相比，知識

8、的深度、廣度，能力要求都是一次飛躍。這就要求必須掌握基礎知識與技能為進一步學習作好準備。高中數(shù)學很多地方難度大、方法新、分析能力要求高。如二次函數(shù)值的求法、實根分布與參變量的討論、，三角公式的變形與靈活運用、空間概念的形成、排列組合應用題及實際應用問題等。有的內容還是初中教材都不講的脫節(jié)內容，如不采取補救措施，查缺補漏，就必然會跟不上高中學習的要求。 三 科學地進行學習 高中學生僅僅想學是不夠的，還必須“會學”，要講究科學的學習方法，提高學習效率，才能變被動學習為主動學習，才能提高學習成績。 1 培養(yǎng)良好的學習習慣。反復使用的方法將變成人們的習慣。什么是良好的學習習慣？良好的學習習慣包

9、括制定計劃、課前自學、專心上課、及時復習、獨立作業(yè)、解決疑難、系統(tǒng)小結和課外學習幾個方面。 (1)制定計劃使學習目的明確，時間安排合理，不慌不忙，穩(wěn)扎穩(wěn)打，它是推動主動學習和克服困難的內在動力。但計劃一定要切實可行，既有長遠打算，又有短期安排，執(zhí)行過程中嚴格要求自己，磨煉學習意志。 (2)課前自學是上好新課、取得較好學習效果的基礎。課前自學不僅能培養(yǎng)自學能力，而且能提高學習新課的興趣，掌握學習的主動權。自學不能走過場，要講究質量，力爭在課前把教材弄懂，上課著重聽老師講思路，把握重點，突破難點，盡可能把問題解決在課堂上。 (3)上課是理解和掌握基礎知識、基本技能和基本方法的關鍵環(huán)節(jié)?！皩W然

10、后知不足”，課前自學過的同學上課更能專心聽課，他們知道什么地方該詳，什么地方可以一帶而過，該記的地方才記下來，而不是全抄全錄，顧此失彼。 (4)及時復習是高效率學習的重要一環(huán)。通過反復閱讀教材，多方面查閱有關資料，強化對基本概念知識體系的理解與記憶，將所學的新知識與有關舊知識聯(lián)系起來，進行分析比效，一邊復習一邊將復習成果整理在筆記本上，使對所學的新知識由“懂”到“會”。 (5)獨立作業(yè)是通過自己的獨立思考，靈活地分析問題、解決問題，進一步加深對所學新知識的理解和對新技能的掌握過程。這一過程也是對意志毅力的考驗，通過運用使對所學知識由“會”到“熟”。 (6)解決疑難是指對獨立完成作業(yè)過程中

11、暴露出來對知識理解的錯誤，或由于思維受阻遺漏解答，通過點撥使思路暢通，補遺解答的過程。解決疑難一定要有鍥而不舍的精神。做錯的作業(yè)再做一遍。對錯誤的地方要反復思考。實在解決不了的要請教老師和同學，并要經常把易錯的知識拿來復習強化，作適當?shù)闹貜托跃毩?，把求老師問同學獲得的東西消化變成自己的知識，使所學到的知識由“熟”到“活”。 (7)系統(tǒng)小結是通過積極思考，達到全面系統(tǒng)深刻地掌握知識和發(fā)展認識能力的重要環(huán)節(jié)。小結要在系統(tǒng)復習的基礎上以教材為依據，參照筆記與資料，通過分析、綜合、類比、概括，揭示知識間的內在聯(lián)系，以達到對所學知識融會貫通的目的。經常進行多層次小結，能對所學知識由“活”到“悟”。

12、(8)課外學習包括閱讀課外書籍與報刊，參加學科競賽與講座，走訪高年級同學或老師交流學習心得等。課外學習是課內學習的補充和繼續(xù)，它不僅能豐富同學們的文化科學知識，加深和鞏固課內所學的知識，而且能夠滿足和發(fā)展興趣愛好，培養(yǎng)獨立學習和工作的能力，激發(fā)求知欲與學習熱情。 2 循序漸進，防止急躁。由于同學們年齡較小，閱歷有限，為數(shù)不少的同學容易急躁。有的同學貪多求快，囫圇吞棗；有的同學想靠幾天“沖刺”一蹴而就；有的取得一點成績便洋洋自得，遇到挫折又一蹶不振。同學們要知道，學習是一個長期地鞏固舊知、發(fā)現(xiàn)新知的積累過程，決非一朝一夕可以完成的。為什么高中要學三年而不是三天！許多優(yōu)秀的同學能取得好成績，其中

13、一個重要原因是他們的基本功扎實，他們的閱讀、書寫、運算技能達到了自動化或半自動化的熟練程度。 3 注意研究學科特點，尋找最佳學習方法。數(shù)學學科擔負著培養(yǎng)運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力以及運用所學知識分析問題、解決問題的能力的重任。它的特點是具有高度的抽象性、邏輯性和廣泛的適用性，對能力要求較高。學習數(shù)學一定要講究“活”，只看書不做題不行，只埋頭做題不總結積累也不行。對課本知識既要能鉆進去，又要能跳出來，結合自身特點，尋找最佳學習方法。華羅庚先生倡導的“由薄到厚”和“由厚到薄”的學習過程就是這個道理。方法因人而異，但學習的四個環(huán)節(jié)（預習、上課、作業(yè)、復習）和一個步驟（歸納總結）是少不了的

14、。 ● 第二講 初中數(shù)學與高中數(shù)學銜接緊密的知識點 ● 1 絕對值： ⑴在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應的點與原點的距離叫做該數(shù)的絕對值。 ⑵正數(shù)的絕對值是他本身，負數(shù)的絕對值是他的相反數(shù)，0的絕對值是0，即 ⑶兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而小 ⑷兩個絕對值不等式:；或 2 乘法公式： ⑴平方差公式： ⑵立方差公式： ⑶立方和公式： ⑷完全平方公式：， ⑸完全立方公式： 3 分解因式： ⑴把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變化叫做把這個多項式分解因式。 ⑵方法：①提公因式法，②運用公式法，③分組分解法，④十字相乘法。 4 一元一次方程： ⑴在一個方

15、程中，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)是1，這樣的方程叫一元一次方程。 ⑵解一元一次方程的步驟：去分母，移項，合并同類項，未知數(shù)系數(shù)化為1。 ⑶關于方程解的討論 ①當時，方程有唯一解； ②當，時，方程無解 ③當，時，方程有無數(shù)解；此時任一實數(shù)都是方程的解。 5 二元一次方程組： （1）兩個二元一次方程組成的方程組叫做二元一次方程組。 （2）適合一個二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個二元一次方程的一個解。 （3）二元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個二元一次方程組的解。 （4）解二元一次方程組的方法：①代入消元法，②加減消元法。 6 不等式與不等式組 （1）

16、不等式： ①用符不等號（>、≠、<）連接的式子叫不等式。 ②不等式的兩邊都加上或減去同一個整式，不等號的方向不變。 ③不等式的兩邊都乘以或者除以一個正數(shù)，不等號方向不變。 ④不等式的兩邊都乘以或除以同一個負數(shù)，不等號方向相反。 （2）不等式的解集： ①能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。 ②一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。 ③求不等式解集的過程叫做解不等式。 （3）一元一次不等式： 左右兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式叫一元一次不等式。 （4）一元一次不等式組： ①關于同一個未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起，

17、就組成了一元一次不等式組。 ②一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分，叫做這個一元一次不等式組的解集。 ③求不等式組解集的過程，叫做解不等式組。 7 一元二次方程： ①方程有兩個實數(shù)根 ②方程有兩根同號 ③方程有兩根異號 ④韋達定理及應用： , 8 函數(shù) （1）變量：因變量，自變量。 在用圖象表示變量之間的關系時，通常用水平方向的數(shù)軸上的點自變量，用豎直方向的數(shù)軸上的點表示因變量。 （2）一次函數(shù)：①若兩個變量,間的關系式可以表示成（為常數(shù)，不等于0）的形式，則稱是的一次函數(shù)。②當=0時，稱是的正比例函數(shù)。 （

18、3）一次函數(shù)的圖象及性質 ①把一個函數(shù)的自變量與對應的因變量的值分別作為點的橫坐標與縱坐標，在直角坐標系內描出它的對應點，所有這些點組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象。 ②正比例函數(shù)=的圖象是經過原點的一條直線。 ③在一次函數(shù)中，當0， O，則經2、3、4象限；當0，0時，則經1、2、4象限；當0， 0時，則經1、3、4象限；當0， 0時，則經1、2、3象限。 ④當0時，的值隨值的增大而增大，當0時，的值隨值的增大而減少。 （4）二次函數(shù)： ①一般式：()，對稱軸是 頂點是； ②頂點式：()，對稱軸是頂點是； ③交點式：()，其中（），（）是拋物線與x軸的交點 （5）二次函數(shù)的性質

19、 ①函數(shù)的圖象關于直線對稱。 ②時，在對稱軸 （）左側，值隨值的增大而減少；在對稱軸（）右側；的值隨值的增大而增大。當時，取得最小值 ③時，在對稱軸 （）左側，值隨值的增大而增大；在對稱軸（）右側；的值隨值的增大而減少。當時，取得最大值 9 圖形的對稱 （1）軸對稱圖形：①如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。②軸對稱圖形上關于對稱軸對稱的兩點確定的線段被對稱軸垂直平分。 （2）中心對稱圖形：①在平面內，一個圖形繞某個點旋轉180度，如果旋轉前后的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做他的對稱中心

20、。②中心對稱圖形上的每一對對應點所連成的線段都被對稱中心平分。 10 平面直角坐標系 （1）在平面內，兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸組成平面直角坐標系。水平的數(shù)軸叫做軸或橫軸，鉛直的數(shù)軸叫做軸或縱軸，軸與軸統(tǒng)稱坐標軸，他們的公共原點稱為直角坐標系的原點。 （2）平面直角坐標系內的對稱點：設，是直角坐標系內的兩點， ①若和關于軸對稱，則有。 ②若和關于軸對稱，則有。 ③若和關于原點對稱，則有。 ④若和關于直線對稱，則有。 ⑤若和關于直線對稱，則有或。 11 統(tǒng)計與概率： （1）科學記數(shù)法：一個大于10的數(shù)可以表示成的形式，其中大于等于1小于10，是正整數(shù)。 （2）扇形統(tǒng)計圖

21、：①用圓表示總體，圓中的各個扇形分別代表總體中的不同部分，扇形的大小反映部分占總體的百分比的大小，這樣的統(tǒng)計圖叫做扇形統(tǒng)計圖。②扇形統(tǒng)計圖中，每部分占總體的百分比等于該部分所對應的扇形圓心角的度數(shù)與360度的比。 （3）各類統(tǒng)計圖的優(yōu)劣：①條形統(tǒng)計圖：能清楚表示出每個項目的具體數(shù)目；②折線統(tǒng)計圖：能清楚反映事物的變化情況；③扇形統(tǒng)計圖：能清楚地表示出各部分在總體中所占的百分比。 （5）平均數(shù)：對于個數(shù)，我們把()叫做這個個數(shù)的算術平均數(shù)，記為。 （6）加權平均數(shù)：一組數(shù)據里各個數(shù)據的重要程度未必相同，因而，在計算這組數(shù)據的平均數(shù)時往往給每個數(shù)據加一個權，這就是加權平均數(shù)。 （7）中位數(shù)

22、與眾數(shù)：①N個數(shù)據按大小順序排列，處于最中間位置的一個數(shù)據（或最中間兩個數(shù)據的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據的中位數(shù)。②一組數(shù)據中出現(xiàn)次數(shù)最大的那個數(shù)據叫做這個組數(shù)據的眾數(shù)。③優(yōu)劣比較：平均數(shù)：所有數(shù)據參加運算，能充分利用數(shù)據所提供的信息，因此在現(xiàn)實生活中常用，但容易受極端值影響；中位數(shù)：計算簡單，受極端值影響少，但不能充分利用所有數(shù)據的信息；眾數(shù)：各個數(shù)據如果重復次數(shù)大致相等時，眾數(shù)往往沒有特別的意義。 （8）調查：①為了一定的目的而對考察對象進行的全面調查，稱為普查，其中所要考察對象的全體稱為總體，而組成總體的每一個考察對象稱為個體。②從總體中抽取部分個體進行調查，這種調查稱為抽樣調查，其中從總體

23、中抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本。③抽樣調查只考察總體中的一小部分個體，因此他的優(yōu)點是調查范圍小，節(jié)省時間，人力，物力和財力，但其調查結果往往不如普查得到的結果準確。為了獲得較為準確的調查結果，抽樣時要主要樣本的代表性和廣泛性。 （9）頻數(shù)與頻率：①每個對象出現(xiàn)的次數(shù)為頻數(shù)，而每個對象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值為頻率。②當收集的數(shù)據連續(xù)取值時，我們通常先將數(shù)據適當分組，然后再繪制頻數(shù)分布直方圖。 （10）數(shù)據的波動：①極差是指一組數(shù)據中最大數(shù)據與最小數(shù)據的差。②方差是各個數(shù)據與平均數(shù)之差的平方和的平均數(shù)。③標準差就是方差的算術平方根。④一般來說，一組數(shù)據的極差，方差，或標準差越小，這組數(shù)

24、據就越穩(wěn)定。 （11）事件的可能性：①有些事情我們能確定他一定會發(fā)生，這些事情稱為必然事件；有些事情我們能肯定他一定不會發(fā)生，這些事情稱為不可能事件；必然事件和不可能事件都是確定的。②有很多事情我們無法肯定他會不會發(fā)生，這些事情稱為不確定事件。③一般來說，不確定事件發(fā)生的可能性是有大小的。 （12）概率：①人們通常用1（或100%）來表示必然事件發(fā)生的可能性，用0來表示不可能事件發(fā)生的可能性。②游戲對雙方公平是指雙方獲勝的可能性相同。③必然事件發(fā)生的概率為1，記作（必然事件）；不可能事件發(fā)生的概率為，記作（不可能事件）；如果A為不確定事件，那么 ● 第三講 銜接知識點的專題強化訓練

25、● ★ 專題一 數(shù)與式的運算 【要點回顧】 1．絕對值 [1]絕對值的代數(shù)意義： ．即 ． [2]絕對值的幾何意義： 的距離． [3]兩個數(shù)的差的絕對值的幾何意義：表示 的距離． [4]兩個絕對值不等式:；． 2．乘法公式 我們在初中已經學習過了下列一些乘法公式： [1]平方差公式：

26、 ； [2]完全平方和公式： ； [3]完全平方差公式： ． 我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式： [公式1] [公式2](立方和公式) [公式3] (立方差公式) 說明:上述公式均稱為“乘法公式”． 3．根式 [1]式子叫做二次根式，其性質如下： (1) ；(2) ；(3) ； (4) ．

27、[2]平方根與算術平方根的概念： 叫做的平方根，記作，其中叫做的算術平方根． [3]立方根的概念： 叫做的立方根，記為 4．分式 [1]分式的意義 形如的式子，若B中含有字母，且，則稱為分式．當M≠0時，分式具有下列性質： （1） ； （2） ． [2]繁分式 當分式的分子、分母中至少有一個是分式時，就叫做繁分式，如， 說明：繁分式的化簡常用以下兩種方法：(1) 利用除法法則；(2) 利用分式的基本性質． [

28、3]分母（子）有理化 把分母（子）中的根號化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號的過程 【例題選講】 例1 解下列不等式：（1） （2）＞4． 例2 計算： （1） （2） （3） （4） 例3 已知，求的值． 例4 已知，求的值． 例5 計算(沒有特殊說明，本節(jié)中出現(xiàn)的字母均為正數(shù))： （1）

29、 （2） （3） （4） 例6 設，求的值． 例7 化簡：（1） （2） （1）解法一：原式= 解法二：原式= （2）解：原式= 說明：(1) 分式的乘除運算一般化為乘法進行，當分子、分母為多項式時，應先因式分解再進行約分化簡；(2) 分式的計算結果應是最簡分式或整式． 【鞏固練習】 1． 解不等式 2． 設，求代數(shù)式的值． 3． 當，求的值． 4． 設，求的值． 5． 計算 6．化簡或計算： (1)

30、 (2) (3) (4) ★ 專題二 因式分解 【要點回顧】 因式分解是代數(shù)式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是相反方向的變形．在分式運算、解方程及各種恒等變形中起著重要的作用．是一種重要的基本技能． 因式分解的方法較多，除了初中課本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，還有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分組分解法等等． 1．公式法 常用的乘法公式： [1]平方差公式： ； [

31、2]完全平方和公式： ； [3]完全平方差公式： ． [4] [5](立方和公式) [6] (立方差公式) 由于因式分解與整式乘法正好是互為逆變形，所以把整式乘法公式反過來寫，運用上述公式可以進行因式分解． 2．分組分解法 從前面可以看出，能夠直接運用公式法分解的多項式，主要是二項式和三項式．而對于四項以上的多項式，如既沒有公式可用，也沒有公因式可以提?。虼耍梢韵葘⒍囗検椒纸M處理．這種利用分組來因式分解的方法叫做分組分解法．分組分解法的關鍵在于如何分組． 常見題型：（

32、1）分組后能提取公因式 （2）分組后能直接運用公式 3．十字相乘法 （1）型的因式分解 這類式子在許多問題中經常出現(xiàn)，其特點是：①二次項系數(shù)是1；②常數(shù)項是兩個數(shù)之積；③ 一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩個因數(shù)之和． ∵， ∴ 運用這個公式，可以把某些二次項系數(shù)為1的二次三項式分解因式． （2）一般二次三項式型的因式分解 由我們發(fā)現(xiàn)，二次項系數(shù)分解成，常數(shù)項分解成，把寫成，這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次項系數(shù)，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行．這種借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 必須注意，分解

33、因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經過多次嘗試，才能確定一個二次三項式能否用十字相乘法分解． 4．其它因式分解的方法 其他常用的因式分解的方法：（1）配方法 （2）拆、添項法 【例題選講】 例1 （公式法）分解因式：(1) ；(2) 例2 （分組分解法）分解因式：（1） （2） 例3 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) (2) (3) (4) 解：（1） （2） （3）分析：把看成的二

34、次三項式，這時常數(shù)項是，一次項系數(shù)是，把分解成與的積，而，正好是一次項系數(shù)． 解： (4) 由換元思想，只要把整體看作一個字母，可不必寫出，只當作分解二次三項式．解： 例4 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) ；(2) 解：(1) (2) 說明：用十字相乘法分解二次三項式很重要．當二次項系數(shù)不是1時較困難，具體分解時，為提高速度，可先對有關常數(shù)分解，交叉相乘后，若原常數(shù)為負數(shù)，用減法”湊”，看是否符合一次項系數(shù)，否則用加法”湊”，先”湊”絕對值，然后調整，添加正、負號． 例5 （拆項法）分解因式 【鞏固練習】 1．把下

35、列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) 2．已知，求代數(shù)式的值． 3．現(xiàn)給出三個多項式，，，，請你選擇其中兩個進行加法運算，并把結果因式分解. 4．已知，求證：． ★ 專題三 一元二次方程根與系數(shù)的關系 【要點回顧】 1．一元二次方程的根的判斷式 一元二次方程，用配方法將其變形為： ． 由于可以用的取值情況來判定一元二次方程的根的

36、情況．因此，把叫做一元二次方程的根的判別式，表示為： 對于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有 [1]當Δ 0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根： ； [2]當Δ 0時，方程有兩個相等的實數(shù)根： ； [3]當Δ 0時，方程沒有實數(shù)根． 2．一元二次方程的根與系數(shù)的關系 定理：如果一元二次方程的兩個根為，那么： 說明：一元二次方程根與系數(shù)的關系由十六世紀的法國數(shù)學家韋達發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱為”韋達定理”．上述定理成立的前提是． 特別地，對于二次項系

37、數(shù)為1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其兩根，由韋達定理可知 x1＋x2＝－p，x1x2＝q，即 p＝－(x1＋x2)，q＝x1x2， 所以，方程x2＋px＋q＝0可化為 x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的兩根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0．因此有 以兩個數(shù)x1，x2為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是 x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0． 【例題選講】 例1 已知關于的一元二次方程，根據下列條件，分別求出的范圍： （1）方

38、程有兩個不相等的實數(shù)根； （2）方程有兩個相等的實數(shù)根 （3）方程有實數(shù)根； （4）方程無實數(shù)根． 例2 已知實數(shù)、滿足，試求、的值． 例3 若是方程的兩個根，試求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 例4 已知是一元二次方程的兩個實數(shù)根． (1) 是否存在實數(shù)，使成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由． (2) 求使的值為整數(shù)的實數(shù)的整數(shù)值． 解：(1) 假設存在實數(shù)，使成立．∵ 一元二次方程的兩個實數(shù)根，∴ ，又是一元二次方程的兩個實數(shù)根，∴ ∴ ，但．

39、 ∴不存在實數(shù)，使成立． (2) ∵ ∴ 要使其值是整數(shù)，只需能被4整除，故，注意到，要使的值為整數(shù)的實數(shù)的整數(shù)值為． 【鞏固練習】 1．若是方程的兩個根，則的值為( ) A． B． C． D． 2．若是一元二次方程的根，則判別式和完全平方式的關系是( ) A． B． C． D．大小關系不能確定 3．設是方程的兩實根，是關于的方程的兩實根，則= ___ __ ，= _ ____ ． 4．已知實數(shù)滿足，則= ___ __ ，= _____ ，= _____ ． 5．已知關于的方程的兩個實數(shù)根的平方和等于11，求證：關于的方程有實數(shù)根．

40、 6．若是關于的方程的兩個實數(shù)根，且都大于1． (1) 求實數(shù)的取值范圍；(2) 若，求的值． ★ 專題四 平面直角坐標系、一次函數(shù)、反比例函數(shù) 【要點回顧】 1．平面直角坐標系 [1] 組成平面直角坐標系。 叫做軸或橫軸， 叫做軸或縱軸，軸與軸統(tǒng)稱坐標軸，他們的公共原點稱為直角坐標系的原點。 [2] 平面直角坐標系內的對稱點： 對稱點或對稱直線方程 對稱點的坐標 軸

41、 軸 原點 點 直線 直線 直線 直線 2．函數(shù)圖象 [1]一次函數(shù)： 稱是的一次函數(shù)，記為：(k、b是常數(shù)，k≠0) 特別的，當=0時，稱是的正比例函數(shù)。 [2] 正比例函數(shù)的圖象與性質：函數(shù)y=kx(k是常數(shù)，k≠0)的圖象是 的一條直線，當 時，圖象過原

42、點及第一、第三象限，y隨x的增大而 ；當 時，圖象過原點及第二、第四象限，y隨x的增大而 ． [3] 一次函數(shù)的圖象與性質：函數(shù)(k、b是常數(shù)，k≠0)的圖象是過點(0，b)且與直線y=kx平行的一條直線.設(k≠0)，則當 時，y隨x的增大而 ；當 時， y隨x的增大而 ． [4]反比例函數(shù)的圖象與性質：函數(shù)(k≠0)是雙曲線，當 時，圖象在第一、第三象限，在每個象限中，y隨x的增大而 ；當 時，圖象在第二、第四象限.，在每個象限中，y隨x的增大而 ．雙曲線是

43、軸對稱圖形，對稱軸是直線與；又是中心對稱圖形，對稱中心是原點． 【例題選講】 例1 已知、，根據下列條件，求出、點坐標． (1) 、關于x軸對稱；(2) 、關于y軸對稱；(3) 、關于原點對稱． 例2已知一次函數(shù)y＝kx＋2的圖象過第一、二、三象限且與x、y軸分別交于、兩點，O為原點，若ΔAOB的面積為2，求此一次函數(shù)的表達式。 例3如圖，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于，兩點． （1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式； （2）根據圖象回答：當取何值時，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值． 解：（1）在的圖象上，

44、， 又在的圖象上，，即 ，解得：，， 反比例函數(shù)的解析式為，一次函數(shù)的解析式為， （2）從圖象上可知，當或時，反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象的上方，所以反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值。 【鞏固練習】 1．函數(shù)與在同一坐標系內的圖象可以是（ ） 2．如圖，平行四邊形ABCD中，A在坐標原點，D在第一象限角平分線上，又知，，求點的坐標．　 3．如圖，已知直線與雙曲線交于兩點，且點的橫坐標為． （1）求的值； （2）過原點的另一條直線交雙曲線于兩點（點在第一象限），若由點為頂點組成的四邊形面積為，求點的坐標．

45、 ★ 專題五 二次函數(shù) 【要點回顧】 1． 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像和性質 問題[1] 函數(shù)y＝ax2與y＝x2的圖象之間存在怎樣的關系？ 問題[2] 函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k與y＝ax2的圖象之間存在怎樣的關系？ 由上面的結論，我們可以得到研究二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象的方法： 由于y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋)＋c＝a(x2＋＋)＋c－， 所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象可以看作是將函數(shù)y＝ax2的圖象作左右平移、上下平移得到的， 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)

46、具有下列性質： [1]當a＞0時，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象開口方向 ；頂點坐標為 ，對稱軸為直線 ；當 時，y隨著x的增大而 ；當 時，y隨著x的增大而 ；當 時，函數(shù)取最小值 ． [2]當a＜0時，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象開口方向 ；頂點坐標為 ，對稱軸為直線 ；當 時，y隨著x的增大而 ；當 時，y隨著x的增大而 ；當 時，函數(shù)取最大值 ．

47、 上述二次函數(shù)的性質可以分別通過上圖直觀地表示出來．因此，在今后解決二次函數(shù)問題時，可以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結合的思想方法來解決問題． 2．二次函數(shù)的三種表示方式 [1]二次函數(shù)的三種表示方式： （1）．一般式： ； （2）．頂點式： ； （3）．交點式： ． 說明：確定二此函數(shù)的關系式的一般方法是待定系數(shù)法，在選擇把二次函數(shù)的關系式設成什么形式時，可根據題目中的條件靈活選擇，以簡單為原則．二次函數(shù)的關系式可設如下三種形

48、式： ①給出三點坐標可利用一般式來求； ②給出兩點，且其中一點為頂點時可利用頂點式來求． ③給出三點，其中兩點為與x軸的兩個交點.時可利用交點式來求． 3．分段函數(shù) 一般地，如果自變量在不同取值范圍內時，函數(shù)由不同的解析式給出，這種函數(shù)，叫作分段函數(shù)． 【例題選講】 例1 求二次函數(shù)y＝－3x2－6x＋1圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標、最大值（或最小值），并指出當x取何值時，y隨x的增大而增大（或減?。坎嫵鲈摵瘮?shù)的圖象． 例2 某種產品的成本是120元/件，試銷階段每件產品的售價x（元）與產品的日銷售量y（件）之間關系如下表所示： x /

49、元 130 150 165 y/件 70 50 35 若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù)，那么，要使每天所獲得最大的利潤，每件產品的銷售價應定為多少元？此時每天的銷售利潤是多少？ 例3 已知函數(shù)，其中，求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出函數(shù)取最大值和最小值時所對應的自變量x的值． 例4 根據下列條件，分別求出對應的二次函數(shù)的關系式． （1）已知某二次函數(shù)的最大值為2，圖像的頂點在直線y＝x＋1上，并且圖象經過點（3，－1）； （2）已知二次函數(shù)的圖象過點(－3，0)，(1，0)，且頂點到x軸的距離等于2； （3）已知二次函數(shù)的

50、圖象過點(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)． 例5 在國內投遞外埠平信，每封信不超過20g付郵資80分，超過20g不超過40g付郵資160分，超過40g不超過60g付郵資240分，依此類推，每封xg(0＜x≤100)的信應付多少郵資（單位：分）？寫出函數(shù)表達式，作出函數(shù)圖象． 分析：由于當自變量x在各個不同的范圍內時，應付郵資的數(shù)量是不同的．所以，可以用分段函數(shù)給出其對應的函數(shù)解析式．在解題時，需要注意的是，當x在各個小范圍內（如20＜x≤40）變化時，它所對應的函數(shù)值（郵資）并不變化（都是160分）． 解：設每封信的郵資為y（單位：分），則y

51、是x的函數(shù)．這個函數(shù)的解析式為 由上述的函數(shù)解析式，可以得到其圖象如圖所示． 【鞏固練習】 1．選擇題： （1）把函數(shù)y＝－(x－1)2＋4的圖象的頂點坐標是 （ ） （A）（－1，4） （B）（－1，－4） （C）（1，－4） （D）（1，4） （2）函數(shù)y＝－x2＋4x＋6的最值情況是 （ ） （A）有最大值6 （B）有最小值6 （C）有最大值10

52、 （D）有最大值2 （3）函數(shù)y＝2x2＋4x－5中，當－3≤x＜2時，則y值的取值范圍是 （ ） （A）－3≤y≤1 （B）－7≤y≤1 （C）－7≤y≤11 （D）－7≤y＜11 2．填空： （1）已知某二次函數(shù)的圖象與x軸交于A(－2，0)，B(1，0)，且過點C（2，4），則該二次函數(shù)的表達式為 ． （2）已知某二次函數(shù)的圖象過點（－1，0），（0，3），（1，4），則該函數(shù)的表達式為

53、 ． 3．根據下列條件，分別求出對應的二次函數(shù)的關系式． （1）已知二次函數(shù)的圖象經過點A（0，），B（1，0），C（，2）； （2）已知拋物線的頂點為（1，），且與y軸交于點（0，1）； （3）已知拋物線與x軸交于點M（，0），（5，0），且與y軸交于點（0，）； （4）已知拋物線的頂點為（3，），且與x軸兩交點間的距離為4． 4．如圖，某農民要用12m的竹籬笆在墻邊圍出一塊一面為墻、另三面為籬笆的矩形地供他圈養(yǎng)小雞．已知墻的長度為6m，問怎樣圍才能使得該矩形面積最大？ 5．如圖所示，在邊長為2的正方形ABCD的邊上有一個動點P，

54、從點A出發(fā)沿折線ABCD移動一周后，回到A點．設點A移動的路程為x，ΔPAC的面積為y． （1）求函數(shù)y的解析式； （2）畫出函數(shù)y的圖像； （3）求函數(shù)y的取值范圍． ★ 專題六 二次函數(shù)的最值問題 【要點回顧】 1．二次函數(shù)的最值． 二次函數(shù)在自變量取任意實數(shù)時的最值情況(當時，函數(shù)在處取得最小值，無最大值；當時，函數(shù)在處取得最大值，無最小值． 2．二次函數(shù)最大值或最小值的求法． 第一步確定a的符號，a＞0有最小值，a＜0有最大值； 第二步配方求頂點，頂點的縱坐標即為對應的最大值或最小值． 3．

55、求二次函數(shù)在某一范圍內的最值． 如：在（其中）的最值． 第一步：先通過配方，求出函數(shù)圖象的對稱軸：； 第二步：討論： [1]若時求最小值或時求最大值，需分三種情況討論： ①對稱軸小于即，即對稱軸在的左側； ②對稱軸，即對稱軸在的內部； ③對稱軸大于即，即對稱軸在的右側。 [2] 若時求最大值或時求最小值，需分兩種情況討論： ①對稱軸，即對稱軸在的中點的左側； ②對稱軸，即對稱軸在的中點的右側； 說明：求二次函數(shù)在某一范圍內的最值，要注意對稱軸與自變量的取值范圍相應位置，具體情況，參考例4。 【例題選講】 例1求下列函數(shù)的最大值或最小值． （1）

56、； （2）． 例2當時，求函數(shù)的最大值和最小值． 例3當時，求函數(shù)的取值范圍． 例4當時，求函數(shù)的最小值(其中為常數(shù))． 分析：由于所給的范圍隨著的變化而變化，所以需要比較對稱軸與其范圍的相對位置． 解：函數(shù)的對稱軸為．畫出其草圖． (1) 當對稱軸在所給范圍左側．即時：當時，； (2) 當對稱軸在所給范圍之間．即時： 當時，； (3) 當對稱軸在所給范圍右側．即時：當時，． 綜上所述： 例5某商場以每件30元的價格購進一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量(件)與每件的銷售價(

57、元)滿足一次函數(shù)． (1) 寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤與每件銷售價之間的函數(shù)關系式； (2) 若商場要想每天獲得最大銷售利潤，每件商品的售價定為多少最合適？最大銷售利潤為多少？ 【鞏固練習】 1．拋物線，當= _____ 時，圖象的頂點在軸上；當= _____ 時，圖象的頂點在軸上；當= _____ 時，圖象過原點． 2．用一長度為米的鐵絲圍成一個長方形或正方形，則其所圍成的最大面積為 ________ ． 3．設，當時，函數(shù)的最小值是，最大值是0，求的值． 4．已知函數(shù)在上的最大值為4，求的值．

58、 5．求關于的二次函數(shù)在上的最大值(為常數(shù))． ★ 專題七 不 等 式 【要點回顧】 1．一元二次不等式及其解法 [1]定義：形如 為關于的一元二次不等式． [2]一元二次不等式與二次函數(shù)及一元二次方程的關系(簡稱：三個二次)． （?。┮话愕兀辉尾坏仁娇梢越Y合相應的二次函數(shù)、一元二次方程求解，步驟如下： (1) 將二次項系數(shù)先化為正數(shù)； (2) 觀測相應的二次函數(shù)圖象． ①如果圖象與軸有兩個交點，此時對應的一元二次方程

59、有兩個不相等的實數(shù)根(也可由根的判別式來判斷) ．則 ②如果圖象與軸只有一個交點，此時對應的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根(也可由根的判別式來判斷) ．則： ③如果圖象與軸沒有交點，此時對應的一元二次方程沒有實數(shù)根 (也可由根的判別式來判斷) ．則： （ⅱ）解一元二次不等式的步驟是： (1) 化二次項系數(shù)為正； (2) 若二次三項式能分解成兩個一次因式的積，則求出兩根．那么“”型的解為(俗稱兩根之外)；“”型的解為(俗稱兩根之間)； (3) 否則，對二次三項式進行配方，變成，結合完全平方式為非負數(shù)的性質求解． 2．簡

60、單分式不等式的解法 解簡單的分式不等式的方法：對簡單分式不等式進行等價轉化，轉化為整式不等式，應當注意分母不為零. 3．含有字母系數(shù)的一元一次不等式 一元一次不等式最終可以化為的形式． [1]當時，不等式的解為：； [2]當時，不等式的解為：； [3]當時，不等式化為：； ① 若，則不等式的解是全體實數(shù)；② 若，則不等式無解． 【例題選講】 例1 解下列不等式：(1) (2) ⑴解法一：原不等式可以化為：，于是：或所以，原不等式的解是． 解法二：解相應的方程得：，所以原不等式的解是． (2) 解法一：原不等式可化為：，即于是： ，所以原不等

61、式的解是． 解法二：原不等式可化為：，即，解相應方程，得，所以原不等式的解是． 說明：解一元二次不等式，實際就是先解相應的一元二次方程，然后再根據二次函數(shù)的圖象判斷出不等式的解． 例2 解下列不等式：(1) (2) (3) 例3 已知對于任意實數(shù)，恒為正數(shù)，求實數(shù)的取值范圍． 例4 解下列不等式： (1) (2) 例5 求關于的不等式的解． 解：原不等式可化為： (1) 當時，，不等式的解為； (2) 當時，． ① 時，不等式的解為； ② 時，不等式的解為；

62、 ③ 時，不等式的解為全體實數(shù)． (3) 當時，不等式無解． 綜上所述：當或時，不等式的解為；當時，不等式的解為；當時，不等式的解為全體實數(shù)；當時，不等式無解． 【鞏固練習】 1．解下列不等式： (1) (2) (3) (4) 2．解下列不等式： (1) (2) (3) (4) 3．解下列不等式： (1) (2) 4．解關于的不等式． 5．已知關于的不等式的解是一切

63、實數(shù)，求的取值范圍． 6．若不等式的解是，求的值． 7．取何值時，代數(shù)式的值不小于0？ ● 各專題參考答案 ● 專題一數(shù)與式的運算參考答案 例1 （1）解法1：由，得； ①若，不等式可變?yōu)?，即?②若，不等式可變?yōu)?，即，解得：．綜上所述，原不等式的解為． 解法2： 表示x軸上坐標為x的點到坐標為2的點之間的距離，所以不等式的幾何意義即為x軸上坐標為x的點到坐標為2的點之間的距離小于1，觀察數(shù)軸可知坐標為x的點在坐標為3的點的左側，在坐標為1的點的右側．所以原不等式的解為． 解法3：，所以原不

64、等式的解為． （2）解法一：由，得；由，得； ①若，不等式可變?yōu)?，即?，解得x＜0，又x＜1，∴x＜0；②若，不等式可變?yōu)椋?＞4，∴不存在滿足條件的x； ③若，不等式可變?yōu)?，即?， 解得x＞4．又x≥3，∴x＞4． 綜上所述，原不等式的解為x＜0，或x＞4． 解法二：如圖，表示x軸上坐標為x的點P到坐標為1的點A之間的距離|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x軸上點P到坐標為2的點B之間的距離|PB|，即|PB|＝|x－3|． 所以，不等式＞4的幾何意義即為|PA|＋|PB|＞4．由|AB|＝2， 可知點P 在點C(坐標為0)的左側、或點P在點D(坐標為4)的

65、右側． 所以原不等式的解為x＜0，或x＞4． 例2（1）解：原式= 說明：多項式乘法的結果一般是按某個字母的降冪或升冪排列． （2）原式= （3）原式= （4）原式= 例3解： 原式= 例4解： 原式= ① ②，把②代入①得原式= 例5解：（1）原式= （2）原式= 說明：注意性質的使用：當化去絕對值符號但字母的范圍未知時，要對字母的取值分類討論． （3）原式= （4） 原式= 例6解： 原式= 說明：有關代數(shù)式的求值問題：(1)先化簡后求值；(2)當直接代入運算較復雜時，可根據結論的結構特點，倒推幾步，再代入條件，有時整體代入

66、可簡化計算量． 【鞏固練習】 1． 2． 3．或 4． 5． 6． 專題二因式分解答案 例1分析：(1) 中應先提取公因式再進一步分解；(2) 中提取公因式后，括號內出現(xiàn)，可看著是或． 解：(1) ． (2) 例2（1）分析：按照原先分組方式，無公因式可提，需要把括號打開后重新分組，然后再分解因式． 解： （2）分析：先將系數(shù)2提出后，得到，其中前三項作為一組，它是一個完全平方式，再和第四項形成平方差形式，可繼續(xù)分解因式． 解： 例5 解： 【鞏固練習】 1． ． 2．； 3． 其他情況如下：； . 4． 專題三一元二次方程根與系數(shù)的關系習題答案 例1解：∵，∴(1) ； (2) ； (3) ；(4)． 例2解：可以把所給方程看作為關于的方程，整理得： 由于是實數(shù)，所以上述方程有實數(shù)根，因此：， 代入原方程得：．綜上知： 例3解：由題意，根據根與系數(shù)的關系得： (1) (2) (3) (4) 說明：利用根與系數(shù)的關系求值，要熟練掌握