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1、（新教材）北師大版精品數(shù)學資料 2.1從平面向量到空間向量 一、選擇題 1．下列說法中正確的是(　　) A．任意兩個空間向量都可以比較大小 B．方向不同的空間向量不能比較大小，但同向的空間向量可以比較大小 C．空間向量的大小與方向有關 D．空間向量的模可以比較大小 [答案]　D [解析]　任意兩個空間向量，不論同向還是不同向均不存在大小關系，故A、B不正確；向量的大小只與其長度有關，與方向沒有關系，故C不正確；由于向量的模是一個實數(shù)，故可以比較大?。? 2．在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M和N分別為A1B1和BB1的中點，那么與直線AM垂直的向量有(　　

2、) A． B． C． D． [答案]　D [解析]　由于所求的是向量，所以首先排除B，在剩下的三個選項中，通過正方體的圖形可知D項正確． 3．空間中，起點相同的所有單位向量的終點構成的圖形是(　　) A．圓 B．球 C．正方形 D．球面 [答案]　D [解析]　根據(jù)模的概念知終點在以起點為球心，半徑為1的球面上． 4．在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，向量、、是(　　) A．有相同起點的向量 B．等長向量 C．共面向量 D．不共面向量 [答案]　C [解析]　先畫出平行六面體的圖像，可看出向量、在平面ACD1上，由于向量平行于，所以向量經(jīng)過平移可以移到平面A

3、CD1上，因此向量、、為共面向量． 5．如圖所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°.在所有棱所在的向量中，平面BB1C1C的法向量有(　　) A．0個　　　　　　 B．2個 C．3個 D．4個 [答案]　D [解析]　由于三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱且∠ACB＝90°，所以A1C1⊥平面BB1C1C，AC⊥平面BB1C1C，所以平面BB1C1C的法向量是：，，，，共4個． 6．已知正方形ABCD的邊長為4，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，則向量的模為(　　) A．6 B．9 C．4 D．5 [答案]　A [解析]　GC⊥平面ABC

4、D，所以GC⊥AC．在Rt△GAC中，AC＝4，GC＝2，所以AG＝＝6，即||＝6. 二、填空題 7．下列有關平面法向量的說法中，正確的是________________(填寫相應序號)． ①平面α的法向量垂直于與平面α平行的所有向量； ②一個平面的所有法向量互相平行； ③如果兩個平面的法向量垂直，那么這兩個平面也垂直； ④如果a，b與平面α平行，且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一個法向量． [答案]　①②③ [解析]　當a與b共線時，n就不一定是平面α的法向量，故④錯誤． 8．在長方體中，從同一頂點出發(fā)的三條棱長分別為1,2,3，在以長方體的兩個頂點為起點和終點的向量

5、中，模為1的向量有________________個． [答案]　8 [解析]　研究長方體模型可知，棱長為1的棱有4條，故模為1的向量有8個． 三、解答題 9．如圖，在棱長為1的正三棱柱ABC—A1B1C1中： (1)以正三棱柱的兩個頂點為始點和終點的向量中，舉出與向量相等的向量； (2)以正三棱柱的兩個頂點為始點和終點的向量中，舉出向量的相反向量； (3)若E是BB1的中點，舉出與向量平行的向量． [解析]　(1)由正三棱柱的結構特征知與相等的向量只有向量. (2)向量的相反向量為、. (3)取AA1的中點F，連結B1F，則、、都是與平行的向量． 10．如圖，正方體

6、ABCD—EHGF，寫出平面ABCD所有的法向量，并求〈，〉、〈，〉． [解析]　平面ABCD所有的法向量有、、、、、、、.由于正方體的三條棱DA、DC、DF互相垂直，所以〈，〉＝90°，〈，〉＝90°. 一、選擇題 1．對于空間向量，有以下命題： ①單位向量的模為1，但方向不確定； ②如果一個向量和它的相反向量相等，那么該向量的模為0； ③若a∥b，b∥c，則a∥c； ④若ABCD－A′B′C′D′為平行六面體，則＝. 其中真命題的個數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [答案]　C [解析]?、壑挟攂＝0時，結論不成立，其它3個命

7、題都是真命題，故選C． 2．在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，與向量的模相等的向量至少有(　　) A．7個 B．3個 C．5個 D．6個 [答案]　A 3．如圖所示，正方體ABCD—A1B1C1D1中，以頂點為向量端點的所有向量中，直線AB的方向向量有(　　) A．8個 B．7個 C．6個 D．5個 [答案]　A [解析]　與向量平行的向量就是直線AB的方向向量，有、、、、、、、，共8個，所以選A． 4.＝的一個必要不充分條件是(　　) A．A與C重合 B．A與C重合，B與D重合 C．||＝|| D．A、B、C、D四點共線 [答案]　C [解析]　向

8、量相等只需方向相同，長度相等，而與表示向量的有向線段的起點、終點的位置無關．表示兩個共線向量的兩條有向線段所在的直線平行或重合，不能得到四點共線． 二、填空題 5．在下列命題中：①若a、b為共面向量，則a、b所在的直線平行；②若向量a、b所在直線是異面直線，則a、b一定不共面；③平面的法向量不唯一，但它們都是平行的；④平行于一個平面的向量垂直于這個平面的法向量．其中正確命題的個數(shù)為________________． [答案]　2 [解析]　①②是錯誤的，共面向量所在的直線不一定平行，只要能平移到一個平面內就可以． 6．如圖，在正四棱臺ABCD—A1B1C1D1中，O、O1分別是對角線

9、AC，A1C1的中點，則〈、〉＝________________，〈，〉＝________________，〈，〉＝________________. [答案]　0°　0°　90° [解析]　由題意得，方向相同，是在同一條直線AC上，故〈，〉＝0°；可平移到直線AC上，與重合，故〈，〉＝0°；由題意知OO1是正四棱臺ABCD—A1B1C1D1的高，故OO1⊥平面A1B1C1D1，所以OO1⊥A1B1，故〈，〉＝90°. 三、解答題 7．如圖所示，正四棱錐P—ABCD的底面邊長為1. (1)試判斷向量，，，中哪個是單位向量

10、； (2)舉出與向量相等的向量． [解析]　(1)單位向量即模為1的向量，則、、、都是單位向量． (2)由于向量與向量方向相同，且模都為1，故是與向量相等的向量． 8．如圖，已知正方體ABCD—A1B1C1D1中，E是A1B1的中點，F(xiàn)是D1B1的中點． (1)問：向量、、是否為共面向量？ (2)求〈，〉； (3)寫出平面BB1C1C的一個法向量． [解析]　(1)向量在平面D1B1BD上，由于向量、平行于平面D1B1BD，所以向量、、都能夠平移到平面D1B1BD上，即向量、、是共面向量． (2)在正方體ABCD—A1B1C1D1中，為平面A1B1BA的法向量，又在平面A1B1BA上，所以⊥，即〈，〉＝90°. (3)平面BB1C1C的一個法向量為(或、、)．