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1、（新教材）北師大版精品數(shù)學(xué)資料 第一章　1.2 充分條件與必要條件 一、選擇題 1．(2013·湖南文，2)“1<x<2”是“x<2”成立的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 [答案]　A [解析]　因為“1<x<2”?“x>2”，而x>2?/ “1<x<2”，故“1<x<2”是“x>2”的充分不必要條件，故選A． 2．設(shè)x∈R，則“x>”是“2x2＋x－1>0”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件

2、C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 [答案]　A [解析]　本題考查充要條件，解一元二次不等式的知識． 由2x2＋x－1>0得(x＋1)(2x－1)>0， 即x<－1或x>，又因為x>?2x2＋x－1>0， 而2x2＋x－1>0?/ x>，選A． 3．(2014·揭陽一中期中)設(shè)集合M＝{x||x－1|<2}，N＝{x|x(x－3)<0}，那么“a∈M”是“a∈N”的(　　) A．必要而不充分條件 B．充分而不必要條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 [答案]　A [解析]　M＝

3、{x|－1<x<3}，N＝{x|0<x<3}，∵NM，∴選A． 4．已知α、β表示兩個不同的平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，則“α⊥β”是“m⊥β”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 [答案]　B [解析]　本小題主要考查空間線面的垂直關(guān)系和應(yīng)用充要條件解題的能力．由已知mα，若α⊥β則有m⊥β，或m∥β或m與β相交；反之，若m⊥β，∵mα，∴由面面垂直的判定定理知α⊥β.∴α⊥β是m⊥β的必要不充分條件．故選B． 5．“a＝1”是“函數(shù)f(x)＝|x－a|在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)”的(　　

4、) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 [答案]　A [解析]　a＝1能夠使y＝|x－1|在[1，＋∞)上是增函數(shù)，但f(x)＝|x－a|在[1，＋∞)上是增函數(shù)，a可以小于1. 6．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，則“m＝2”是“A∩B＝{4}”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 [答案]　A [解析]　若m＝2，則A＝{1,4}，B＝{2,4}， A∩B＝{4}，即m＝2?A∩B＝{4}， 若A∩B＝{4}，則m2＝4，m＝±2， 即A∩B＝

5、{4}?/ m＝2， ∴m＝2是A∩B＝{4}的充分不必要條件． 二、填空題 7．已知數(shù)列{an}，那么“對任意的n∈N＋，點Pn(n，an)，都在直線y＝2x＋1上”是“{an}為等差數(shù)列”的________________條件． [答案]　充分不必要 [解析]　點Pn(n，an)都在直線y＝2x＋1上，即an＝2n＋1， ∴{an}為等差數(shù)列，但是{an}是等差數(shù)列卻不一定就是an＝2n＋1. 8．下列說法不正確的是________________． ①x2≠1是x≠1的必要條件； ②x>5是x>4的充分不必要條件； ③xy＝0是x＝0且y＝0的充要條件；

6、 ④x2<4是x<2的充分不必要條件． [答案]?、佗? [解析]　“若x2≠1，則x≠1”的逆否命題為“若x＝1，則x2＝1”，易知x＝1是x2＝1的充分不必要條件，故①不正確．③中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，則③不正確．②④正確． 三、解答題 9．求證：關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為－1的充要條件是a－b＋c＝0. [證明]　充分性：因為a－b＋c＝0， 即a·(－1)2＋b·(－1)＋c＝0， 所以－1是ax2＋bx＋c＝0的一個根． 必要性：因為ax2＋bx＋c＝0有一個根為－1， 所以a·(－1)2＋b

7、83;(－1)＋c＝0，即a－b＋c＝0. 綜上可得ax2＋bx＋c＝0有一個根為－1的充要條件是a－b＋c＝0. [總結(jié)反思]　充要條件的判定和證明需要從充分性和必要性兩個方面說明． 10．在下列各題中，判定p是q的什么條件． (1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0. (2)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0無實根． (3)p：一個四邊形是矩形；q：四邊形的對角線相等． [分析]　看p是否推出q，q是否推出p. [解析]　(1)∵x－2＝0?(x－2)(x－3)＝0；而(x－2)(x－3)＝0?/ x－2＝0. 所以p是q的充分不必要條件． (2)∵

8、m<－2?方程x2－x－m＝0無實根；而方程x2－x－m＝0無實根?/ m<－2. ∴p是q的充分不必要條件． (3)由p?q，而q?/ p．所以p是q的充分不必要條件． [總結(jié)反思]　用定義判斷p是q的什么條件的基本程序是： ①定條件：確定條件和結(jié)論． ②找推式：確定p與q哪一個能推出哪一個． ③下結(jié)論：根據(jù)推式和結(jié)論下定義． 一、選擇題 1．(2014·天津理)設(shè)a，b∈R，則“a>b”是“a|a|>b|b|”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 [答案]　C [解析]　

9、本題考查簡易邏輯中充分性、必要性． 當(dāng)a>b?a|a|>b|b| 當(dāng)a>b>0時，a|a|－b|b|＝a2－b2＝(a＋b)(a－b)>0成立 當(dāng)b<a<0時a|a|－b|b|＝a2＋b2＝(b－a)(b＋a)>0成立 當(dāng)b<0<a時，a|a|－b|b|＝a2＋b2>0成立 同理由a|a|>b|b|?a>B．選C． 2．若a、b為實數(shù)，則“0<ab<1”是“a<或b>”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 [答

10、案]　A [解析]　本題主要考查不等式的性質(zhì)及充要條件的判定等基礎(chǔ)知識． “0<ab<1”，則a，b同號，若a>0，b>0，由ab<1得a<；若a<0，b<0，由ab<1，得b>，故“0<ab<1”?“a<或b>”； 當(dāng)a<時，a－＝<0，若b>0，則ab<1，但ab不一定滿足ab>0； 若b<0，則ab>1，故“a<或b>”?/　“0<ab<1”．選A． 3．設(shè)x、y∈R，則“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的(　　) A．充分

11、而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 [答案]　A [解析]　本題主要考查充分必要條件．由x≥2且y≥2，則x2＋y2≥4一定成立，而x2＋y2≥4時，x≥2且y≥2不一定成立，如x≥3且y≥0，故是充分不必要條件． 4．(2014·江西臨川十中期中)已知平面向量a、b滿足|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為60°，則“m＝1”是“(a－mb)⊥a”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 [答案]　C [解析]　∵|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝60°

12、;，∴a·b＝1×2×cos60°＝1，(a－mb)⊥a?(a－mb)·a＝0?|a|2－ma·b＝0?m＝1，故選C． 二、填空題 5．用“充分不必要條件”、“必要不充分條件”、“充要條件”、“既不充分也不必要條件”填空： (1)“m≠3”是“|m|≠3”的________________； (2)“四邊形ABCD為平行四邊形”是“AB∥CD”的________________； (3)“a>b，c>d”是“a－c>b－d”的________________． [答案]　(1)必要不充分條件 (2)充

13、分不必要條件 (3)既不充分也不必要條件 6．設(shè)m、n是整數(shù)，則“m、n均為偶數(shù)”是“m＋n是偶數(shù)”的________________． [答案]　充分不必要條件 [解析]　當(dāng)“m、n均為偶數(shù)”時，“m＋n是偶數(shù)”是成立的；而當(dāng)“m＋n是偶數(shù)”時，“m、n均為偶數(shù)”不一定成立，如：3＋5＝8為偶數(shù)，但3,5都是奇數(shù)，∴“m、n均為偶數(shù)”是“m＋n是偶數(shù)”的充分不必要條件． 三、解答題 7．指出下列各組命題中p是q的什么條件，q是p的什么條件． (1)p：|x|＝|y|；q：x＝y(tǒng)； (2)p：c＝0；q：拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)過原點； (3)p：四邊形ABCD為

14、平行四邊形；q：四邊形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D． [解析]　觀察各題中是由p?q，還是由q?p，然后利用定義得答案． (1)因為“p?q”為假命題，“q?p”為真命題，所以p是q的必要不充分條件，q是p的充分不必要條件． (2)c＝0?拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)過原點；拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)過原點?c＝0，所以p是q的充要條件，q是p的充要條件． (3)因為p?q為真，所以p是q的充要條件，q是p的充要條件． 8．設(shè)p：|4x－3|≤1；q：x2－(2a＋1)x＋a2＋a≤0，若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍． [解析]　∵|4x－3|≤1，∴≤x≤1， 即p：≤x≤1. 由x2－(2a＋1)x＋a2＋a≤0， 得(x－a)[x－(a＋1)]≤0， ∴a≤x≤a＋1，即q：a≤x≤a＋1. ∵p是q的充分不必要條件，∴p?q，q?/　　p. ∴{x|≤x≤1}{x|a≤x≤a＋1}． 故有，解得0≤a≤. 所以a的取值范圍是0≤a≤.