5、數(shù)列的通項(xiàng)公式．
5．若一個(gè)數(shù)列首項(xiàng)確定，其余各項(xiàng)用an與an－1的關(guān)系式表示(如an＝2an－1＋1，n≥2且n∈N*)，則這個(gè)關(guān)系式稱為數(shù)列的遞推公式．
6．a(chǎn)n與Sn的關(guān)系
若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)為an，
則an＝
1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”)
(1)所有數(shù)列的第n項(xiàng)都能使用公式表達(dá)．( )
(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個(gè)．( )
(3)如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則對(duì)任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( )
(4)若已知數(shù)列{an}的遞推公式為an＋1＝，且a2＝1
6、，則可以寫(xiě)出數(shù)列{an}的任何一項(xiàng)．( )
[答案] (1) (2)√ (3)√ (4)√
2．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2，則a8的值為( )
A．15 B．16
C．49 D．64
A [當(dāng)n＝8時(shí)，a8＝S8－S7＝82－72＝15.]
3．把1,3,6,10,15,21，…這些數(shù)叫作三角形數(shù)，這是因?yàn)橐赃@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形(如圖511)．
圖511
則第7個(gè)三角形數(shù)是( )
A．27 B．28
C．29 D．30
B [由題圖可知，第7個(gè)三角形數(shù)是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.]
4．(教材改編)數(shù)列1，，，，，…的一
7、個(gè)通項(xiàng)公式an是__________.
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962230】
[由已知得，數(shù)列可寫(xiě)成，，，…，故通項(xiàng)為.]
5．(20xx保定調(diào)研)在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，則其通項(xiàng)公式an＝__________.
2n－1 [法一：由an＋1＝2an＋1，可求a2＝3，a3＝7，a4＝15，…，驗(yàn)證可知an＝2n－1.
法二：由題意知an＋1＋1＝2(an＋1)，∴數(shù)列{an＋1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1.]
由數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式
寫(xiě)出下面各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：
(1)3,5,7,9，…；
8、
(2)，，，，，…；
(3)－1,7，－13,19，…；
(4)3,33,333,3 333，….
[解] (1)各項(xiàng)減去1后為正偶數(shù)，所以an＝2n＋1. 3分
(2)每一項(xiàng)的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列21,22,23,24，…，
所以an＝. 6分
(3)數(shù)列中各項(xiàng)的符號(hào)可通過(guò)(－1)n表示，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)的絕對(duì)值總比它的前一項(xiàng)的絕對(duì)值大6.
故通項(xiàng)公式為an＝(－1)n(6n－5). 9分
(4)將數(shù)列各項(xiàng)改寫(xiě)為，，，，…，分母都是3，而分子分別是10－1,102－1,103－1,104－1，…，
所以an＝(10n－1). 12分
[規(guī)律方法] 1.求數(shù)
9、列通項(xiàng)時(shí)，要抓住以下幾個(gè)特征：
(1)分式中分子、分母的特征；
(2)相鄰項(xiàng)的變化特征；
(3)拆項(xiàng)后變化的部分和不變的部分的特征；
(4)各項(xiàng)符號(hào)特征等，并對(duì)此進(jìn)行歸納、化歸、聯(lián)想．
2．若關(guān)系不明顯時(shí)，應(yīng)將部分項(xiàng)作適當(dāng)?shù)淖冃?，統(tǒng)一成相同的形式，讓規(guī)律凸現(xiàn)出來(lái)．對(duì)于正負(fù)符號(hào)變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來(lái)調(diào)整，可代入驗(yàn)證歸納的正確性．
[變式訓(xùn)練1] (1)數(shù)列0，，，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為( )
A．a(chǎn)n＝(n∈N*)
B．a(chǎn)n＝(n∈N*)
C．a(chǎn)n＝(n∈N*)
D．a(chǎn)n＝(n∈N*)
(2)數(shù)列{an}的前4項(xiàng)是，1，，，則這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是an＝_
10、_________.
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962231】
(1)C (2) [(1)注意到分子0,2,4,6都是偶數(shù)，對(duì)照選項(xiàng)排除即可．
(2)數(shù)列{an}的前4項(xiàng)可變形為，，，，故an＝.]
由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)an
已知下面數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，求{an}的通項(xiàng)公式：
(1)Sn＝2n2－3n；
(2)Sn＝3n＋b.
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962232】
[解] (1)a1＝S1＝2－3＝－1，
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，3分
由于a1也適合此等式，∴an＝4n－5. 5分
(2)a1＝S1＝
11、3＋b，
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝23n－1. 7分
當(dāng)b＝－1時(shí)，a1適合此等式．
當(dāng)b≠－1時(shí)，a1不適合此等式. 10分
∴當(dāng)b＝－1時(shí)，an＝23n－1；
當(dāng)b≠－1時(shí)，an＝ 12分
[規(guī)律方法] 由Sn求an的步驟
(1)先利用a1＝S1求出a1；
(2)用n－1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時(shí)an的表達(dá)式；
(3)對(duì)n＝1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合n≥2時(shí)an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫(xiě)；如果不符合，則應(yīng)寫(xiě)成分段函數(shù)的形式．
易錯(cuò)警示：利用an＝S
12、n－Sn－1求通項(xiàng)時(shí)，應(yīng)注意n≥2這一前提條件，易忽視驗(yàn)證n＝1致誤．
[變式訓(xùn)練2] (20xx石家莊質(zhì)檢(二))已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝2an－4(n∈N*)，則an＝( )
A．2n＋1 B．2n
C．2n－1 D．2n－2
A [由Sn＝2an－4可得Sn－1＝2an－1－4(n≥2)，兩式相減可得an＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．又a1＝2a1－4，a1＝4，所以數(shù)列{an}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則an＝42n－1＝2n＋1，故選A.]
由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式
根據(jù)下列條件，確定數(shù)列{an}
13、的通項(xiàng)公式：
(1)a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2；
(2)a1＝1，an＋1＝2nan；
(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2.
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962233】
[解] (1)∵an＋1－an＝3n＋2，
∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝(n≥2)．
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝(31＋1)＝2符合公式，
∴an＝n2＋. 4分
(2)∵an＋1＝2nan，∴＝2n－1(n≥2)，
∴an＝…a1
＝2n－12n－2…21＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝2.
又a1＝1適合上式，故an
14、＝2. 8分
(3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，
又a1＝1，∴a1＋1＝2，
故數(shù)列{an＋1}是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，
∴an＋1＝23n－1，因此an＝23n－1－1. 12分
[規(guī)律方法] 1.已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an；已知a1(a1≠0)，且＝f(n)，可用“累乘法”求an.
2．已知a1，且an＋1＝qan＋b，則an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系數(shù)法確定)，可轉(zhuǎn)化為{an＋k}為等比數(shù)列．
易錯(cuò)警示：本題(1)，(2)中常見(jiàn)的錯(cuò)誤是忽視驗(yàn)證a1是否適合所求式，(3)中常見(jiàn)錯(cuò)誤是忽視判定
15、首項(xiàng)是否為零．
[變式訓(xùn)練3] (20xx全國(guó)卷Ⅲ)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通項(xiàng)公式．
[解] (1)由題意可得a2＝，a3＝. 4分
(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得
2an＋1(an＋1)＝an(an＋1). 7分
因?yàn)閧an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，所以＝. 9分
故{an}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，因此an＝. 12分
[思想與方法]
1．?dāng)?shù)列是一種特殊的函數(shù)，因此，在研究數(shù)列問(wèn)題時(shí)，既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要考慮數(shù)列方法的特殊性．
2
16、．a(chǎn)n＝
3．由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)的基本思想是轉(zhuǎn)化，常用的方法是：
(1)an＋1－an＝f(n)型，采用疊加法．
(2)＝f(n)型，采用疊乘法．
(3)an＋1＝pan＋q(p≠0，p≠1)型，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列解決．
[易錯(cuò)與防范]
1．?dāng)?shù)列是按一定“次序”排列的一列數(shù)，一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成它的“數(shù)”有關(guān)，而且還與這些“數(shù)”的排列次序有關(guān)．
2．易混項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)是兩個(gè)不同的概念，數(shù)列的項(xiàng)是指數(shù)列中某一確定的數(shù)，而項(xiàng)數(shù)是指數(shù)列的項(xiàng)對(duì)應(yīng)的位置序號(hào)．
3．在利用數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)時(shí)，往往容易忽視先求出a1，而是直接把數(shù)列的通項(xiàng)公式寫(xiě)成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只適用于n≥2的情形．
一輪北師大版理數(shù)學(xué)教案：第5章 第1節(jié) 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法 Word版含解析
