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1、 新版數(shù)學(xué)北師大版精品資料 【成才之路】高中數(shù)學(xué) 2.2.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程練習(xí) 北師大版選修1-1 一、選擇題 1．平面內(nèi)到定點(diǎn)F的距離等于到定直線l的距離的點(diǎn)的軌跡是(　　) A．拋物線　　　　　 B．直線 C．拋物線或直線 D．不存在 [答案]　C [解析]　當(dāng)點(diǎn)F在直線l上時(shí)，為過點(diǎn)F與l垂直的直線；當(dāng)點(diǎn)F不在直線l上時(shí)，為拋物線． 2．拋物線y2＝20x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(　　) A．(20,0) B．(10,0) C．(5,0) D．(0,5) [答案]　C 3．已知拋物線y＝x2，則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(　　) A．(0，) B．(，0) C．(，0) D

2、．(0，) [答案]　D [解析]　由y＝x2，得x2＝y(tǒng)，則＝，拋物線開口向上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)． 4．若拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)與橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)重合，則p的值為(　　) A．－2　　 B．2　　 C．－4　　 D．4 [答案]　D [解析]　橢圓的右焦點(diǎn)為(2,0)， ∴＝2，∴p＝4. 5．以拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為圓心，且過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程為(　　) A．x2＋y2＋2x＝0 B．x2＋y2＋x＝0 C．x2＋y2－x＝0 D．x2＋y2－2x＝0 [答案]　D [解析]　拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)是(1,0)． ∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝

3、1，即x2＋y2－2x＝0. 6．設(shè)拋物線y2＝8x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是(　　) A．4　　 B．6　　 C．8　　 D．12 [答案]　B [解析]　本題考查拋物線的定義． 由拋物線的定義可知，點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離是4＋2＝6. 二、填空題 7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若拋物線y2＝4x上的點(diǎn)P到該拋物線的焦點(diǎn)的距離為6，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x＝________. [答案]　5 [解析]　設(shè)P(x0，y0)，拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線x＝－1， 則P到準(zhǔn)線的距離為x0＋1. ∵P到焦點(diǎn)的距離為6， ∴由拋物線定義得x0＋1＝6， ∴x0

4、＝5. 8．根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)準(zhǔn)線方程為x＝－1，________； (2)焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2，________. [答案]　(1)y2＝4x　(2)y2＝－4x [解析]　(1)∵拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1， ∴焦點(diǎn)在x軸正半軸，且＝1，∴p＝2， ∴拋物線的方程為y2＝4x. (2)∵焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為2，∴p＝2. 又∵焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上， ∴拋物線方程為y2＝－4x. 三、解答題 9．分別求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． (1)過點(diǎn)(3，－4)； (2)焦點(diǎn)在直線x＋3y＋15＝0上． [解析]　(1)∵點(diǎn)(

5、3，－4)在第四象限， ∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0)． 把點(diǎn)(3，－4)的坐標(biāo)分別代入y2＝2px和x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，即2p＝，2p1＝， ∴所求拋物線的方程為y2＝x或x2＝－y. (2)對(duì)于直線x＋3y＋15＝0，令x＝0，得y＝－5； 令y＝0，得x＝－15. ∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－5)或(－15,0)． ∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2＝－20y或y2＝－60x. 10．某河上有座拋物線形拱橋，當(dāng)水面距拱頂5m時(shí)，水面寬為8m，一木船寬4m

6、，高2m，載貨后木船露在水面上的部分高為m，問水面上漲到與拱頂相距多少時(shí)，木船開始不能通航？ [答案]　2m [解析]　以拱橋頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，拱高所在直線為y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，由題意知，點(diǎn)A(4，－5)在拋物線x2＝－2py(p>0)上． ∴16＝－2p×(－5)，2p＝. ∴拋物線方程為x2＝－y(－4≤x≤4)． 設(shè)水面上漲，船面兩側(cè)與拋物線拱橋接觸于B、B′時(shí)，船開始不能通航，設(shè)B(2，y′)． 由22＝－×y′，∴y′＝－. ∴水面與拋物線拱頂相距|y′|＋＝2(m)． 水面上漲到與拋物線

7、拱頂相距2m時(shí)，木船開始不能通航. 一、選擇題 1．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到點(diǎn)(1,1)和直線x＋2y＝3的距離相等的點(diǎn)的軌跡是(　　) A．直線 B．拋物線 C．圓 D．雙曲線 [答案]　A [解析]　∵點(diǎn)(1,1)在直線x＋2y＝3上，故所求點(diǎn)的軌跡是過點(diǎn)(1,1)且與直線x＋2y＝3垂直的直線． 2．拋物線y＝x2(a≠0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(　　) A．(0，)或(0，－) B．(0，) C．(0，)或(0，－) D．(0，) [答案]　B [解析]　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝ay，當(dāng)a>0時(shí)，2p＝a，p＝，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)；當(dāng)a<0時(shí)，2p＝－a，p＝

8、－，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－)，即(0，)．故選B. 3．過點(diǎn)F(0,3)，且和直線y＋3＝0相切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程為(　　) A．y2＝12x B．y2＝－12x C．x2＝12y D．x2＝－12y [答案]　C [解析]　由題意，知?jiǎng)訄A圓心到點(diǎn)F(0,3)的距離等于到定直線y＝－3的距離，故動(dòng)圓圓心的軌跡是以F為焦點(diǎn)，直線y＝－3為準(zhǔn)線的拋物線． 4．已知拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線與圓x2＋y2－6x－7＝0相切，則p的值為 (　　) A. B．1 C．2 D．4 [答案]　C [解析]　拋物線的準(zhǔn)線為x＝－， 將圓方程化簡(jiǎn)得到(x－3)2＋y2＝1

9、6，準(zhǔn)線與圓相切，則－＝－1?p＝2，選C. 二、填空題 5．(2014·西安市長安中學(xué)期中)已知橢圓x2＋ky2＝3k(k>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2＝12x的焦點(diǎn)重合，則該橢圓的離心率是________． [答案]　 [解析]　拋物線的焦點(diǎn)為F(3,0)，橢圓的方程為：＋＝1，∴3k－3＝9，∴k＝4， ∴離心率e＝＝. 6．若拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，則p＝________，準(zhǔn)線方程為________． [答案]　2　x＝－1 [解析]　本題考查拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程. 由＝1知p＝2，則準(zhǔn)線方程為x＝－＝－1. 三、解答題 7．設(shè)

10、拋物線的方程為y＝ax2(a≠0)，求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程． [答案]　(0，)　y＝－ [解析]　拋物線方程y＝ax2(a≠0)化為標(biāo)準(zhǔn)形式： x2＝y(tǒng)， 當(dāng)a>0時(shí)，則2p＝，解得p＝，＝， ∴焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，)，準(zhǔn)線方程是y＝－. 當(dāng)a<0時(shí)，則2p＝－，＝－. ∴焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，)，準(zhǔn)線方程是y＝－， 綜上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，)，準(zhǔn)線方程是y＝－. 8．在拋物線y2＝2x上求一點(diǎn)P，使其到直線l：x＋y＋4＝0的距離最小，并求最小距離． [答案]　P　最小距離 [解析]　解法一：設(shè)P(x0，y0)是拋物線上的點(diǎn)，則x0＝，P到直線x＋y＋4＝0的距離為d＝＝＝≥＝. 故當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí)，d有最小值. 解法二：因?yàn)闊o實(shí)根， 所以直線與拋物線沒有公共點(diǎn)． 設(shè)與直線x＋y＋4＝0平行的直線為x＋y＋m＝0. 由消去x，得y2＋2y＋2m＝0， 設(shè)此直線與拋物線相切，即只有一個(gè)公共點(diǎn)． 所以Δ＝4－8m＝0，所以m＝. 由，得y＝－1，x＝. 即點(diǎn)P到直線x＋y＋4＝0的距離最近， 距離d＝＝.