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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料 【成才之路】2015-2016學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 3反證法課時(shí)作業(yè) 北師大版選修2-2 一、選擇題 1．反證法是(　　) A．從結(jié)論的反面出發(fā)，推出矛盾的證法 B．對其否命題的證明 C．對其逆命題的證明 D．分析法的證明方法 [答案]　A [解析]　反證法是先否定結(jié)論，在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用演繹推理，導(dǎo)出矛盾，從而肯定原結(jié)論的真實(shí)性． 2．否定結(jié)論“至多有兩個(gè)解”的說法中，正確的是(　　) A．有一個(gè)解 B．有兩個(gè)解 C．至少有三個(gè)解 D．至少有兩個(gè)解 [答案]　C 3．應(yīng)用反證法導(dǎo)出矛盾的推導(dǎo)過程中，要把下列哪些作為條件使用：①結(jié)論相反判

2、斷，即假設(shè)；②原命題的條件；③公理、定理、定義等；④原結(jié)論．(　　) A．①②　　　　　　　　 B．①②④ C．①②③ D．②③ [答案]　C 4．“M不是N的子集”的充分必要條件是(　　) A．若x∈M，則x?N B．若x∈N，則x∈M C．存在x1∈M且x1∈N，又存在x2∈M且x2?N D．存在x0∈M且x0?N [答案]　D [解析]　按定義，若M是N的子集，則集合M的任一個(gè)元素都是集合N的元素．所以，要使M不是N的子集，只需存在x0∈M，但x0?N.故選D. 5．“自然數(shù)a、b、c中恰有一個(gè)偶數(shù)”的否定為(　　) A．自然數(shù)a、b、c都是奇數(shù) B．自然數(shù)a

3、、b、c都是偶數(shù) C．自然數(shù)a、b、c中至少有兩個(gè)偶數(shù) D．自然數(shù)a、b、c都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù) [答案]　D [解析]　恰有一個(gè)偶數(shù)的否定有兩種情況，其一是無偶數(shù)，其二是至少有兩個(gè)偶數(shù)． 6．若a、b、c不全為零，必須且只需(　　) A．a(chǎn)bc≠0 B．a(chǎn)、b、c中至少有一個(gè)為0 C．a(chǎn)、b、c中只有一個(gè)是0 D．a(chǎn)、b、c中至少有一個(gè)不為0 [答案]　D [解析]　a、b、c不全為零，即a、b、c中至少有一個(gè)不為0. 二、填空題 7．某同學(xué)準(zhǔn)備用反證法證明如下問題：函數(shù)f(x)在[0,1]上有意義，且f(0)＝f(1)，如果對于不同的x1，x2∈[0,1]，都

4、有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，求證|f(x1)－f(x2)|<.那么其反設(shè)應(yīng)該是__________________． [答案]　如果對于不同的x1，x2∈[0,1]，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，則|f(x1)－f(x2)|≥ [解析]　根據(jù)題意知，反證法解題是從假設(shè)原命題不成立開始，把結(jié)論的否定作為條件，連同其他條件一起經(jīng)過推斷，得出與已知條件或已有原理相矛盾，從而肯定原命題的正確性．這里進(jìn)行假設(shè)時(shí)，注意把函數(shù)f(x)在[0,1]上有意義，且f(0)＝f(1)剝離出來作為已知條件． 8．用反證法證明命題“若p1p2＝2(q1＋q2)，則關(guān)于x的方程x

5、2＋p1x＋q1＝0與x2＋p2x＋q2＝0中，至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根”時(shí)，應(yīng)假設(shè)為________． [答案]　兩個(gè)方程都沒有實(shí)數(shù)根 三、解答題 9．求證：一個(gè)三角形中至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60. [證明]　已知∠A、∠B、∠C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角． 求證：∠A、∠B、∠C中至少有一個(gè)不小于60. 證明：假設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角∠A、∠B、∠C都小于60， 即∠A<60，∠B<60，∠C<60， 三式相加得∠A＋∠B＋∠C<180. 這與三角形內(nèi)角和定理矛盾， ∴∠A、∠B、∠C都小于60的假設(shè)不能成立． ∴一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60. 10．已知非零實(shí)數(shù)a、

6、b、c構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列，求證：、、不能構(gòu)成等差數(shù)列． [證明]　假設(shè)、、能構(gòu)成等差數(shù)列，則由＝＋，于是得bc＋ab＝2ac.① 而由于a、b、c構(gòu)成等差數(shù)列，即2b＝a＋c.② 所以由①②兩式得，(a＋c)2＝4ac，即(a－c)2＝0，于是得a＝c，這與a、b、c構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列矛盾．故假設(shè)不成立，因此、、不能構(gòu)成等差數(shù)列. 一、選擇題 1．(2014濟(jì)南模擬)設(shè)x，y，z>0，則三個(gè)數(shù)＋，＋，＋(　　) A．都大于2 B．至少有一個(gè)大于2 C．至少有一個(gè)不小于2 D．至少有一個(gè)不大于2 [答案]　C [解析]　假設(shè)這三個(gè)數(shù)都小于2，則三個(gè)數(shù)之和小于

7、6，又＋＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)≥2＋2＋2＝6，與假設(shè)矛盾，故這三個(gè)數(shù)至少有一個(gè)不小于2.另取x＝y(tǒng)＝z＝1，可排除A、B. 2．(2014山東理，4)用反證法證明命題“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是(　　) A．方程x3＋ax＋b＝0沒有實(shí)根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個(gè)實(shí)根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個(gè)實(shí)根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個(gè)實(shí)根 [答案]　A [解析]　至少有一個(gè)實(shí)根的否定為：沒有實(shí)根． 反證法的假設(shè)為原命題的否定． 3．設(shè)a、b、c為一個(gè)三角形的三邊，S＝(a＋b＋c)，若S2＝2a

8、b，試證S<2A．用反證法證明該題時(shí)的假設(shè)為(　　) A．S2≠2ab B．S>2a C．S≥2a D．S≤2a [答案]　C [解析]　對“<”的否定應(yīng)為“≥”，故選C． 4．如果△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則(　　) A．△A1B1C1和△A2B2C2都是銳角三角形 B．△A1B1C1和△A2B2C2都是鈍角三角形 C．△A1B1C1是鈍角三角形，△A2B2C2是銳角三角形 D．△A1B1C1是銳角三角形，△A2B2C2是鈍角三角形 [答案]　D [解析]　由條件知，△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值均大于0，則△A1B

9、1C1是銳角三角形，假設(shè)△A2B2C2是銳角三角形． 由得 那么，A2＋B2＋C2＝，這與三角形內(nèi)角和為180相矛盾．所以假設(shè)不成立，所以△A2B2C2是鈍角三角形． 二、填空題 5．“任何三角形的外角都至少有兩個(gè)鈍角”的否定應(yīng)是__________________________________． [答案]　存在一個(gè)三角形，其外角最多有一個(gè)鈍角． 6．設(shè)有一組圓Ck：(x－k＋1)2＋(y－3k)2＝2k4(k∈N*)．下列四個(gè)命題： (1)存在一條定直線與所有的圓均相切 (2)存在一條定直線與所有的圓均相交 (3)存在一條定直線與所有的圓均不相交 (4)所有的圓均不經(jīng)過

10、原點(diǎn) 其中真命題的代號是________．(寫出所有真命題的代號) [答案]　(2)、(4) [解析]　判斷(1)是否正確用反證法：因?yàn)镃k：(x－k＋1)2＋(y－3k)2＝2k4(k∈N*)表示以(k－1,3k)為圓心，以k2為半徑的一組圓，假若存在一條直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)與所有的圓均相切，則必有＝k2對于任意k∈N*恒成立，即k2－A(k－1)－3Bk－C＝0恒成立，或k2＋A(k－1)＋3Bk＋C＝0恒成立，這是不可能的，故(1)不正確． (2)存在直線y＝3(x＋1)過所有圓的圓心． (3)由于半徑k2隨著k的無限增大而增大，故不存在這樣的直線與所有的圓

11、均不相交． (4)由于將x＝0，y＝0代入方程中得不到恒等式，故所有的圓不經(jīng)過原點(diǎn)是正確的． 三、解答題 7．已知a、b是正有理數(shù)，、是無理數(shù)，證明：＋必為無理數(shù)． [證明]　假設(shè)＋為有理數(shù)，記p＝＋，因?yàn)閍、b是正有理數(shù)，所以p>0.將＝p－兩邊平方，得a＝p2＋b－2p，所以＝.因?yàn)閍、b、p均為有理數(shù)，所以必為有理數(shù)，這與已知條件矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤． 所以＋必為無理數(shù)． [點(diǎn)評]　數(shù)學(xué)中的有些命題，所給條件不足以從正面證明結(jié)論正確，可采用反證法，否定結(jié)論，由此推出與已知或假設(shè)矛盾，證得結(jié)論． 8．已知函數(shù)f(x)＝ax＋(a>1)． (1)證明：函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)

12、上為增函數(shù)； (2)用反證法證明方程f(x)＝0沒有負(fù)實(shí)數(shù)根． [分析]　(1)可直接用定義證明單調(diào)性；(2)應(yīng)用反證法要注意準(zhǔn)確作出反設(shè)． [證明]　(1)任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨設(shè)x10. ax2－x1>1，且ax1>0，所以ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)>0. 又因?yàn)閤1＋1>0，x2＋1>0， 所以－ ＝ ＝>0. 于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0， 故函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)． (2)假設(shè)存在x0<0(x0≠－1)滿足f(x0)＝0，則ax0＝－. 又00，－1