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1、（新教材）北師大版精品數(shù)學資料 章末分層突破章末分層突破 自我校對 面積、路程 做功 牛頓- 萊布尼茨 面積 體積 定積分的計算 1.利用定義求定積分.步驟：(1)分割區(qū)間；(2)求過剩估計值、不足估計值；(3)取極限. 2.利用定積分的幾何意義求定積分. 3.利用微積分基本定理求定積分.若 F(x)f(x)，abf（x）dxF(b)F(a). 求下列定積分. (1)224x2dx；(2) ln3xxdx. 【精彩點撥】 (1)可用定積分的幾何意義求解； (2)先去絕對值號，然后結(jié)合定積分的性質(zhì)求解. 【規(guī)范解答】 (1)224x2dx 表示的是圖中陰影所示半徑為 2 的半圓的面積. 其面積為

2、12222， 所以224x2dx2. (2)ln3xxln3xx，1ex1，ln3xx，1xe， 1eeln3xxdx1e1ln3xxdx1eln3xxdx. ln4x4ln3xx， 1eeln3xxdxln4x411eln4x4|e1ln414ln41e4ln4e4ln41412. 再練一題 1.計算下列定積分. (1)121x（x1）dx； (2) -22 (cos x2x)dx. 【解】 (1)121x（x1）dx121x1x1dx ln xln(x1)|21ln 43. (2) -22 (cos x2x)dxsin x2xln 222 21ln 2(2222). 定積分在幾何中的應(yīng)用

3、1.由積分的概念可知，定積分在研究求解曲邊平面圖形的面積中有廣泛的應(yīng)用.求解時應(yīng)將相應(yīng)問題畫出草圖，適當分割后轉(zhuǎn)化為定積分求解. 2.利用定積分也可以求出一些簡單的幾何體體積.如圓錐體、圓柱體、圓臺、球體等.計算由曲線 yf(x)，直線 xa，xb 及 x 軸所圍成的曲邊梯形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體的體積為 Vabf（x）2dx. 求由曲線 yx24 與直線 y5x，x0，x4 所圍成的平面圖形的面積. 【精彩點撥】 畫出草圖 求交點坐標 確定被積函數(shù)及積分上、下限 求定積分 【規(guī)范解答】 畫出草圖，如圖所示. 所求平面圖形為圖中陰影部分. 解方程組yx24，y5x，得交點 A(1，5

4、)，B(4，20). 故所求平面圖形的面積 S01(x245x)dx14(5xx24)dx 13x34x52x21052x213x34x41 13452524213434452134193. 再練一題 2.求曲線 ysin x，x0，與 x 軸所圍成平面圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到旋轉(zhuǎn)體的體積. 【導學號：94210078】 【解】 由體積公式 V0y2dx0(sin x)2dx 數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 數(shù)形結(jié)合思想貫穿本章的始終， 主要體現(xiàn)在利用定積分的幾何意義求定積分及用定積分求曲邊圖形的面積.在做題前首先要畫出圖形，確定圖形是在 x 軸的上方還是下方，并且通過解方程組求出交點的橫坐標定出積分

5、上、下限. 如圖 4- 1 所示，在區(qū)間0，1上給定曲線 yx2，試在此區(qū)間內(nèi)確定 t的值，使圖中陰影部分的面積 S1與 S2之和最小. 圖 4- 1 【精彩點撥】 確定被積函數(shù)，積分上、下限，求定積分，并用導數(shù)求最值. 【規(guī)范解答】 S1的面積等于邊長分別為 t 與 t2的矩形面積去掉曲線 yx2與 x 軸，直線 xt 圍成的面積. 即 S1t t20tx2dx23t3； S2的面積等于曲線 yx2與 x 軸，xt，x1 圍成的面積去掉一矩形面積，矩形邊長分別為 t2，1t， 即 S2t1x2dxt2(1t)23t3t213. 所以陰影部分面積 SS1S243t3t213(0t1). 令 S

6、(t)4t22t4tt120， 得 t0 或 t12， 易知當 t12時，S 最小， 所以最小值為 S1214. 再練一題 3.(2016 濰坊高二檢測)如圖 4- 2，直線 ykx 分拋物線 yxx2與 x 軸所圍圖形為面積相等的兩部分，求 k 的值. 圖 4- 2 【解】 拋物線 yxx2與 x 軸交點的橫坐標分別為 x10，x21，所以拋物線與 x 軸所圍成圖形的面積為 S01(xx2)dxx22x3310121316. 拋物線 yxx2與直線 ykx 交點的橫坐標分別為 x10，x21k， 所以S201k(xx2kx)dx1k2x2x331k016(1k)3，又知 S16， 所以(1k

7、)312， 于是 k13121342. 1.(2014 陜西高考)定積分01(2xex)dx 的值為( ) A.e2 B.e1 C.e D.e1 【解析】 01 (2xex)dx(x2ex)|10e.故選 C. 【答案】 C 2.(2014 江西高考)若 f(x)x2201f(x)dx，則01f(x)dx( ) A.1 B.13 C.13 D.1 【解析】 f(x)x2201f(x)dx，01f(x)dx13x32x10f（x）dx |1013201f(x)dx， 01f(x)dx13. 【答案】 B 3.(2014 湖北高考)若函數(shù) f(x)，g(x)滿足11f（x） g（x）dx0，則稱

8、f(x)，g(x)為區(qū)間1， 1上的一組正交函數(shù).給出三組函數(shù)： f(x)sin12x， g(x)cos12x；f(x)x1，g(x)x1；f(x)x，g(x)x2.其中為區(qū)間1，1上的正交函數(shù)的組數(shù)是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】 11f(x)g(x)dx 11sin12xcos12xdx1211sin xdx 12cos x110，故第組是區(qū)間1，1上的正交函數(shù)； 11f(x)g(x)dx11(x1)(x1)dx 11(x21)dxx33x|11430，故第組不是區(qū)間1，1上的正交函數(shù)； 11f(x)g(x)dx11xx2dx11x3dxx44|110，故第組是區(qū)間1，1

9、上的正交函數(shù).綜上，滿足條件的共有兩組. 【答案】 C 4.(2015 湖南高考)02(x1)dx_. 【解析】 02(x1)dx12x2x20122220. 【答案】 0 章末綜合測評章末綜合測評( (四四) ) 定積分定積分 (時間 120 分鐘，滿分 150 分) 一、選擇題(本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1.14xdx 表示平面區(qū)域的面積，則該平面區(qū)域用陰影表示為( ) A B C D 【解析】 由定積分的幾何意義易知選項 B 正確. 【答案】 B 2.02sin xdx( ) A.1 B.2 C.2 D.0

10、【解析】 02sin xdxcos x|200. 【答案】 D 3.12(3x22x3)dx( ) A.12 B.2 C.12 D.2 【解析】 12(3x22x3)dx 12(3x2)dx12(2x3)dx 312x2dx212x3dx3732154 715212. 【答案】 C 4.若0a(23x)dx2(a0)，則 a 的值為( ) A.2 B.23 C.2 或23 D.2 或23 【解析】 a0，0a(23x)dx2x32x2|a02a32a2，由題知 2a32a22，解得 a2. 【答案】 A 5.曲線 y26ax，x2a(a0)繞 x 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為( ) A.2a2 B

11、.4a2 C.12a3 D.14a3 【解析】 V02ay2dx02a6axdx3ax2|2a012a3. 【答案】 C 6.設(shè) f(x)x2，x0，1，1x，x1，e，則0ef(x)dx 等于( ) 【導學號：94210079】 A.43 B.54 C.65 D.76 【解析】 0ef(x)dx01x2dx1e1xdx 13x310ln x|e143. 【答案】 A 7.由 yex，x2，ye 圍成的曲邊梯形的面積是( ) A.e22e B.e2e C.e2 D.e 【解析】 所求面積為 S12(exe)dx (exex)21e22e. 【答案】 A 8.(2016 石家莊高二檢測)若1a2

12、x1xdx3ln 2， 且 a1， 則 a 的值為( ) A.6 B.4 C.3 D.2 【解析】 1a2x1xdx(x2ln x)|a1a2ln a1，故有 a2ln a13ln 2，解得 a2. 【答案】 D 9.若 S112x2dx，S2121xdx，S312exdx，則 S1，S2，S3的大小關(guān)系為( ) A.S1S2S3 B.S2S1S3 C.S2S3S1 D.S3S2S1 【解析】 S112x2dx13x32113231373，S2121xdxln x21ln 2， S312exdxex21e2ee(e1)， ln 2ln e1， 且732.5e(e1)， 所以ln 273e(e1

13、)，即 S2S10，x0a3t2dt，x0，若 ff(1)1，則實數(shù) a 的值是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 【解析】 因為 x10，所以 f(1)lg 10.又 x0 時，f(x)x0a3t2dtxt3|a0 xa3，所以 f(0)a3. 因為 ff(1)1，所以 a31，解得 a1. 【答案】 D 11.定積分01(1（x1）2x)dx 等于( ) A.24 B.21 C.14 D.12 【解析】 01( 1（x1）2x)dx 011（x1）2dx01xdx. 011（x1）2dx 表示圓(x1)2y21 的上半圓與 x1，x0，y0 圍成的圖形面積. 畫出圖形(略)可知 S10

14、11（x1）2dx4， S201xdx12，SS1S224. 【答案】 A 12.一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度 v(t)73t251t(t 的單位：s，v 的單位：m/s)行駛至停止.在此期間汽車繼續(xù)行駛的距離(單位：m)是( ) A.125ln 5 B.825ln 113 C.425ln 5 D.450ln 2 【解析】 由 v(t)73t251t0，可得 t4t83舍去 ，因此汽車從剎車到停止一共行駛了 4 s，此期間行駛的距離為04v(t)dt0473t251tdt7t32t225ln（t1）40425ln 5. 【答案】 C 二、填空題(本大題共 4 小題，

15、每小題 5 分，共 20 分.將答案填在題中的橫線上) 13.若01(2xk)dx2，則 k_. 【解析】 01(2xk)dx(x2kx)101k2，k1. 【答案】 1 14.曲線 y24ax，xa(a0)繞 x 軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積是_. 【導學號：94210080】 【解析】 由旋轉(zhuǎn)體體積公式可得： V0ay2dx0a4axdx4a12x2|a02a3. 【答案】 2a3 15.設(shè)函數(shù) f(x)ax2c(a0)，若01f(x)dxf(x0)，0 x01，則 x0的值為_. 【解析】 01(ax2c)dxax20c，a3ax20. a0，x2013，又 0 x01，x033. 【答案】

16、33 16.曲線 yx2和曲線 y2x 圍成的圖形的面積是_. 【解析】 作出兩曲線 yx2與 yx12圍成的圖形(如圖陰影所示)，則圖形的面積 S01x12x2dx23x3213x310231313. 【答案】 13 三、解答題(本大題共 6 小題，共 70 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17.(本小題滿分 10 分)由直線 ykx(k0)，直線 y0，x1 所圍成的圖形的面積為 S1，由曲線 y33x2，直線 x0，x1，y0 所圍成的圖形的面積為S2，當 S1S2時，求 k 的值及直線的方程. 【解】 依題意得 S101kxdx12kx2|10k2， S201(33x2)

17、dx(3xx3)|102. S1S2，k22， 解得 k4， 則直線的方程為 y4x. 18.(本小題滿分 12 分)如圖 1 所示，求由曲線 y14x2，x0，3，x0 及 y214所圍成的平面圖形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所形成幾何體的體積. 圖 1 【解】 根據(jù)題意和圖形，所求體積 V094 (2 y)2dy4094 ydy412y294028116818. 19.(本小題滿分 12 分)計算曲線 yx22x3 與直線 yx3 所圍成圖形的面積. 【解】 由yx3，yx22x3， 解得 x10，x23. 因此所求圖形的面積為 S03(x3)dx03(x22x3)dx 03(x3)(x22x3)d

18、x 03(x23x)dx13x332x23092. 20.(本小題滿分 12 分)求由曲線 y x，直線 yx2 以及 x 軸所圍成的平面圖形的面積. 【解】 作出直線 yx2，曲線 y x的草圖， 所求平面圖形的面積為圖中陰影部分的面積. 可求得直線 yx2 與曲線 y x的交點為(4，2).直線 yx2 與 x 軸的交點為(2，0).陰影部分的面積(記為 S)，由兩部分組成：一部分是直線 x2 左邊的圖形的面積(記為 S1)；另一部分是直線 x2 右邊的圖形的面積(記為 S2). 則 SS1S2 02xdx24xdx24（x2）dx 23x32|2023x32|4212x22x |4210

19、3. 21.(本小題滿分 12 分)設(shè) F(x)0 x(t22t8)dt. (1)求 F(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)求 F(x)在1，3上的最值. 【解】 依題意，F(xiàn)(x)0 x(t22t8)dt 13t3t28t |x013x3x28x， 定義域是(0，). (1)F(x)x22x8， 令 F(x)0，得 x2 或 x4， 令 F(x)0，得4x2， 由于定義域是(0，)， 函數(shù)的增區(qū)間是(2，)，減區(qū)間是(0，2). (2)令 F(x)0，得 x2(x4 舍去)， 由于 F(1)203，F(xiàn)(2)283，F(xiàn)(3)6， F(x)在1，3上的最大值是 F(3)6，最小值是 F(2)283. 22.

20、(本小題滿分 12 分)求由曲線 yx2， 直線 y2x3 所圍成的平面圖形繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積. 【解】 曲線 yx2與直線 y2x3 的交點為 A(1，1)，B(3，9)，則它們所圍成的平面圖形如圖中陰影部分所示. 所以所得旋轉(zhuǎn)體的體積 V 等于直線 y2x3，x1，x3 與 x 軸所圍成的平面圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積(記為 V1)減去曲線 yx2，直線 x1，x3 與 x 軸所圍成的平面圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積(記為V2). 又 V113(2x3)2dx13(4x212x9)dx43x36x29x313643. V213(x2)2dx13x4dx5x531 2445.所以所求旋轉(zhuǎn)體的體積 VV1V2 1 08815.